Les courbes remplissantes (ou comment faire un coloriage avec un crayon ponctuel)

pencilMa fille n’aime pas quand les crayons de couleur sont taillés trop fins. Ben oui quoi, après c’est plus long pour colorier ! J’ai beau lui expliquer que grâce aux courbes remplissantes, on peut toujours tout colorier même avec un crayon infiniment fin, j’ai l’impression que l’argument ne passe pas.

Et pourtant, nous allons voir dans ce billet que l’on peut effectivement trouver des courbes qui remplissent totalement une surface en passant par tous ses points.

Et tant pis si ça va à l’encontre de l’intuition !

Pourquoi cela nous parait impossible

carré et courbeAlors allons-y, essayons de relever le défi : trouver une courbe qui colorie complètement un carré. Cela parait bien difficile, car tout le monde sait qu’en mathématiques, les lignes n’ont pas d’épaisseur. Dans ces conditions, on a bien envie de penser que la surface recouverte par une courbe est toujours nulle. On n’est pas prêt d’arriver à recouvrir tout un carré.

D’ailleurs, une courbe est un objet de dimension 1, alors qu’un carré est de dimension 2. On voit bien que ça ne peut pas marcher ! Une autre manière de le dire, c’est de compter le nombre de points sur un segment et un carré. Certes sur le segment, il y en a une infinité. Mais dans le carré, on sent bien qu’il y a une infinité de fois plus de points que dans un segment ! Et pourtant…

La construction de Cantor

A la fin du XIXème siècle, le mathématicien allemand Georg Cantor a décidé de s’attaquer à la notion d’infini (voir à ce sujet cet épisode de Podcast Science). En 1878, il essaye justement de démontrer qu’un carré contient beaucoup plus de points qu’un segment : même s’ils sont tous les deux infinis, il sent bien qu’il y en a un qui est plus gros que l’autre. Mais à sa propre surprise, il démontre le contraire : un segment et un carré contiennent autant de points l’un que l’autre !

Pour démontrer cela, il suffit de montrer qu’à tout point du segment on peut associer un unique point du carré, et réciproquement. Et c’est ce que fait Cantor ! Voici la correspondance qu’il imagine. Un point sur un segment est représenté par un nombre réel t compris entre 0 et 1. Un point dans un carré est représenté par 2 nombres x et y compris entre 0 et 1 (ses coordonnées).

Cantor propose alors la chose suivante : écrire t en écriture décimale, et construire x et y en sélectionnant les décimales en positions impaires et paires respectivement. Voici un exemple détaillé :

cantor

Je vous laisse vous convaincre qu’avec ce procédé, à tout nombre t du segment on associe un unique point du carré, et réciproquement ! Nous avons donc bien démontré que le segment contient autant de points que le carré.

Les courbes fractales de Peano

La construction exhibée par Cantor montre définitivement qu’un carré n’est pas « plus gros » qu’un segment. Et pourtant en tant que tel, cela ne constitue pas une preuve du fait qu’on peut colorier un carré avec une courbe. Ce qu’il manque, c’est la continuité ! En effet la correspondance établie par Cantor n’est pas continue comme le serait une vraie courbe. Avec l’application de Cantor, deux points du segment très voisins seront envoyés sur des endroits du carré très différents. On ne peut donc pas dessiner la correspondance de Cantor sans lever la main !

Toutefois, puisque Cantor a fait tomber le principal obstacle psychologique à la découverte d’une courbe remplissant le carré, la solution viendra quelques années plus tard sous la plume de l’italien Peano. Ce dernier propose en effet de construire une courbe qui remplit tout un carré, et ce par étapes successives. Le dessin ci-dessous montre les trois premières étapes du processus

Courbe de Peano

Courbe de lebesgue en Z

En poursuivant le processus « à l’infini », on obtient une courbe qui passe par tous les points du carré ! On appelle cela une courbe remplissante. Certains d’entre vous reconnaitront peut être ici le principe des fractales : on part d’un motif, puis on le répète à l’échelle inférieure, puis à nouveau et ainsi de suite. (Pour ceux que cette manière de construire les courbes chiffonne, j’y reviendrai dans mon « Pour aller plus loin… »)

A la suite de la découverte de la courbe de Peano, de nombreux autres mathématiciens proposeront des courbes remplissantes basées sur le principe des fractales. La courbe de Hilbert est une des plus connues, ainsi que la courbe de Lebesgue représentée ci-contre, et dont le principe est de faire une construction fractale à partir d’un motif en Z.

Ah petit détail pour ceux qui aiment les maths, ces courbes sont d’une espèce tout-à-fait exotique : elles sont continues partout mais dérivables nulle-part ! En gros tout point de la courbe est un angle…étonnant non ?

Bref, si vous voulez colorier un carré avec un crayon infiniment fin, c’est possible : choisissez la trajectoire d’une de ces courbes remplissantes. Une fois de plus vous constatez qu’en mathématique, il ne faut pas toujours se fier à l’intuition, spécialement quand il est question d’infini ! Toutefois les courbes remplissantes ne sont pas qu’un divertissement pour mathématiciens amateurs de paradoxes, il s’agit aussi d’un outil utile dans certains domaines comme la réduction de données. Avec la trajectoire d’une courbe remplissante, vous pouvez en effet parcourir de manière efficace un espace multidimensionnel.

Pour aller plus loin : expression analytique des courbes remplissantes

La première fois que j’ai lu la description de la fameuse courbe de Peano, j’ai été fort déçu ! En effet cette construction graphique à faire « à l’infini » ne paraît pas très rigoureuse. Est-ce que la limite existe vraiment ? Est-ce qu’on est sûr que l’on va bien passer par tous les points ? Heureusement pour moi, Peano partageait les mêmes craintes. Et pour éviter tout biais lié à l’utilisation des dessins, son article d’origine est purement analytique, et ne comporte absolument aucune figure. Il existe donc bien une expression analytique de la courbe de Peano, formulée d’une manière analogue à la construction de Cantor que j’ai présenté ci-dessus.

Peano divisionVoici comment procéder : comme pour l’application de Cantor, on veut qu’à tout nombre t \in [0;1] on associe (x,y) \in [0;1]^2. Pour comprendre comment faire cela, choisissez mentalement un nombre t, par exemple 0.31, et observez les figures des étapes de construction de la courbe de Peano. On va essayer de localiser le couple (x,y) correspondant en procédant par approximations successives.

Premièrement, divisez mentalement l’image par trois traits verticaux, comme sur le dessin ci-contre. Pour la valeur de t qu’on a choisi, on va essayer de savoir dans lequel des 3 tiers verticaux on va tomber. Puisque la courbe parcours ces 3 panneaux verticaux l’un après l’autre, en réfléchissant un tout petit peu, vous pouvez vous rendre compte que cela dépend de si votre nombre t est compris entre 0 et 1/3, ou bien entre 1/3 et 2/3, ou finalement entre 2/3 et 1. Pour t=0.31, on est entre 0 et 1/3 donc on sera dans le premier panneau vertical.

Une fois que vous avez fait cela, on divise l’image en 3 par des traits horizontaux, et on va se demander dans lequel des 3 panneaux horizontaux on arrive pour notre valeur de t. Pour cela, on part du segment dans lequel on vient de se trouver (pour t=0.31, c’est le segment 0-1/3), on le divise lui même en 3 tiers et on regarde dans quel tiers on tombe. Ici les 3 tiers seront 0-1/9, 1/9-2/9 et 2/9-3/9. Pour t=0.31, c’est le 3ième tiers. On sera donc dans le 3ème panneau horizontal (on compte à partir du bas). Puisque par ailleurs on est dans le premier panneau horizontal, c’est que pour notre valeur de t=0.31 on se situe dans le coin supérieur gauche. Et en répétant la procédure, on peut diviser le coin supérieur gauche en 9, et recommencer. Par ce processus itératif, on peut donc localiser avec exactitude le x et le y qui correspondent au t qu’on a choisit. Voyons maintenant comment mettre une formule analytique là-dessus.

Pour savoir exactement ou se trouve le x et le y associés à un t donné, il faut donc savoir dans quel tiers t se trouve, puis dans quel tiers du tiers, puis dans quel tiers du tiers du tiers, et ainsi de suite. Le secret de l’expression analytique de la courbe de Peano est donc de faire une « décomposition en base 3″.

Pour cela, rappelons d’abord ce qu’est la décomposition décimale habituelle en base 10 : elle correspond à l’écriture suivante

t=0.a_1a_2a_3a_4... \ \ \leftrightarrow \ \ t=\sum_i \frac{a_i}{10^i}

Partant de là, on peut facilement fabriquer la décomposition décimale en n’importe quelle autre base que 10, par exemple 3

t=0\underset{3}{.} b_1b_2b_3b_4... \ \ \leftrightarrow \ \ t=\sum_i \frac{b_i}{3^i}

Vous remarquerez la bizarre notation \underset{3}{.} qui est le point « décimal » en base 3. Dans cette notation, les nombres b_i valent donc tous 0, 1 ou 2. Donc prenez votre t, et décomposez le en base décimale 3, vous obtenez donc une suite de nombres b_i qui caractérisent parfaitement t.

Si on voulait imiter la construction de Cantor, on ferait la même chose en séparant les décimales paires et impaires pour construire x et y. On obtiendrait ceci :

x = 0\underset{3}{.} b_1 b_3 b_5... y = 0\underset{3}{.} b_2 b_4...

En fait ça ne marche pas tel quel. Il faut ajouter une petite subtilité qui je crois est lié au fait que le motif de base de la courbe de Peano se répète à toutes les échelles, mais il peut être tourné de 90° ou inversé comme dans un miroir. Pour tenir compte de cet effet, il y a une petite subtilité à introduire.

On note K l’opérateur qui a un nombre b valant 0,1 ou 2 associe 2-b. On note K^n l’opérateur K composé n fois avec lui même. Voici enfin la définition purement analytique de la construction de Cantor :

x = 0\underset{3}{.} b_1(K^{a_2}b_3)(K^{a_2+a_4}b_5)... y = 0\underset{3}{.}(K^{a_1}b_2)(K^{a_1+a_3}b_4)...

Pour ceux à qui cette construction fait mal à la tête, je vous propose un cas encore plus simple de courbe remplissante possédant une expression analytique, il s’agit de la courbe de Schoenberg. Elle est très proche de la courbe de Lebesgue et s’exprime comme une simple série. Voici son expression analytique que je pique directement dans ce papier de H. Sagan. Ah oui amusant, cette courbe est elle-aussi continue partout, mais elle est dérivable « presque partout »…(alors que celle de Lebesgue n’est dérivable nulle part, allez comprendre…)schoenberg curve analytic

D’autres exemples de courbes remplissantes chez ElJJ

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19 réponses à Les courbes remplissantes (ou comment faire un coloriage avec un crayon ponctuel)

  1. bluerhap dit :

    Bonjour,
    Je me permets de te signaler une petite coquille, tu écris : « On sera donc dans le 3ème panneau horizontal (on compte à partir du bas). Puisque par ailleurs on est dans le premier panneau horizontal, » donc plutôt vertical au second, je crois.
    J’ai du mal également sur le plan intuitif avec la construction de Cantor : puisque x et y vont contenir 2 fois moins de décimales que t, alors le carré sera rempli de façon deux fois moins dense que le segment, non ? Après, il est vrai que l’infini divisé par 2, ça fait encore l’infini, mais n’est pas un infini un peu plus « light » ;-) ?

  2. Henri dit :

    Bonjour. J’ai le même problème dès le départ avec Cantor. Je veux bien me laisser convaincre mais je n’y arrive pas. Je crois comprendre que sa proposition de sélectionner les décimales de position paire pour x et impaire pour y est tout à fait arbitraire et n’a pour but que d’associer à coup sûr un point unique du carré à un point du segment. Mais est-ce que cela nous assure que tous les points du carré trouvent un associé sur le segment ?

    • bluerhap dit :

      Je pense que je peux répondre aisément à Henri : supposons le point du carré de coordonnées (0,x1 x2 x3 …./0, y1 y2 y3 …). Le point du segment de coordonnées 0, x1 y1 x2 y2 x3 y3 … y est associé. Bien, je crois que d’avoir répondu à Henri me permet de répondre à ma propre interrogation ;-) !

  3. pedrogaza dit :

    Enfin quelqu’un qui n’essaie pas de noyer le poisson avec une démonstration alambiqué. Bravo pour ces explications claires et précises ! :-)

  4. Henri dit :

    Ah oui, d’accord. Mais attend, j’ai encore une question (je suis chiant) : je suppose qu’on a le droit de faire ça avec les quatre côtés du carré. Donc tout point de la surface du carré est en fait associé à quatre points du périmètre.

    • bluerhap dit :

      Là je te comprends moins bien, Henri. L’application est dirigée de n’importe quel segment de droite vers le carré, pas uniquement d’un des bords du carré. Il y a également une infinité de façons d’associer un segment de droite quelconque à n’importe quelle surface finie.

      • Henri dit :

        Oui, en fait c’est surtout moi qui ne comprends pas bien. J’ai un raisonnement trop intuitif. Je divise mentalement la surface du carré en carrés plus petits et je trouve que si la longueur du côté est égale à A, le nombre de petits carrés est toujours égal à A au carré (par définition). Même si les petits carrés ne font plus qu’un micron de côté, il y en a toujours un nombre égal à A au carré. Si leur longueur est égale à un milliardième de milliardième de micron, il y en a toujours un nombre égal à A au carré. Et tout à coup, lorsqu’on passe d’une longueur archi-minuscule à une longueur égale à 0 (un point, donc), Zim bang boum ! il n’y en a plus qu’un nombre égal à A (donc égal à l’infini). Je sais que c’est vrai mais, comme Cantor avant sa propre démonstration, je n’arrive pas à le croire. Ou plutôt je n’arrive pas à me représenter la vérité de la démonstration qui le prouve. En fait, il est impossible de se représenter ce que c’est que de passer d’une longueur mesurable (même ultra-petite) à une longueur égale à 0. Ou de se représenter l’infini, ce qui revient au même.

      • bluerhap dit :

        Je te cite : « Je sais que c’est vrai mais, comme Cantor avant sa propre démonstration, je n’arrive pas à le croire. Ou plutôt je n’arrive pas à me représenter la vérité de la démonstration qui le prouve ». Moi qui suis médecin, le fait de comprendre que ce que te dicte ton intuition n’est pas la vérité, je ne vois pas de meilleure définition de l’intelligence !

      • Henri dit :

        J’en ai une meilleure mais je ne vais pas me lancer là-dedans, on sortirait du sujet.

  5. julian dit :

    Malheureusement il est par définition impossible de dessiner une fractale avec un crayon, car elle a une longueur infinie, et prendrait donc un temps infini à être dessinée, non ?

    • fred2501 dit :

      On ne peut pas remplir un carré avec une courbe remplssante infiniment fine, il y aura toujours du vide car le tracé est in-fini. Rien est rempli ou remplissable, il ne s’agit que d’une vue de l’esprit venant de notre habitude à voir le plein là où il y a de la matière. Même en imaginant un carré virtuel coloré affiché sur un ecran, celui-ci ne serait pas rempli puisse qu’en zoomant à l’infini, l’ordinateur calculera les pixels à afficher, le processus de remplissage deumeurant lui aussi in-fini !

  6. [...] Ma fille n’aime pas quand les crayons de couleur sont taillés trop fins. Ben oui quoi, après c’est plus long pour colorier !  [...]

  7. [...] Ma fille n’aime pas quand les crayons de couleur sont taillés trop fins. Ben oui quoi, après c’est plus long pour colorier !  [...]

  8. sylvainj dit :

    avoir une réponse à une question qu’on ne s’était jamais posée. La vie est un cadeau :)
    merci !

  9. coloriage dit :

    Trop bien ces formules c’est passionnants !! Je vais essayer de créer mon propre motif pour les coloriages que je donne aux enfants que je garde :-) Merci beaucoup pour ce partage.
    Anabelle

  10. […] il y a autant de points sur un segment que dans une surface (David explique ça très bien dans ce billet) et autant de points dans une surface que dans un volume. Par contre cette équivalence disparaît […]

  11. Pellok' dit :

    Un truc qui me chiffonne avec la première démonstration de Cantor : OK, chaque point du carré est représenté par un point sur le segment SAUF deux côtés : ceux qui ont pour abscisse ou ordonnée 1. En effet, le point de coordonnées (0,5 ; 1) par exemple, aurait comme position dans le segment 1,5. Or 1,5 c’est en dehors du segment… Je ne parle même pas du point (1 ; 1)… Comment Cantor se sort de cette question ?

    • David dit :

      On doit pouvoir dire que l’argument de Cantor met en correspondance le carré ouvert et le segment ouvert. Après la bijection sur les bords, ça va être plus dur :-)

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