De temps en temps, en maths, il y a des bizarreries qui peuvent nous faire des noeuds aux neurones. Parmi mes préférées, il y a le nombre 0.999999…, où les 3 petits points désignent le fait que la suite de chiffres "9" se poursuit à l’infini. Voyons un peu ce nombre paradoxal.
(image Wikipédia)
La notation décimale
Comme vous le savez, tout nombre réel peut être écrit sous forme décimale, c’est-à-dire en donnant une suite de chiffres avant et après la virgule. J’ai déjà eu l’occasion de parler de cette notation dans mon billet sur les nombres univers.
Pour les nombres les plus simples, cette suite est finie. Pour d’autres, la séquence des décimales peut être infinie mais en se répétant de manière périodique, par exemple :
22/7 = 3.142857142857142857142857…
Et enfin, pour les nombres les plus capricieux, cette suite est infinie et sans périodicité particulière. Aujourd’hui nous allons nous intéresser à une périodicité simple : un seul chiffre qui se répète.
0.xxxxxx…
Qu’a-t-on comme suite de décimales avec un seul chiffre ? Eh bien c’est facile :
0.111111111…
0.222222222…
0.333333333…
…
0.999999999…
Les premières ne sont pas très perturbantes. Elles correspondent d’ailleurs à des fractions bien connues, par exemple 1/9=0.111111… ou 1/3 = 0.333333…
Mais regardez bien la dernière. Quelle différence voyez-vous entre 0.999999… et le nombre 1 ? La réponse est qu’il n’y en a pas. Ces deux nombres sont identiques !
Quelques démonstrations
Pour démontrer l’étrange égalité 0.999999…=1, on a plusieurs voies, plus ou moins rigoureuses. Démonstration intuitive, si on admet que 1/9 = 0.111111… et 1/3 = 0.333333…, alors on est bien obligé de reconnaitre que
0.999999… = 9*0.111111… = 9*(1/9) = 1
ou encore que
0.999999… = 3*0.333333… = 3*(1/3) = 1
Autre possibilité plus rigoureuse (ma préférée), appelons x notre nombre 0.999999…Si on multiplie x par 10, on a l’égalité
10*x = 9.999999… = 9 + 0.999999… = 9 +x
Or si 10x = 9+x, on peut résoudre l’équation et trouver que x=1.
Dernière démonstration, encore un peu plus formelle, en utilisant la définition précise de l’écriture décimale :
donc sous forme d’une série infinie on a
et ça c’est une belle somme de termes d’une suite géométrique, et de mon temps on apprenait que ça donne
Aux sources du paradoxe
Alors que je considérais ce nombre 0.999999… comme une simple curiosité de passage, j’ai découvert qu’il existe en fait une certaine littérature à son sujet ! Voir la page Wikipédia par exemple. Notamment des gens se sont intéressés à la pédagogie de l’explication, et à pourquoi il était parfois difficile de faire admettre à certains étudiants que 0.999999…=1.
On y découvre finalement des explications intéressantes. La première c’est que puisque tout nombre réel possède une écriture décimale, on s’attend intuitivement à avoir l’unicité de cette écriture. Or c’est faux, il existe plein de nombres qui possèdent 2 écritures décimales : en fait tout nombre dont l’écriture décimale est finie peut être écrit comme un nombre avec une "queue de 9". Par exemple :
42.18745 = 42.18744999999…
Autre source de paradoxe chez les élèves qui découvrent 0.999999…, la difficulté à concevoir que la suite de 9 est véritablement infinie, et pas simplement "très longue". Enfin dernière subtilité, le fait que les étudiants voient 0.999999…non pas comme un vrai nombre, mais plutôt comme un procédé ("écrire des 9 les uns à la suite des autres"), procédé que l’on doit arrêter un jour ou l’autre. Dans le même genre, on peut s’amuser à se demander combien vaut 1-0.999999… et à le relier à l’inexistence dans R de nombre non-nuls infiniment petits.
D’ailleurs :
- Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule ?
- 0.999999…
Et vous, êtes vous véritablement convaincu que 0.999999…=1 ? Ou est-ce que vous avez encore un petit doute ?
Démonstration encore plus simple : deux nombres sont différents si et seulement si Il existe un troisième nombre, différent des deux premiers, qui soit compris entre les deux. Or il n’existe aucun nombre compris entre 0.999… et 1. Par l’absurde, on répond à la question.
On ne doit pas avoir la même définition de "simple". Je pense que ma mère comprendrait la plupart des "démonstrations" de l’article. La tienne par contre, il y a trop de prérequis derrière.
C’est intéressant parce que ça n’est pas la même démonstration. Analysons un peu ce que racontent les 4 démos :
* celle basée sur 1/3 × 3. On commence par admettre qu’on peut faire les multiplications de gauche à droite sur les développements décimaux – sans doute quitte à « faire remonter » une retenue éventuelle, et là « on voit » qu’il n’y en aura pas. Ensuite on utilise le « fait » que R est un corps.
Bon, la morale pourrait être qu’on ne peut pas manipuler aussi facilement les développements décimaux (y a-t-il à l’infini une retenue qu’on ne voit pas ?); ou bien que R n’est pas un « vrai corps » – qu’il y faudrait peut-être une relation autre que l’égalité – peut-être précisément celle qu’on appelle en breton appartness (mais je n’ai pas envie de parler de logique intuitionniste, là). Pourquoi, au lieu d’abandonner l’idée que 0,999… < 1, ne pas plutôt abandonner 1/3 = 0,333… ? Il manque peut-être un pouillème à droite du signe égale ! Certes ça a l’air vrai, mais ?! Est-ce qu'ils sont égaux, ou est-ce qu’ils sont juste… pas séparables ?
* celle basée sur 10 x = 9 + x (sans doute en effet la plus élégante). À nouveau, une manipulation douteuse : une soustraction faite de gauche à droite. Qui sait ce qui se passe à l’infini ? Puis, à nouveau, le fait que R est un corps – mais c’est sûr ça ?
* celle basée sur la série géométrique. Là on fait quelque chose de conceptuellement un poil plus profond et intéressant : on affirme que l’écriture décimale désigne un être qui existe en-dehors d'elle ; et que cet être est « la limite » de la suite que David a écrite. Pourquoi des guillemets à « la limite » ? Parce que pour que ce genre de chose ait une limite il faut en général avoir « construit » R. Voilà une preuve qui ne convaincra que les gens qui savent que les réels classiques sont des classes d’équivalences de suites de Cauchy de rationnels… Mais bref, c’est quand-même le nœud du problème, les réels ne sont pas des suites de chiffres, ils sont (à la rigueur) désignés par des suites de chiffres. Je dis « à la rigueur » parce que comme je le disais dans mon autre commentaire, on n’a jamais fini de désigner un réel… puisqu’il faut donner une quantité infinie de chiffres pour ce faire.
* la preuve de Rubisco, qui ne plairait pas à la maman de Brice. Cette preuve nous raconte donc que l'ordre lexicographique induit sur l'ensemble des développements décimaux par 0 < 1 < … < 9 n'est pas dense aux « développements impropres » ; et qu’il faut donc, *si on veut un ordre dense*, identifier les développements impropres aux développements propres bien choisis. Là, comme le dit Brice, il faut avoir quand-même une fameuse familiarité avec les réels classiques pour comprendre cette preuve. Quiconque la comprend n’a plus besoin d’être convaincu depuis longtemps. Quiconque a réellement besoin d’être convaincu demandera à ce qu’on lui explique pourquoi l’ordre est dense.
Bref, toutes ces « preuves » ne peuvent convaincre que les convertis, ceux qui savent de toute évidence et de toute éternité que le modèle standard existe, que les réels sont un quotient d’un ensemble de suites de rationnels, muni d’une structure de corps et d’un ordre dense, pour les siècles des siècles, amen. Enfin bref, ironie à part, le profane convaincu par ces preuves est à mon avis victime d’une entourloupe, dans laquelle il se jette lui-même avec assez de plaisir : on fait appel en lui à une vision platonicienne des mathématiques ; toutes ces preuves devraient commencer par « bon, admet que les réels existent et sont un corps et que ceci et cela… ».
Il ne faut pas abdiquer tout esprit critique… Il existe à ma connaissance au moins 2 ou 3 théories alternatives pour l’analyse réelle, où la question posée n’admet peut-être pas une réponse aussi simple (suivant la façon dont on l’interprète) : l’analyse constructive à la Bishop, l’analyse non-standard à la Robinson / Nelson, et l’analyse lisse de Bell (basée sur la théorie des topoi ; peut-être que l’analyse de Bishop en est un cas particulier, je n’entends point les topoi et ne peux en juger…).
Bah moi j’ai un doute…
En fait ce que je trouve le plus étonnant c’est qu’il soit si facile de faire admettre à tant de gens qu’*un* réel est décrit par une infinité d’informations. Le vrai problème qui se pose, c’est celui de l’égalité en général, pas seulement entre les développements propres et impropres…
Pourquoi une infinité d’information ? "Une suite infinie de 9", finalement, ça n’apporte que très peu d’information… non ?
Poup poup ! Eh non !
Dans ta remarque, il y a un mot clef qui annule ta conclusion : infinité. C’est justement là le coeur du problème : le concept d’infini. Au final, et pour paraphraser H, si tu saisis le concept d’infini, tu est déjà converti. En gros, il faut attendre de déblocage conceptuel, vers l’infini (et au-delà…). C’est justement l’infinité d’information que tu ne peux pas visualiser. Et tant que tu cherches à "voir" le nombre, tu restes bloqué.
Si j’avais su qu’on pouvait trouver les mathématiques amusantes, je ne me serais probablement pas autant ennuyé durant ma scolarité.
A high-level explanation: The Cantor set is not homeomorphic to the interval. So when you take decimal notation (or notation for numbers with any base), there must be some identifications made to get a representation of real numbers.
Dire que j’avais choisi ce sujet que je pensais simple, pour la bonne et simple raison que je suis en vacances cette semaine !
Un peu plus perturbant: on peut poser que ….9999999999999999999=-1
Ben oui,
1+-1=0 et
….99999999999999999999+1=000000000000000000000 avec la retenue qui se perd à l’infini.
C’est exactement ce qui se passe en arithmétique des ordinateurs. En base 16
-1=FFFFFFFF (sur 64 bits)
Je ne suis pas du tout convaincu par cela. Une "retenue qui se perd à l’infini" ne disparaît pas. Elle est vue comme un overflow dans les architectures informatiques et un flag est activé dans ce cas.
De plus, -1=FFFFFFFF n’est que le résultat de la méthode du complément à deux… Elle permet de formaliser informatiquement l’écriture des nombres négatifs et de faciliter les calculs en prenant notamment le bit de poids fort comme indicateur de signe.
Aucun concept mathématique fondamental à mon sens (peut-être que je passe à côté mais je vois pas…).
Une retenue à l’infini n’entraine pas forcément d’overflow. Exemple: -1+-1=-2 sans overflow. Pourtant
-1=FFFF et FFFF+FFFF=1FFFE = FFFE + un bit de retenue.
Sinon, d’un point de vue plus mathématique, quand on considère 0,9999… et qu’on écrit que 0,9999…=3*0,3333…, ce qu’on fait, c’est qu’on manipule des séries formelles.
Sur ces séries formelles, on définit des opérations (+ et *) et on se donne une fonction f qui prend une série formelle et qui rend un réel. Coup de bol, si u_n et v_n sont deux séries formelles, f(u_n+v_n)=f(u_n)+f(v_n) et f(u_n*v_n)=f(u_n)*f(v_n). On a donc très envie:
1. d’identifier u_n et f(u_n) ;
2. de généraliser d’autres opérations qui marchent bien sur les réels aux séries formelles.
Le 1. foire parce que deux suites différentes peuvent avoir la même image par f (par exemple f(1,0000…)=f(0,9999…)) ;
Le 2. foire parce que la division ne s’étend pas aux séries: 1/1=1,0000… mais 1/1=0,9999…
Ma remarque précédente, c’est qu’on peut très bien définir une addition et une multiplication sur des séries formelles indexées par les entiers relatifs. Dans ce cas là, la fonction g qui associe un réel à une telle série marche moins bien. Mais sur ces séries formelles, …9999+1=…0000. Donc tout ce passe comme si …9999=-1. Et c’est ce qui se passe sur les ordinateurs.
Effectivement, une retenue qui se perd à l’infini vaut bien une retenue qui remonte de l’infini comme dans 0.333333… x 3 !
[...] lien vers le billet de Science étonnante dont on parle pendant l’émission [...]
Si j’ai bien lu un précedent article le nombre PI contient certainement à un endroit de la liste des chiffres qui le composent une suite infinie de 9, alors …
Bon je sais qu’il y a des infinités qui sont plus infinies que d’autres infinités…
Ah tu as mal lu le billet sur Pi (ou je l’ai mal expliqué…) : les décimales des nombres univers contiennent n’importe quelle suite FINIE. Donc il y a un endroit dans Pi avec une suite de 198204812859 fois le nombre 9, mais il n’y a pas la place pour une suite infinie !
Quant aux infinis plus infinis que d’autre, il n’y en a pas tant que ça. Il y a un nombre infini d’entiers, et un nombre infini de réels. Il y a clairement "plus" de réels que d’entiers, mais il semble qu’il n’y ait pas d’infini plus infini que les entiers mais moins infini que les réels…sujet d’un futur billet !
Science étonnante:
«Il y a clairement “plus” de réels que d’entiers, mais il semble qu’il n’y ait pas d’infini plus infini que les entiers mais moins infini que les réels…sujet d’un futur billet !»
En fait, ce n’est pas tout èa fait exact, la réponse, c’est que c’est comme on veut. Le fait qu’il n’existe pas un infini compris strictement entre les naturels et les réels s’appelle l’hypothèse du continu et Cohen a démontré en 1963 que cette affirmation était indépendante des autres axiomes de la théorie des ensembles de ZF. C’est donc un énoncé indécidable, mais je ne voudrai pas gâcher le punch de votre prochain billet…
je pencherai plutot pour dire que les IR vont plus vite a l’ infini que les entiers
[...] 0.999999…le nombre qui n’existe pas vraiment [...]