Le scandale des séries divergentes ! (ou le retour de 1+2+3+4+5+… = -1/12)

sumIl y a quelques mois, j’ai écrit ce billet au sujet de la somme 1+2+3+4+5+… Toutes proportions gardées, ce billet est à ce jour le plus controversé de ce blog, et il m’a valu une flopée de commentaires parfois moqueurs ou condescendants.

Il faut dire que j’y expliquais que même si cette somme est a priori infinie, il est malgré tout possible de lui affecter une valeur finie : -1/12. Pire, on peut calculer cette valeur à partir de quelques manipulations heuristiques en apparence totalement interdites.

Absurde ! Ridicule ! Et pourtant les maths qui se cachent derrière ce résultat provocateur sont tout à fait réelles : bienvenue dans le monde des séries divergentes. Comme je n’en avais pas beaucoup raconté dans le premier billet sur les concepts mathématiques concernés, cela faisait quelques temps que je songeais à faire une suite un peu plus consistante à ce billet infamant.

Or il se trouve que Bruce, qui anime la chaîne YouTube « e-penser » a récemment rallumé le feu avec une vidéo présentant le même calcul. Quelques jours plus tard, le célèbre blog anglophone Bad Astronomy écrit également un billet sur ce calcul, et bien sûr c’est aussi l’indignation !

Timing parfait : j’ai décidé de m’y coller et d’expliquer vraiment de quoi il retourne. Nous allons donc voir pourquoi affecter la valeur -1/12 à la série 1+2+3+4+5+6+… n’est pas juste un canular d’un mec qui n’a rien compris aux maths, genre « je montre 1=0 en cachant une division par zéro dans le raisonnement ».

Affecter -1/12 à cette somme est possible sous certaines conditions, et les calculs heuristiques, quoique formellement faux, permettent étonnamment de retrouver cette valeur. Le pire : en physique on se sert de ce résultat en apparence absurde !

Petite mise en garde : En général, j’essaye dans mes billets de garder les connaissances nécessaires au niveau lycée. Aujourd’hui exceptionnellement, je vais taper un peu au-delà des maths du bac ! Si vous savez ce qu’est une série, ça peut aider…

Rappel des faits

Pour commencer, je voudrais rappeler les quelques petits calculs qui ont ému tant de monde. Oui, je sais, ces calculs sont a priori illicites, mais c’est précisément l’objectif de ce billet d’expliquer pourquoi ils ne le sont pas tant que ça. Alors ne partez pas au milieu !

Considérons la somme

A = 1-1+1-1+1-1+...

A priori cette somme n’a pas de valeur bien définie. Essayons quand même de lui en donner une ! Pour cela, on peut noter que

\begin{array}{rcl} A &=& 1-1+1-1+1-1+...\\ &=& 1 - (1-1+1-1+1-1+...) \\ &=& 1-A \end{array}

Puisqu’on a A = 1-A, on peut déduire que A=1/2.

Passons maintenant à plus ambitieux, la somme

B = 1-2+3-4+5-6+...

Même remarque, cette somme n’a en principe pas de valeur. Mais cette fois remarquons qu’on peut écrire

\begin{array}{rcl} B &=& 1-(2-3+4-5+6-7+...) \\ &=&1-(1-2+3-4+5-6+...)-(1-1+1-1+1-...) \\ &=& 1-B-A\end{array}

On a donc 2B = 1-A, et puisqu’on connaît la valeur de A, on peut en déduire B =1/4.

Le gros morceau maintenant, on considère la bête immonde, la somme

S = 1+2+3+4+5+6+...

On va cette fois soustraire B à S et obtenir :

\begin{array}{rcl} S-B &=& (1+2+3+4+5+...)-(1-2+3-4+5-...) \\ &=&(4+8+12+16+...)=4S\end{array}

donc S = B + 4S qui nous amène à la conclusion que S=-1/12.

Stop ! Arrêtez de hurler, je sais que tout cela est absurde ! Je manipule des objets non-définis, les séries divergent, et je prétend qu’une somme de termes positifs peut être négative, etc. Du délire total, quoi !

Et pourtant, on peut donner un sens précis et rigoureux à tout ceci. Alors voyons comment !

Comment sommer un nombre infini de termes ?

Commençons à la base : l’addition des nombres réels. Si je vous demande d’additionner deux nombres, vous savez faire. Si je vous demande d’additionner 3 nombres, vous allez me dire : pareil ! Et pourtant…

Ca vous paraît peut-être naturel d’écrire et de calculer 1+2+3, mais ça n’est pas si immédiat ! Notez que pour avoir le droit de l’écrire de cette manière, sans parenthèses, il faut invoquer l’associativité de l’addition, c’est-à-dire que (1+2)+3 = 1+(2+3). Rappelez vous : l’addition n’est au départ définie que pour 2 nombres, et c’est parce qu’elle est associative qu’on peut l’étendre à une somme de plusieurs nombres en oubliant les parenthèses.

Considérons maintenant une somme d’un nombre infini de termes, par exemple

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...

Comment faites-vous pour calculer cette somme ? « On prend le premier terme, on ajoute le second, puis le troisième, et ainsi de suite jusqu’au bout. » Ca vous paraît évident ? Et pourtant ça ne l’est pas !

Il y a quelque chose d’absolument critique à comprendre : RIEN dans la définition usuelle de l’addition ne nous dit comment on peut sommer un nombre infini de termes. Cette somme est donc a priori un objet indéfini.

Pour lui affecter une valeur, il faut dire comment on fait. Ça n’est pas neutre, car cela signifie qu’il faut faire un choix. On dit que l’on va définir une méthode de sommation. C’est un point très important à saisir car tout le reste repose là-dessus.

La méthode de sommation la plus naturelle, c’est de prendre la limite de la suite des sommes partielles. Histoire d’être précis, je vais faire un peu de formalisme.

La méthode « naturelle »

On considère une suite a_n de nombres réels (pour simplifier), et on cherche à affecter à cette suite un nombre réel, que l’on veut associer intuitivement à la somme de tous les a_n. On veut donc construire une application (notons-là \Sigma), à valeur dans \mathbb{R}, et  définie sur l’espace vectoriel des suites réelles (enfin au moins un sous-espace vectoriel) .

La manière naturelle de définir \Sigma, c’est de considérer la suite des sommes partielles

S_n = a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_n,

et de calculer sa limite quand n tend vers l’infini. Si cette limite existe et est finie, on dit que la série converge, et la limite est considérée comme étant « la valeur » de \Sigma a_n :

\Sigma a_n \equiv\mathrm{lim}_{n\to\infty} (a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_n)

Voilà, j’ai décrit mon application \Sigma, et elle est définie sur un sous-ensemble de l’espace des suites réelles: celui pour lesquelles la limite de la suite des sommes partielles existe (notons le {\cal C})

Je me répète : prendre la limite de la suite des sommes partielles est la manière la plus naturelle de faire, celle que l’on fait quand on dit « on prend le premier terme, on ajoute le second et ainsi de suite », mais il s’agit d’une définition, d’un choix. Cette procédure ne découle pas « automatiquement » de l’addition usuelle.

Pour vous convaincre qu’il s’agit d’une extension de l’addition usuelle, en voici une conséquence étonnante : quand on a une somme d’un nombre infini de termes, la valeur de la somme peut dépendre de l’ordre des termes !

Bye bye la commutativité !

Vous le savez, quand on fait des additions, l’ordre ne compte pas : 1+2+3 = 3+1+2, par exemple. C’est une autre propriété de l’addition qui s’appelle la commutativité. C’est bien pratique, mais pour les sommes infinies, ça ne marche pas toujours !

Considérez par exemple cette somme, que l’on appelle la série harmonique alternée

H = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...

c’est-à-dire la série de terme a_n=(-1)^{n-1}/n. On peut assez facilement montrer que la limite de la suite des sommes partielles vaut ln(2). On a donc envie de dire qu’il s’agit là de LA valeur de cette somme infinie.

Et pourtant, si on change l’ordre des termes dans l’addition, on peut changer la valeur de la limite. Plus fort encore, on peut montrer qu’on peut toujours changer l’ordre des termes pour la faire converger faire ce qu’on veut !

Oui oui, vous lisez bien. Si vous réarrangez comme il faut les termes de cette série, vous pouvez la faire converger vers \sqrt{42}/(e+\pi) si ça vous amuse. Et pire encore, ce résultat bizarre n’est pas du tout spécifique à cette série : il marche avec tout un tas d’autres !

(Pour ceux qui font des maths post-bac : ça marche pour toutes les séries convergentes mais pas absolument convergentes. Ça n’est pas très difficile à démontrer, c’est une preuve constructive de la permutation, et cela porte le nom de  théorème de réarrangement de Riemann.)

Vous voyez donc que la définition « naturelle » d’une somme d’un nombre infini de termes est quand même loin d’être innocente, puisqu’on y perd une propriété fondamentale de l’addition : la commutativité !

D’autres méthodes de sommation ?

J’espère vous avoir convaincu que la méthode « usuelle » pour sommer des séries, d’une part est bien une définition (et donc résulte d’un choix); d’autre part n’est pas si gratuite que ça.

Clairement les trois séries que j’ai présenté au début (A, B et S) ne sont pas sommables par la méthode usuelle : leurs suites des sommes partielles ne convergent pas. On ne peut donc pas leur affecter un nombre fini par la méthode naturelle. Mais pourrait-on faire autrement ? Existe-t-il d’autres méthodes de sommation que la méthode « naturelle » ?

Je vous ai dit qu’on peut voir une méthode de sommation comme une application définie sur un sous-espace de l’espace vectoriel des suites réelles, et à valeur dans \mathbb{R}. Évidemment, on ne veut pas faire n’importe quoi, alors on va poser quelques conditions pour dire ce qu’est une méthode de sommation raisonnable.

La principale, c’est qu’on aimerait trouver une méthode qui soit compatible avec la limite de la suite des sommes partielles. On n’a pas envie de construire une méthode qui se mette à affecter de nouvelles valeurs aux séries convergentes ! En pratique, on cherche donc une application \tilde{\Sigma} qui soit un prolongement de l’application \Sigma, c’est-à-dire :

  • qui soit définie sur un espace plus large que l’espace {\cal C} de définition de \Sigma;
  • qui coïncide avec \Sigma sur {\cal C}.

La méthode de Cesaro

Une de ces méthodes, c’est la méthode dite de Cesaro. Au lieu de prendre la limite de la suite des sommes partielles, on prend la limite de la moyenne des sommes partielles, c’est-à-dire qu’on définit

{\Sigma^C}\ a_n\equiv\mathrm{lim}_{n\to\infty}\frac{1}{n}(S_0+S_1+S_2+...+S_n).

J’ai appelé cette application {\Sigma^C} pour la distinguer de la méthode usuelle. Je vous laisse vous convaincre que cette méthode est bien un prolongement de \Sigma : elle est définie plus largement, mais pour toute série convergente, on retrouve le même résultat que la méthode usuelle.

Que nous apporte cette nouvelle méthode ? Prenez la série que je notais A au début de ce billet (qu’on appelle la série de Grandi, et qui n’est pas sommable par la méthode usuelle) la méthode de Cesaro permet de lui affecter une valeur, et cette valeur est 1/2 ! Tiens, la même valeur que celle que l’on trouve avec les manipulations initiales…

La méthode d’Abel

Voyons une autre méthode un peu plus générique, qu’on appelle la méthode d’Abel. L’idée est de considérer la fonction définie par la série entière

f(x) = \sum a_n x^n,

et de voir si elle possède une limite quand x tend vers 1, ce qui formellement représente la somme a_0+a_1+a_2+.... Posons donc la définition de cette méthode de sommation, et appelons là \Sigma^A :

{\Sigma^A}\ a_n\equiv\mathrm{lim}_{x\to 1} \sum a_n x^n .

Voyons ce que ça donne avec la série que je notais B au début du billet. On définit la fonction

f(x)=\sum (-1)^{n-1} n x^n = -x \sum (-1)^n n x^{n-1}

Si vous êtes habitués à dériver des séries entières, je vous laisse vous convaincre qu’on a

f(x) = -x \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right) = \frac{x}{(1+x)^2}.

Or vous voyez que cette fonction se trouve bien définie pour x=1, et vaut 1/4…la même valeur que le calcul heuristique effectué sur B !

Alors est-ce que les calculs du début de ce billet seraient quand même justes ?

Stabilité, linéarité, régularité

Non, « stabilité, linéarité, régularité », ça n’est pas une nouvelle devise pour le pays. Il s’agit de trois propriétés importantes que vérifient les deux méthodes de sommation que j’ai présentées ci-dessus :

La régularité, c’est le fait qu’une méthode coïncide avec la méthode usuelle sur les sous-espaces où elles sont toutes les deux définies. Nous en avons parlé.

La linéarité, c’est le fait que l’opérateur de sommation soit linéaire dans l’espace vectoriel des suites, c’est-à-dire que si on attribue la valeur A à la série de terme a_n et la valeur B à la série de terme b_n, alors on attribue la valeur \lambda A +B à la série de terme \lambda a_n + b_n, pour \lambda un scalaire.

La stabilité, c’est le fait que l’on puisse toujours sortir un nombre fini de termes en tête de la série, de sorte que

\Sigma a_n = (a_0 + a_1 + ... + a_K) + \Sigma a_{n+K}

Maintenant, reprenez les calculs du début de ce billet. Si vous les observez attentivement, vous observerez qu’ils ne se basent que sur ces 3 propriétés !

Ce cela signifie que si on suppose qu’il existe une méthode de sommation stable, linéaire et régulière permettant de sommer la série, alors ces calculs sont valides et conduisent à la bonne valeur !

Pour vous le prouver, je vais récrire le premier calcul de manière tout à fait licite. Supposons qu’une méthode de sommation \tilde{\Sigma} existe pour la suite (1,-1,1,-1,1,…), et que cette méthode soit stable, linéaire et régulière.

Alors on a :

\begin{array}{rclr}A &=& \tilde{\Sigma}(1,-1,1,-1,...)\\ &=&1+\tilde{\Sigma}(-1,1,-1,+1,...)&\mathrm{Stabilite} \\&=&1-\tilde{\Sigma}(1,-1,1,-1,...)&\mathrm{Linearite} \\ &=&1-A&\end{array}

Vous voyez donc que le calcul heuristique sur A mené au début de ce billet est parfaitement légal, pour peu que l’on sache exactement ce qu’on fait ! Et on n’a le droit de n’utiliser que la stabilité et la linéarité. Notamment toute opération de reparenthèsage est interdite, ou toute modification de l’ordre des termes de la série. Ces manipulations en apparence innocentes sont interdites si on veut que les calculs « heuristiques » donnent un résultat sensé. Et bien sûr, ces calculs ne sont licites que si on sait par avance qu’une méthode de sommation stable et linéaire existe pour la série que l’on regarde. Mais si une telle méthode existe, alors le calcul heuristique est licite, et il donne la bonne réponse !

(Je laisse en exercice au lecteur de montrer que le calcul heuristique de B est valide lui-aussi. Attention à bien utiliser la linéarité : on n’a le droit que de sommer terme à terme !)

La régularisation par la fonction zeta

Un cas que je n’ai pas encore traité, c’est celui de la somme 1+2+3+4+5…Pour cette série, les méthodes d’Abel ou de Cesaro ne fonctionnent pas. Mais pour autant il existe une méthode de sommation qui fonctionne ! Pour une série de germe général a_n, on définit

f(s) = \sum \frac{a_n}{n^{s+1}},

et on cherche si cette fonction (définie dans le plan complexe) admet une valeur ou un prolongement analytique en s=-1. Pour la série 1+2+3+4+5+…, avec a_n=n on obtient la fameuse fonction dite « zeta » de Riemann. Cette fonction est définie de la manière suivante

\zeta(s) = \sum \frac{1}{n^s}.

Or cette fonction admet bien un prolongement analytique en s=-1, c’est-à-dire que formellement elle attribue une valeur à la série divergente \sum n ! Or il se trouve que ce prolongement analytique \zeta(-1) a pour valeur -1/12, comme pour le calcul heuristique !

Il existe une autre méthode de sommation, dite de Ramanujan, qui par une procédure différente associe aussi la valeur -1/12 à cette série divergente (voir ici). Vous voyez donc qu’il existe plusieurs méthodes de sommation bien définies qui affectent cette valeur à la série \sum n. Si l’on sait de quoi on parle, tout cela est donc bien raisonnable !

Et pourtant, tout n’est pas clair pour autant, en tout cas pour moi !

Quelques questions ouvertes (pour moi)

A ce stade, on a envie de dire que la méthode de la fonction \zeta et la méthode de Rammanujan justifient le calcul heuristique de 1+2+3+4+5+…=-1/12.

Et pourtant il y a un hic. Dans le billet précédent, un généreux commentateur (nommé « Matheux »)  m’a pointé le calcul suivant. Supposons qu’il existe effectivement une méthode de sommation \tilde{\Sigma} régulière, stable et linéaire définie pour (1,2,3,4,5,…), et qui lui assigne la valeur S, on a alors par stabilité :

\begin{array}{rclr} S &=& \tilde{\Sigma}(1,2,3,4,5,...) & \\ S &=& \tilde{\Sigma}(0,1,2,3,4,...) \\ S &=& \tilde{\Sigma}(0,0,1,2,3,...) \end{array}

Mais en additionnant la première ligne, la troisième et -2 fois la seconde (linéarité), on trouve

0=\tilde{\Sigma}(1,0,0,0,0,...)=1

Ce qui est contradictoire !

Ce calcul montre donc qu’il ne peut pas exister de méthode régulière, stable et linéaire qui soit définie pour 1+2+3+4+5+…(perso je n’ai vu écrit ce résultat nulle part ailleurs) En particulier les méthodes de Ramanujan et de la fonction zeta ne peuvent donc pas vérifier ces 3 conditions. Laquelle n’est pas satisfaite ? Je n’en suis pas sûr, mais je pense que c’est la linéarité. (Quelqu’un a une idée ?)

Est-ce à dire qu’il n’existe pas de manière unique d’assigner une valeur à cette série divergente ? Pourtant il est fascinant de voir que la méthode de la fonction \zeta, la méthode de Ramanujan et la méthode heuristique trouvent toutes la même valeur ! (Au passage, dans mon calcul heuristique, je viole une des 3 conditions, saurez-vous retrouver laquelle et où ?)

Peut-on d’une manière ou d’une autre dire que cette valeur est unique ? Ou qu’elle correspond à un groupe d’hypothèses bien définies ? Ca serait bien, car comme je l’expliquais dans mon premier billet, la valeur de -1/12 est utilisée dans quelques modèles de physique théorique, et notamment c’est elle qui détermine les fameuses dimensions supérieures de la théorie des cordes.

Une piste pour cela, si on voulait appliquer la méthode d’Abel à la série 1+2+3+4+…, il faudrait définir

f(x)=\sum n x^n=\frac{x}{(1-x)^2}

Cette fonction n’admet pas de prolongement en x=1 (Abel ne marche donc pas), mais si on pose x=e^{-h}, on obtient en h \to 0 :

\frac{1}{h^2} - \frac{1}{12} + \frac{h^2}{240} + ...

On voit qu’une fois ôté le terme singulier inital, on retombe sur -1/12 en h=0 c’est-à-dire x=1. Ca doit plus ou moins correspondre à ce qui se passe avec la formule de MacLaurin (voir mon billet précédent)

\sum_n f(n) - \int_0^{+\infty} f(x) dx = \frac{1}{2} f(0) - \frac{1}{12} f'(0) + ...

qui quand on l’applique (illégalement) à la fonction f(x)=x donne :

\left(\sum_n n - \int x\ dx\right) = - 1/12

On retombe sur le -1/12, et la soustraction de l’intégrale à la somme doit physiquement bien correspondre à ce qu’on fait en théorie quantique des champs pour se débarrasser des infinis dus aux énergies de point zéro. Donc les méthodes de Rammanujan ou de zeta sont certainement physiquement justifiables !

En conclusion :

  • Il est possible d’affecter formellement des valeurs à certaines séries divergentes sous certaines conditions
  • Ceci produit des méthodes mathématiques utiles pour aborder certains problèmes physiques.

N’est-ce pas tout ce qu’on demande aux maths ?

Si vous êtes arrivés jusqu’ici, bravo ! En tout cas vous voici maintenant du côté obscur, car Abel lui-même disait en  1826:

Les séries divergentes sont une invention du diable et c’est une honte qu’on ose fonder sur elles la moindre démonstration. On peut tirer d’elles tout ce qu’on veut quand on les emploie et ce sont elles qui ont produit tant d’échecs et tant de paradoxes. (…) Mes amis, voici quelque chose dont il faut se moquer.

Quelques références en vrac :

  • Un excellent billet de Terence Tao qui donne des réponses à plusieurs questions qui se posent à la fin de ce billet : pourquoi la méthode zeta n’est pas stable, quelle est la connection avec Euler-McLaurin, etc. Ca picote un peu, mais il est fort le bougre ! (merci Hervé !)
  • L’article Wikipédia Divergent Series
  • La bible du sujet, Divergent Series de Hardy
  • Un très bon billet en anglais The surprising flavor of Infinite Series, que Lê a écrit après avoir lu et commenté mon premier billet, et où il compare fort opportunément la sommation des séries divergentes à la préparation du fugu !
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74 réponses à Le scandale des séries divergentes ! (ou le retour de 1+2+3+4+5+… = -1/12)

  1. […] cela vous indigne et que vous voulez creuser, n’oubliez pas d’aller lire la suite ici : Le scandale des séries divergentes […]

    • la stabilité suppose que l’on puisse retirer des termes d’une suite, pas d’en ajouter. Donc pour votre « question ouverte », la suite que ‘on regarde c’est (0, 0, 1, 2, 3…). Les termes de la série de la fonction zéta ne sont pas déterminé pour zéro. La suite n’a donc pas de méthode de de somation.

      Inversement les calculs que vous décrivez et qui conduisent a 0 = 1 prouvent par l’absurde que la suite en question (celle qui commence par les deux zéro) n’a pas de méthode de somation stable, linéaire et régulière.

      A noter que si on regarde la série (a, b, 1, 2, 3…) avec a et b non nul. la série a bien sa méthode de somation et le petit calcul fait plus haut où on sort les deux premiers termes conduit à 0 = 0. Donc pas de problème.

      Et encore merci pour ce blog.

    • Moi dit :

      La méthode heuristique utilise une autre propriété que régularité, linéarité et stabilité.

      Reprenons la fin de la démonstration :
      S – B = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … ) – (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + …) = (0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + …)
      A ce stade de la démonstration, ilretire les 0 de la somme, alors que ni la régularité, ni la linéarité, ni la stabilité ne le permettent.

      Ce retrait de 0 peut sembler anodin ; cependant, si nous reprenons les moyennes de Césaro et que nous considérons la somme suivante :
      A’ = 1 + 0 – 1 + 1 + 0 – 1 + 1 + 0 – 1 + …
      Je n’ai fait qu’ajouter des 0 dans la somme A ; et pourtant, il est facile de se convaincre que la somme en moyenne de Césaro vaut 2/3 et non 1/2.

  2. christophe.zhang dit :

    Bonjour,
    Dans votre premier billet vous donnez une autre definition (qui a l’avantage d’etre naturellement lineaire) de la regularisation par la fonction zeta. Celle que vous donnez ici pose des problemes de definition s’il y a des termes nuls.

    Quoiqu’il en soit je crois que la stabilité pose probleme:avec la methode du precedent billet,on peut regulariser la serie de terme constant egal a 1, o.obtient la

    • christophe.zhang dit :

      On obtient la valeur de zeta(0), soit -1/2. Mais en rajoutant un zero devant, on obtient comme nouvelle valeur -3/2!

      • David dit :

        Ah ! Ce serait donc la régularité !
        Oui sinon il doit y avoir une erreur dans ma définition de la sommation « à la zeta » pour une série de terme général a_n (au-delà du cas a_n=n qui donne Riemann)
        Peut-être qu’il faut écrire
        \sum \frac{a_n}{n^{s+1}} et prendre s\to -1, plutôt ?

      • christophe.zhang dit :

        Oui,c’est la methode que vous donniez dans le premier billet! Je crois que lorsqu’on regularise zeta,on fait souvent plus appel a son prolongement analytique, pour lequel l’ecriture en serie n’est que formelle. C’est peut etre pour ça qu’on perd des « bonnes » propriétés..

      • David dit :

        Oui bien vu ! C’est corrigé !

  3. emynona dit :

    Excellent billet, j’avais lu le précédent sur ce sujet.
    J’apprécie d’avantage celui-ci, on sent que ce sujet à mûri dans ta tête. C’est mieux expliqué.
    Ou alors peut-être que je suis devenu trop formé à lire de math post-bac du style prépas.
    En tous cas, félicitation.
    Dommage qu’il n’existe pas d’opérateur de sommation régulier, stable et linéaire. Ça aurait été trop beau. Cela casse tout. Peut-être peut-t-on mettre une contrainte pas trop trivialle sur les suites tel que sur ce sous-ensemble il puisse exister une tel opération.

    Bonne journée/soirée.

    • David dit :

      Oui ce serait intéressant de pouvoir caractériser cet ensemble de suites pour lesquelles on sait qu’on peut trouver une méthode régulière, stable et linéaire. Car du coup, pour toutes les suites de cet ensemble les manipulations « heuristiques » donneraient des résultats corrects (en respectant les règles bien sûr !)

      • emynona dit :

        C’est pas si facile que cela, je pensait que les suite bornée auraient pu faire l’affaire, cela aurait été peu mais déjà bien.

        Or la suite 1,1,1,1,1,1,… et bornée. Si on notait A=1+1+1+…
        Par linéarité A=1,0,0,0,… + 0,1,1,1,…
        Par régularité le premier terme vaut 1
        Par stabilité le second vaut 0+1
        Ainsi A=A+1
        Donc 0=1.
        C’est pas bon.

        Il reste sûrement les suites de moyenne partiel convergente ( par exemple 0,1,0,1,0,1,0,1,… donc la moyenne tend vers 1/2) et l’opérateur de série serait celui de césaro. Mais cela ne marche pas non plus.
        1,1,1,1,1,1,1… est encore dedans.

        Il ne reste plus grand chose comme sous ensemble des suites. ( Si cela ce trouve, on peut montrer que le plus grand est celui des suites dont la suite des sommes partiels est convergente :) )

        C’est dommage, c’est trop restreint pour devenir intéressant. Ce qui n’enlève pas le fait que l’article est très intéressant.

      • David dit :

        Très bien observé pour 1+1+1+1+…
        Effectivement ça montre (comme pour 1+2+3+4+) qu’il ne peut pas exister de méthode vérifiant les 3 conditions qui marche pour cette série.
        D’ailleurs ça ne fonctionne pas avec Abel, puisque qu’on obtient 1/(1-x) qui a un pôle en 1…

      • emynona dit :

        Oups, j’ai fait une faute de frappe dans l’exemple que je donne.
        A=somme(1+1+1+1+…)
        A=somme(1+0+0+0+…) + somme(0+1+1+1+…) (linéarité)
        A=1 + ( 0 + somme (1+1+1+1+1+…) (régularité pour le premier terme, stabilité pour le second)
        A=1+A
        0=1

      • dit :

        Super article, comme toujours ! Merci pour le lien :P

        Dans mon article, je montre que toute suite définie récursivement par une formule
        u(n+k) = a(0) u(n) + a(1) u(n+1) + … + a(k-1) u(n+k-1)
        peut être sommée. Ceci inclut les séries géométriques u(n+1) = q u(n), et donc la somme 1-1+1-1+…

        Plus exactement, il existe une unique sommation régulière, stable et linéaire définie sur la somme de l’espace vectoriel des suites convergentes et l’espace vectoriel des suites définies récursivement.

        Et puisque les suites définies récursivement sont définies par un nombre fini de réels (les k coefficients a(i) et les k premiers termes de la suite), on peut en fait facilement construire un algorithme qui calcule leur somme !

      • Denis dit :

        Lê, cela n’est-il pas en contradiction avec le fait que 1+1+1+1+… n’est pas sommable ?

  4. 1 « J’émets une réserve quant à vos calculs qui au demeurant sont justes. Je pense que les valeurs de S comme de B prises séparément restent incalculables car infinies ; et que cette égalité S = – 1/12 n’est pas le résultat de la valeur de S, mais plutôt le résultat du rapport de grandeur existant entre S et B.
    En analysant cette suite numérique (1+2+3+4+5+6+7+…) deux choses sautent aux yeux. La première est le résultat qui est nécessairement positif ; et la seconde est l’infini qui par définition signifie : « Qu’on ne peut évaluer, qui est incalculable. »
    Or cette égalité S = – 1/12 aboutit au résultat suivant : – 0.083 qui plus est un résultat négatif. »

    2 « Ce qui est dommage dans ce post, ce n’est pas tant ce que vous en dites, mais plus ce qu’on en retient. On en retient que les mathématiques sont conditionnées ; et en cela, elles sont restrictives. On ne peut lutter contre une ineptie que par un contre-exemple.
    Pouvez-vous trouver la valeur de cette suite numérique ? : (7+81+23+14+12000+45+…). Je confirme qu’il s’agit bien d’une somme infinie et que les chiffres se succèdent de façon aléatoire. Vous ne pouvez pas, n’est-ce pas ? Votre échec patent prouve que ne peut pas tout mathématiser ; et du même coup, redonne ses lettres de noblesse à ma définition première : « l’infini qui par définition signifie : Qu’on ne peut évaluer, qui est incalculable. »

    —————————————————————————–

    3 Ci-dessus, je retranscris mes anciens commentaires, afin de les compléter d’un troisième. Je vous propose l’égalité suivante : 1+2+3+4+5+6+7+… = 7+81+23+14+12000+45+… Toutefois, je précise que la deuxième valeur est bien une somme infinie et que les chiffres se succèdent de façon aléatoire sans jamais se répéter. Mon égalité me semble juste tout en respectant la commutativité inhérente à l’addition. Pourquoi ? Parce que sans même réaliser un seul calcul, je peux prendre n’importe quelle valeur et dire qu’elle est égale à elle-même, ce que mon addition démontre puisque sa simplification est ∞=∞. Et puis tiens ! soudainement, il me vient l’idée qu’il serait peut-être possible d’avoir -1-2-3-4-5-6-7… = +1/12 juste comme ça en passant.

    Bien à vous…

    • emynona dit :

      C’est dommage que vous voyez ceci de cette façon. Vous êtes choqué car cela ne vous parait pas « naturel ». Mais si on y réfléchit bien, rien n’est naturel. C’est comme si on donnait les nombres relatifs à quelqu’un qui ne connaît que les nombre positif. C’est a dire ajouter des « nouveaux » nombres tels que pour tout les « anciens », il en existe un avec qui la somme fait 0 et qu’on puisse étendre l’opération d’addition avec ceux-ci. La personne nous dira que si on somme 2 nombres, on ne peut que augmenter (la somme de deux positif fait augmenter le nombre) et qu’on ne peut espérer atteindre 0. ( où d’autre qu’on ne peut définir de série à terme positif dont la valeur serait négative ). Bref que ceci n’a aucun sens. ( On peut transposer cet exemple aux rationnel, réels, complexes.

      Il faut juste comprendre que tout en math est issus d’une certaine construction et que tout choses doit être entièrement défini de sorte que toute phrase puisse être indiscutée. Par exemple vous parler de quelque chose d’aléatoire, l’aléatoire dont dans le sens commun n’existe pas en math ( même pas en probabilité :) , on fait que des manipulation de nombre et tout est strictement défini )
      C’est cela qui est vraiment sympa en mathématique. Tout doit être à la fois strictement énoncé mais on a une liberté infini d’inventé nos définition.

      Bonne soirée.

      • « Mais si on y réfléchit bien, rien n’est naturel. »

        Cette phrase m’indique qu’il n’est pas besoin de réflexion ou si peu pour être mathématiciens. Gaston Bachelard les nommait ces prophètes de l’abstrait. A l’inverse, n’importe quel penseur pourrait vous démontrer que tout est naturel. Le soleil est un générateur de lumières comme l’homme est un générateur de pensées ; de l’un naissent les fleurs ; de l’autre, les idées. En cela, il n’est rien dans l’Univers qui ne soit contre-nature, sauf à considérer l’espèce humaine sans appartenance. L’Univers est régit par la loi des possibles, rien d’autres.

        Bien à vous…

    • TBen dit :

      Juste une petite précision, attention lorsqu’il s’agit de manipulations d’infinis!!
      Exemple:
      Si on choisi un modèle où 1+2+3+….=infini, (ce qui est possible, mais dans ce cas on se place non plus dans R mais dans la droite réelle achevée pour l’ensemble d’arrivée de l’application somme), on se retrouve aussi avec 0+1+2+3+…=infini, donc 0+1+2+3+…=1+2+3+… et alors, par différence, (1+2+3+…)-(0+1+2+3+…)=0 or par linéarité, cela donne (1+1+1+1+…)=0 ie 0=infini!!
      On a comme une contradiction! Bon là je l’ai fait salement, c’est parce que j’ai repris l’argument « l’infini, c’est l’infini », mais même sans ça, 0+1+2+3+…=1+2+3+… c’est l’axiome de stabilité!

      Toujours dans la même veine, toujours en utilisant nos trois axiomes, je vais montrer que pour tout a dans IR, a=0: en effet, on a a+a+a+… = 0+a+a+… par stabilité, ensuite, en faisant la différence, 0=(a+a+a+…)-(0+a+a+…) ce qui donne par linéarité de la somme 0=a+0+0+… soit par régularité, a=0, CQFD
      Il résulte de ce puissant théorème que tous les nombre réels sont égaux, et ils sont égaux à l’infini!

      Biensûr tout ceci est parfaitement absurde et ne montre que le fait qu’un opérateur somme qui manipule des sommes infinies ne peut pas être à la fois régulier, linéaire et stable. En fait il devient non linéaire dès que l’infini apparaît, et donc ce ne sont pas des opérateurs tout le temps satisfaisant, il prolongent assez mal les opérateurs de somme sur les séries absolument convergentes, c’est pour cela que l’on veut aller en chercher un autre, même si a priori cela semble bizarre qu’il donne une somme négative…
      On a en fait pour cette série deux notions de somme qui sont différentes et on choisit l’une ou l’autre selon le contexte, rien de plus.

      Quand à savoir si c’est « naturel » ou pas, rappelez vous un peu les problèmes qu’ont posé à l’ensemble des communautés scientifiques de l’époque les nombres irrationnels, transcendants, complexes, le paradoxe de Russel, les travaux de Cantor, de Gödel, et j’en passe…
      Rien n’est naturel, dans un cadre logique fixé, les choses sont ce qu’elles sont (ne parlons pas des indécidables) et elles nous semblent plus ou moins intuitives, mais l’intuition change, alors que tout ce dont on parle est immuable, une fois le cadre posé. Le « problème » soulevé par ce résultat négatif est purement subjectif, la conpréhension est peut être partielle sur ce sujet, mais à n’en pas doûter un opérateur de somme satisfaisant à tous les niveaux même pour les séries divergentes existe ou n’existe pas

      • David dit :

        Merci pour l’exemple de a+a+a+a+… Effectivement cela montre bien qu’il existe un tas de séries non-sommables par une méthode régulière, stable et linéaire !

    • Luigi dit :

      Un étudiant en physique sait que l’infini n’est jamais très loin. En optique géométrique, il suffit généralement de se placer à plus de 5m d’une focale pour considérer la distance infinie. En chimie, 1mm est plus que suffisant pour que les interactions entre molécules soit négligeables car à l’infini l’une de l’autre. L’infini est une notion abstraite, relative, présente dans tous les domaines, et c’est notre conception limité de l’univers qui limite son appréhension.

      Par densité, il existe une infinité de nombre rationnels sur intervalle [0;1] de l’espace des réel.
      Il est facile de considérer cette affirmation ‘naturelle’. Pour deux points de ce segment, on pourra toujours en trouver un troisième situé entre les deux premiers.
      Voilà un exemple d’infinité dont même un élève de CP peut faire l’expérience sans en maitriser les concepts mathématique sous-jacent.

      Les deux articles précédents sont une vulgarisation scientifique (très pédagogue) d’un paradoxe mathématique fascinant, dont les physiciens n’ont pas attendu la démonstration formelle pour le mettre en pratique (l’histoire se répète bien souvent).
      Considérer le problème avec hauteur en déclarant « cette phrase m’indique qu’il n’est pas besoin de réflexion ou si peu pour être mathématiciens » constitue pour moi un manque flagrant de compréhension et un manque de respect pour une science des plus rigoureuse.
      Peut être l’emploi du terme « naturel » vous a-t-il choqué ? Corrigez-le par « intuitif ». Les mathématiques nous apprennent à développer notre intuition tout autant que de nous en méfier.
      Excusez mon ton vindicatif et mes éventuelles fautes d’orthographes (j’ai mes lacunes). J’espère que ce long texte vous aura donné matière à réflexion.

      • Ma phrase n’est que le déni d’une autre ; en cela, seulement, elle est irrévérencieuse. Maintenant, elle ne possède pas l’aspect universel que vous semblez lui prêter. J’ai pour usage de toujours séparer les matières d’étude et ceux qui les pratiquent ; car si la matière prédominait, il n’y aurait jamais de découvertes ni d’avancées.

        « Par densité, il existe une infinité de nombre rationnels sur intervalle [0 ; 1] de l’espace des réel. Pour deux points de ce segment, on pourra toujours en trouver un troisième situé entre les deux premiers. »

        Je suis en contradiction avec ce toujours ; car pour moi, il n’existe pas d’infini vers l’infiniment petit. Il existe un point au-delà duquel la matière ne peut aller, une criticité subatomique bien supérieure à celle de l’atome qui est à l’origine de la formation des trous noirs ; en considérant que chaque trou noir, en atteignant sa taille définitive, reproduit en son centre les caractéristiques physiques d’un Big Bang.
        Ce toujours est valable, à la condition qu’il n’existe pas de singularité gravitationnelle.

        Bien à vous…

  5. […] Il y a quelques mois, j’ai écrit ce billet au sujet de la somme 1+2+3+4+5+… Toutes proportions gardées, ce billet est à ce jour le plus controversé de ce blog, et il m’a valu une flopée de commentaires parfois moqueurs ou condescendants.  […]

  6. Denis dit :

    Très bon billet encore une fois, merci beaucoup! Je trouve comme tout le monde dommage qu’il n’y ait finalement pas d’opérateur de sommation « propre » pour prouver S=-1/12, mais c’est la vie…

    à propos de la commutativité, cela me rappelle un joli problème: quelles sont les permutations pi:N->N qui préservent la convergence de toute série ? (pas facile!)

    PS: un seul « m » à Ramanujan ;)

  7. Tootow dit :

    Décidément c’est la période, Numberphile aussi avait sorti sa vidéo sur le sujet :

    • David dit :

      Oui je crois que c’est cette vidéo qui rallumé le feu en fait. Elle a inspiré l’article de Bad Astronomy que je cite, ainsi que la vidéo de « e-penser » sur le même sujet.

      J’avais noté depuis quelques jours un regain de connexions sur mon ancien billet sur le sujet, tout s’explique maintenant !

  8. kuk dit :

    Beau travail ! J’ai lu les deux billets avec un égal plaisir, alors même que la surprise était passée pour le plus récent, preuve de la qualité du 2ème.

  9. Arthur dit :

    Un de mes anciens profs de maths a partagé ça sur google+ (accessible en mode public). Je n’ai pas tout compris mais j’ai l’impression qu’il va encore plus loin que vous !

  10. iksess dit :

    Merci.
    C’est intéressant de se faire démontrer des choses fausses !

    Mais pour le non mathématicien que je suis, je trouve qu’il y a du mou dans la corde à noeuds (expression reprise de mon illustre prof de math de fac) sur ce point:

    vous insistez sur le fait que
    « quand on a une somme d’un nombre infini de termes, la valeur de la somme peut dépendre de l’ordre des termes ! », il n’y a pas de commutativité, etc…

    Mais cela ne vous empêche pas d’utiliser intensément

    A = ET B = => A+B =

    Ca me semble contradictoire. Et visiblement, il n’y a pas implication.
    Donc dés la premières ligne, si ca se trouve, c’est faux:
    A = 1- 1 +1 -1 ….
    n’implique peut être pas que A = 1- ( 1 -1 +1 -1 … )

    Jusqu’à preuve du contraire ;)

    • David dit :

      Vous confondez commutativité et linéarité :
      La commutativité c’est le droit de faire une permutation des termes de la suite, la linéarité c’est le droit d’additionner deux suites termes à terme.

      • iksess dit :

        Le fait de mettre des parenthèses sur une partie de la suite, pour pouvoir la factoriser par -1, je considère que c’est utiliser la commutativité: on change l’ordre d’application de la somme.

    • TBen dit :

      Le fait de pouvoir associer comme on veut les nombres en groupes parenthésés pour calculer une expression, s’appelle l’associativité, et elle n’a pas de lien direct avec le fait de pouvoir faire les opérations en changeant l’ordre des termes (voir l’exemple 16 de http://devys.cpge.voila.net/Complements/groupes_anneaux.pdf). De plus ici ce n’est par réellement l’associativité que l’on utilise, mais l’axiome de stabilité, qui, si on considère la somme infinie comme prolongement de la somme usuelle (donc qui garde les mêmes propriétés) découle de l’associativité de cette derniere.
      Ce qui peut troubler est qu’effectivement on effectue les opérations dans un autre ordre, mais c’est pas comme si on permutait, en réalité, chaque nombre reste à sa place.

      De plus, on perd la commutativité, mais pas tout à fait quand même, même pour une série convergente non absolument convergente, on ne changera rien à la somme en ne permuttant qu’un nombre fini de termes, pour changer cette somme, il faut obligatoirement bouger un nombre infini de termes
      La démonstration est simple: on prend une série Somme(a_n), si on change la place de N termes, alors on dispose de K tel que tous les nombres qu’on a bougé partent d’un indice plus petit que K et arrivent à un indice plus petit que K. Notons Somme(b_n) la série d’arrivée:
      On a a_n=b_n pour n >K.
      donc Somme(a_n) = a_1+…+a_K + Somme(a_n, n>K) = a_1+…+a_K + Somme(b_n, n>K),
      or a_1+…+a_K = b_1+…+b_K (ce sont les mêmes termes, mais permutés dans une somme finie, où l’on a commutativité)
      donc Somme(a_n)=b_1+…+b_K+Somme(b_n, n>K)=Somme(b_n) CQFD
      Je pense que ce petit exercice vous permettra de mieux comprendre et distinguer les différentes notions abordées

  11. iksess dit :

    Correction de mon post ci dessus, qui a mal pris que j’utilise les caractères ‘inférieur’ et ‘supérieur’ ( et je ne vois pas comment le changer )

    Merci.
    C’est intéressant de se faire démontrer des choses fausses !

    Mais pour le non mathématicien que je suis, je trouve qu’il y a du mou dans la corde à noeuds (expression reprise de mon illustre prof de math de fac) sur ce point:

    vous insistez sur le fait que
    « quand on a une somme d’un nombre infini de termes, la valeur de la somme peut dépendre de l’ordre des termes ! », il n’y a pas de commutativité, etc…

    Mais cela ne vous empêche pas d’utiliser intensément

    A = « écriture 1″ ET B = « écriture 2″ => A+B = « mix des écritures 1 et 2  »

    Ca me semble contradictoire. Et visiblement, il n’y a pas implication.
    Donc dés la premières ligne, si ca se trouve, c’est faux:
    A = 1- 1 +1 -1 ….
    n’implique peut être pas que A = 1- ( 1 -1 +1 -1 … )

    Jusqu’à preuve du contraire ;)

  12. Ethaniel dit :

    La vidéo de Numberphile a également donné lieu à cet article : http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/01/20/is-the-sum-of-positive-integers-negative/ ; ce dernier donne en conclusion beaucoup de liens sur le même sujet.

    Pour ma part, en tant qu’(ex-)physicien, le fait que la Réalité elle-même prouve que la somme considérée vaille bien -1/12 par l’intermédiaire de l’effet Casimir me suffit amplement.
    À moins que… (lire, de Greg Egan, les nouvelles « Radieux » dans le recueil homonyme et sa suite « Les Entiers sombres » dans le recueil « Océanique » ;). Je ne suis pas fan des romans de Greg Egan, mais ses nouvelles sont des merveilles !)

  13. ab dit :

    C’est idiot, on peut réordonner des séries de ce genre pour « converger » vers tous les réels qu’on veut.
    Un exercice très simple, qui généralise votre blabla sans vous contredire :

    soit
    u_n –> +infty
    v_n –> +infty
    u_{n+1}-u_n –> 0

    montrer que (u_n-v_m)_{n,m>0} est dense dans IR.

    et là c’est des vraies maths, il n’y a aucun paradoxe.

  14. Toulgoat dit :

    A=1-1+1-1+1-1+…
    A=1-(1-1+1-1+1-1+…)
    A=1-A
    Puisqu’on a A = 1-A, on peut déduire que A=1/2.

    A=1-1+1-1+1-1+…
    A=1-(1-1+1-1+1-1+…)
    A=1-(1-(1-1+1-1+1-1+…)
    A=2-A
    Puisqu’on a A = 2-A, on peut déduire que A=1.
    Donc 1/2=1=∞
    ?

    • David dit :

      Ah, là c’est facile ! Simple erreur de calcul.

      Là où tu as écris « = 2-A », tu aurais du écrire « 1-(1-A) » qui vaut « A » et non pas « 2-A » ;-)

      • Toulgoat dit :

        Autant pour moi (ou « au temps » il parait…)

        Je n’ai pas lu tout le billet, et je le ferai, presque promis,
        Quelque chose me chiffonne:
        A=1-1+1-1+1-1+…
        A=1-(1-1+1-1+1-1+…)
        A=1-A
        Puisqu’on a A = 1-A, on peut déduire que A=1/2.
        Jusque là tout va bien

        A=1-1+1-1+1-1+…
        A=(1-1)+(1-1)+(1-1)+…
        A=0+0+0+…
        A=0
        Où est l’erreur?

        A=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…
        A=1
        Où est l’erreur?

      • Toulgoat dit :

        ça y est.. je n’ai pas tout compris, sinon qu’avec des méthodes différentes on tombe sur les mêmes résultats
        encore merci pour votre site

      • David dit :

        Le fait de placer des parenthèses parait relativement innocent, mais c’est une possibilité qu’on perd dès que l’on utilise certaines méthodes de sommation étendues. Ca n’a l’air de rien, mais c’est une transformation non-linéaire dans l’espace vectoriel des suites !

      • TBen dit :

        Placer des parenthèses où on veut revient à prendre des suites extraites de la suite (S_n) des sommes partielles (ici, ce sont la suite des termes d’indice pair (S_{2n}) et ceux d’indice impair (S_{2n+1}))
        La série étant divergente (au sens classique du terme), la suite de ses sommes partielles diverge, et il n’y a aucune raison que ces sous-suites convergent vers la même chose.
        C’est pourquoi cette opération est « interdite »

    • ahaha dit :

      Votre deuxième calcul aboutit à A=A.

      Si on avait aboutit à une contradiction, la conclusion aurait été « il n’existe de pas de sommation stable, …, … qui soit défini sur un sous-espace vectoriel stable … qui contient la suite testée ».

      Tiens au fait le sous-espace doit être stable par décalage (shift). Je ne l’ai pas vu passer dans le texte.

      • David dit :

        Ah oui, exact pour la condition sur le sous-espace. C’est obligatoire si on veut la stabilité de l’opérateur de sommation !

  15. Pascal dit :

    Encore merci pour ce blog toujours très bien documenté et très agréable à lire.

    Il me semble que pour les sommes qui convergent suivant la méthode de Césaro, on peut démontrer la régularité, la linéarité et la stabilité. Donc pour les sommes qui répondent à ce critère on peut appliquer ces règles pour de calcul. Cela justifie les calculs de A et B en début de billet.
    La somme 1+1+1+1…. ne converge pas avec la méthode de Césaro : on ne peut donc pas appliquer les règles proposées. Réciproquement le fait que l’on puisse trouver deux calculs respectant les règles de régularité, linéarité et stabilité qui donnent des valeurs différentes montre que cette somme ne converge pas avec la méthode de Césaro.
    La somme 1+2+3+4+5… ne converge pas suivant la méthode de Césaro. Mais il me semble aussi que dans le calcul proposé en début de billet on n’utilise pas la stabilité, mais une autre règle qui est la suivante (en plus de la linéarité) :
    0+2+0+4+0+6+0+… =2+4+6+…
    Autrement dit on accepte d’extraire la suite des zéros aux rangs impairs. Il me semble donc que pour étendre la somme suivant le critère de Césaro afin d’inclure 1+2+3+4+… tout en gardant la régularité et la linéarité, on a besoin de remplacer la règle de stabilité par une autre, qui permet d’extraire les zéros de rang impairs.
    Je ne sais pas si l’extraction de la suite des zéros aux rangs impairs est une règle qui peut être déduite de la régularisation par la fonction zêta. Je vais y réfléchir….

  16. Anonyme dit :

    A=1-1+1-1+…-1=1-(1-1+1-1…)=1-A’
    si dans le premier A il y avait infini de nombres
    dans le deuxieme A’ il y a infini moin un
    Ma question est que plus l’infini moin un vaut il plus l’infini ?
    Merci pour votre billet bien expliqué.

    • TBen dit :

      Je pense que le mieux pour se convaincre de la réponse à cette question est de regarder les nombres entiers naturels (0;1;2;…) les points de suspention suggèrent qu’on continue comme ca à l’infini. On a donc +inifini nombres. Maintenant on va regarder les mêmes en enlevant 0, il nous reste (1;2;3;…): on a toujours nos points de suspentions, donc on en a encore +infini, mais on en a enlevé 1, donc on en a +infini-1
      donc +infini – 1 = +infini (ca c’est la version très simplifiée)
      On peut remarquer que l’on passe sans problème du premier ensemble au deuxième en ajoutant 1, ainsi
      01
      12
      23
      etc…
      En mettant à gauche un du 1e ensemble et à droite un du 2e. En faisant ca, on parcourt tout le premier ensemble et en même temps (même nombre d’étapes) tout le deuxième . Donc il y a bien autant de nombre, qu’il y en ai l’infini, ou l’infini moins 1.

      Attention cependant, j’ai volontairement simplifié pour répondre, mais il y a plusieurs infinis de nombres, il y a un inifni beaucoup plus grand de nombres réels que de nombres entiers, mais ils gardent en commun de ne pas changer si on enleve un seul element

    • Denis dit :

      C’est même parfois comme cela que l’infini est défini: un ensemble est infini s’il est de même taille qu’une de ses parties strictes.

      • Vous avez une vision erronée de l’infini. La principale caractéristique de l’infini est d’être sans limite c’est-à-dire sans début ni fin. Par conséquent, dans un tel espace, pour toutes choses, il est impossible de demeurer, bien que les nombres le font par le biais d’abstractions mathématiques. Plus avant, quand j’écrivais que ∞=∞, cela ne vaut que pour l’espace non pour le temps qui, lui, possède bien un début et une fin. L’espace est aussi inamovible que le temps, impermanent.

        Bien à vous…

  17. Gooré dit :

    je suis surpris que cette absurdité émeuve plus d’un. dans le calcul de notre « savant » il y a une hypothèse inavouée : la divergence de la série 1-1+1-1+1-… c’est au nom de cette divergence que quand il pose A=1-1+1-1+1-… = 1- A. Parce qu’en faite infini +/- a = infini (a nombre réel). en claire le savant étonné démontre la convergence d’une série après avoir supposé sa divergence.

  18. cristof dit :

    vous dites en passant que la validitė de vos calculs est confirmée par la pratique en physique. c est, de très loin, le point le plus important. et le plus etonnant. pourquoi ne detaillez vous pas plus ce point? je ne trouve pas de reference à ce fameux « infini=-1/12″ (je simplifie, mais cela revient à ça, non?) dans mes maigres recherches sur l effet Casimir.

    • David dit :

      On peut voir ici une comparaison des différentes méthodes de calcul de l’effet Casimir :

      http://www.maths.qmul.ac.uk/~tp/talks/casimir.pdf

      Et notamment comment le -1/12 est lié à la formule d’Euler Mac-Laurin.

      J’avais donné un peu plus de détails dans le dernier paragraphe de mon premier billet sur le sujet :

      http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/

      (ce billet était moins rigoureux mathématiquement mais abordait plus les aspects physiques).

      D’ailleurs si on regarde la formule d’Euler Mac-Laurin, voit que si on veut écrire une égalité du genre « infini=-1/12″, c’est plutôt :

      \int dx\ x - \sum_n n = -1/12

      • cristof dit :

        merci pour votre réponse. et pour votre blog en général. Effectivement, l’application pratique était très bien développée dans votre premiere article. Je n’ai pas tous compris pour être honnete ( mais math niveau bac…). La formule d’Euler Mac Lauin me choque dèjà moins.
        Pour les cas pratiques, je vois que c’est surtout utilisé en manipulant des dimensions multiples: je ne sais pas s il y a un rapport, mais finalement, une droite représente l ‘infini dans une dimension, et peut n’être qu’un point dans une dimension orthogonale.

  19. Pierre dit :

    Salut David,
    Une petite question ouverte : je n’ai pas lu le raisonnement stricte, juste celui qui est approché et j’ai l’impression qu’on peut en faire un autre et trouver un résultat tout aussi raisonnable.
    S=1+2+3+…
    2S=2+4+6+…
    2S-1=1+3+5+…
    4S-1=1+2+3+4+5+6+…=S d’où S=1/3
    Qu’est ce qui cloche là dedans et qui ne clochait pas dans la démo du billet précédent ? Quel argument rigoureux contredit ce résultat ? Est ce la « régularité, stablilité et linéarité » qui foire ?

    • Pierre dit :

      Re-Salut ,
      J’ai écrit n’importe quoi au-dessus, la troisième ligne est fausse. Donc, « avec les mains », on ne peut trouver que -1/12 ?

      • David dit :

        Effectivement je crois que tu as mis un 1 là où il y aurait dû avoir un A.

        Malheureusement je n’ai pas de réponse à ta question :

        * Le calcul que je présente au début pour trouver S ne respecte pas les 3 hypothèses « régularité, linéarité, stabilité », si tu regardes en détail, il y a une insertion d’un nombre infini de zéro à un endroit. Et pourtant il donne -1/12.
        * Un autre calcul présenté plus loin dans le billet et respectant les 3 hypothèses aboutit à une contradition (0=1), donc par l’absurde on démontre qu’il ne peut pas exister de méthode respectant les 3 hypothèses et qui somme S.
        * Les méthodes de la fonction zeta et de Ramanujan ne repsectent evidemment pas les 3 hypothèses, et pourtant donnent -1/12.

        En conclusion, je n’ai aucune explication de pourquoi un calcul qui viole allégrement la linéarité donne quand même le bon résultat ! Coup de chance ? Signe d’un truc plus profond qui m’échappe ?

        On peut imaginer montrer que la méthode zeta ne respecte pas la stabilité (insertion d’un nombre fini de zéro en tête) mais soit stable par l’insertion d’un nombre infini de zéro un terme sur 2 ?? Mais ça paraît tiré par les cheveux !

        De manière générale, si on démontre que le calcul ‘heuristique’ n’utilise que des manipulations autorisées par la méthode de zeta, alors on démontre a posteriori sa validité. Mais je n’ai pas cherché.

  20. Moi dit :

    La méthode heuristique utilise une autre propriété que régularité, linéarité et stabilité.

    Reprenons la fin de la démonstration :
    S – B = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … ) – (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + …) = (0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + …)
    A ce stade de la démonstration, ilretire les 0 de la somme, alors que ni la régularité, ni la linéarité, ni la stabilité ne le permettent.

    Ce retrait de 0 peut sembler anodin ; cependant, si nous reprenons les moyennes de Césaro et que nous considérons la somme suivante :
    A’ = 1 + 0 – 1 + 1 + 0 – 1 + 1 + 0 – 1 + …
    Je n’ai fait qu’ajouter des 0 dans la somme A ; et pourtant, il est facile de se convaincre que la somme en moyenne de Césaro vaut 2/3 et non 1/2.

  21. […] Ce post de blog (merci Amaury pour me l’avoir fait retrouver) est excellent sur le sujet. […]

  22. thesacristan dit :

    (infini) = 2 * (infini) +1
    0 = infini +1
    infini = -1

  23. Pierre M. Boriliens dit :

    Bonjour,

    Je me pose quelques questions quand même. Par exemple celles-ci :
    1) l’addition (de 2 entiers en tous cas, et par récurrence d’un nombre quelconque d’entiers) est en principe une loi de composition interne. Comment se fait-il que l’addition d’un nombre infini d’entiers perd cette propriété d’être une loi de composition interne, puisque le résultat n’est pas un entier ?
    2) est-ce que Cantor n’a rien fait à ce sujet ?
    3) qu’en pense l’analyse non-standard (Robinson, Nelson, Reeb…) ?

  24. Il y a eu une excellente conférence en ligne donnée en 2009 par le mathématicien Jean-Pierre Ramis – « Leonhard Euler, ou l’art de donner un sens à ce qui n’en avait pas ». http://vimeo.com/30907930

  25. Et le livre de synthèse lisible par les lecteurs de cette rubrique: J.-P. RAMIS
    Séries divergentes et théories asymptotiques
    Panoramas et Synthèses, Société mathématique de France (1993)

  26. Je vous signale aussi l’article de Jérôme Buzzi Liberté et formalisme : 1+2+3+4+5+… = ? http://images.math.cnrs.fr/Liberte-et-formalisme-1-2-3-4-5.html paru le 17 février 2014 sur Image des maths.

  27. Minaudier dit :

    je suis tombé sur cet article un peu par hasard et après l’avoir lu, j’aimerai vous posez une question (au risque de paraitre stupide ^^) : comment avez vous décomposé le terme entre parenthèses dans l’exemple 2 (somme B) ?

  28. […] Ce post de blog (merci Amaury pour me l’avoir fait retrouver) est excellent sur le sujet. […]

  29. (QUÉBEC) Étant personnellement seulement rendu en secondaire 5 (dernière année avant le CÉGEP, j’ai 16 ans), je n’ai vraiment pas tout compris malgré que j’aie tout lu! ;) Je me demandais, est-ce que ça signifie que INFINI = -1/12 ? Je vous lis depuis que j’ai lu un de vos articles sur Flipboard et je suis tombé en amour avec votre site. Très intéressant, continuez de m’épater. J’ai particulièrement été fasciné par 0,999… = 1!

  30. Fabre dit :

    Très intéressant tout cela. Pas évident de tout comprendre. une question : Si l’on considère la somme des entiers naturels (1+2+3+4+5+6+…) comme la somme des entiers naturels impairs plus la somme des entiers naturels pairs, utilise-t-on la commutativité? Et si oui la suite des calculs n’est pas  »valable » étant donné qu’on est en présence de sommes infinies.
    en faisant cette manip et en reprenant le genre de calculs heuristiques exposés dans l’article je tombe sur 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/6.

    • David dit :

      Oui c’est exact. Séparer les termes pairs et impairs implique d’utiliser violemment la commutativité (un nombre infini de commutations même !), et donc on sort de la règle de linéarité. On peut donc se retrouver avec n’importe quoi.

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