La première conjecture de Hardy-Littlewood

20 octobre 2014

trinity collegeLa semaine dernière, je vous ai parlé de ce qu’on appelle la deuxième conjecture de Hardy-Littlewood, qui affirme qu’il y a toujours plus de nombres premiers entre 0 et N que dans tout autre intervalle de longueur N.

Cette conjecture a de quoi intriguer, car on n’en a jamais trouvé un seul contre-exemple, et pourtant les spécialistes sont convaincus qu’elle est fausse. Mais ils estiment que pour trouver un contre-exemple, il faut aller chercher au-delà de 10^{174} !

Aujourd’hui, nous allons voir ce qui permet de faire cette estimation. Il s’agit d’une autre conjecture proposée au même moment par les mêmes mathématiciens : celle qu’on appelle la première conjecture de Hardy-Littlewood. Lire la suite »


La deuxième conjecture de Hardy-Littlewood

13 octobre 2014

hardyC’est l’histoire d’un physicien à qui on demande d’étudier la conjecture

« Tout nombre impair est un nombre premier. »

Il commence donc à regarder les nombres impairs les uns après les autres :

1 : ok.     3 : ok.    5 : ok.     7 : ok.    9 : …hum.     11 : ok.    

13 : ok.     15 : …euh.     17 : ok.     19 : ok.

Et le physicien finit par conclure :

« La conjecture est vraie; …en première approximation. »

Au-delà du fait que cette conjecture est évidemment carrément fausse, cette histoire illustre le fait qu’en mathématiques il n’y a pas de demi-mesure : soit une conjecture est vraie pour ABSOLUMENT TOUS les nombres, soit elle est fausse ! Un seul contre-exemple suffit pour démolir l’édifice.

Et pourtant aujourd’hui nous allons parler d’une conjecture un peu étrange : la deuxième conjecture de Hardy-Littlewood. Personne n’en a jamais trouvé de contre-exemple, et malgré cela les spécialistes sont convaincus qu’elle est fausse ! Mais le premier contre-exemple est attendu fabuleusement loin, au point qu’on estime que la conjecture est vraie jusqu’à au moins 10 puissance 174 ! Lire la suite »


Le nombre d’Erdös-Bacon-Sabbath

6 octobre 2014

erdos-bacon-sabbathParmi les petits jeux auxquels s’adonnent les mathématiciens dans leur temps libre, il y a calculer leur nombre d’Erdös.

Ce nombre mesure la distance qui les sépare du célèbre mathématicien hongrois Paul Erdös du point de vue des collaborations scientifiques.

La règle du jeu est simple :

  • si vous êtes Paul Erdös, votre nombre d’Erdös est 0;
  • si vous avez écrit un article scientifique avec Erdös, votre nombre est 1;
  • si vous avez écrit un article scientifique avec quelqu’un dont le nombre est 1, votre nombre est 2;
  • et ainsi de suite…

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Pourquoi les marchés financiers fluctuent-ils tous de la même manière ? [rediffusion]

18 août 2014

Une rediffusion qui date un peu, mais sur un sujet intriguant : les fluctuations des marchés financiers !

Il y a quelques jours le prix 2011 du « Meilleur jeune économiste français » a été décerné à Xavier Gabaix, qui travaille et enseigne à l’Université de New-York. En collaboration avec des physiciens, il s’est notamment penché sur la question des fluctuations des marchés financiers, et a proposé un modèle pour tenter d’expliquer l’universalité de ces fluctuations.

Les fluctuations du CAC40

On le sait bien, les marchés financiers fluctuent, et ce de manière apparemment imprévisible. Mais en analysant un historique de ces fluctuations, on peut observer des choses intéressantes, notamment mesurer la probabilité d’apparition des évènements extrêmes que sont les fortes hausses ou fortes baisses.

Prenons notre bon vieux CAC40, et regardons son historique depuis une vingtaine d’années (ci-contre). On va s’intéresser à ses fluctuations d’un jour sur l’autre, exprimées en pourcentage. Vous savez ce chiffre que nous annonce le présentateur à la fin du journal télé « La bourse de Paris a clôturé en baisse de 2.12% ». Lire la suite »


Aller à l’infini en un temps fini [rediffusion]

11 août 2014

Une rediffusion estivale d’un billet un peu ésotérique, mais qui est un de mes préférés !

La théorie de la gravitation de Newton ayant plus de 300 ans, on peut légitimement penser qu’il n’y a plus grand-chose d’étonnant à y trouver. Et pourtant une construction publiée en 1992 nous réserve une drôle de surprise : il est possible d’envoyer des particules à l’infini en un temps fini !

N corps en interaction

La gravitation universelle semble une théorie relativement simple, en tout cas du point de vue des équations qui la décrivent. Et pourtant dès que plus de 2 corps interagissent selon les lois de Newton, la résolution des équations du mouvement devient la plupart du temps impossible de manière exacte : c’est ce qu’on appelle le problème à N corps.

Au cours de sa thèse à la fin des années 90, Jeff Xia a pu donner une réponse positive à une question ouverte depuis longtemps : il existe des situations où des corps en interaction newtonienne peuvent atteindre l’infini en un temps fini. Il a notamment montré explicitement que cela pouvait se produire avec un système de 5 particules en interaction.

La démonstration de ce résultat étonnant semble extrêmement ardue, mais on peut ici esquisser les grands principes de la construction. Lire la suite »


Avec les règles de la boxe, le champion du monde de foot serait …

14 juillet 2014

640px-FIFA_World_Cup_2010_Spain_with_cupOk, l’Allemagne est Championne du monde. Mais si on changeait les règles d’attribution du titre ?

9 Juillet 2006. La France s’inclinait en finale, 2:1 après prolongations aux tirs au but après 1:1 face à l’Italie. Et avec le scénario que l’on sait. Mais quelques semaines plus tard, le 6 septembre 2006, les deux équipes se retrouvaient pour les premiers matchs de qualification pour l’Euro, et les Français se vengeaient avec brio en battant l’Italie 3 à 1.

Je me souviens avoir vu ce match avec un ami italien, et lui avoir fait remarquer que si le foot se jouait comme la boxe, la France serait redevenue ce soir-là Championne du monde.

En effet, à la boxe, celui qui bat le Champion du monde en titre…devient le nouveau Champion du monde !

Mon ami m’avait alors fait remarquer que je me trompais, puisque entre les deux confrontations France/Italie, au mois d’août 2006, l’Italie avait joué contre la Croatie et perdu 2:0. A ce petit jeu, le nouveau champion devait donc être la Croatie !

Je m’étais alors demandé ce qu’il se passait si on appliquait vraiment la règle de la boxe : est-ce que le titre de champion se balade jusqu’à des pays improbables ? Aujourd’hui, j’ai décidé de vérifier pour vous. Lire la suite »


Le test de Turing-Parker : un ordinateur peut-il improviser comme Charlie Parker ?

30 juin 2014

charlie parker miles davisIl y a quelques semaines, il a beaucoup été question du fameux « test de Turing » de l’intelligence artificielle, où un algorithme essaye de tromper un humain au cours d’une conversation, en se faisant passer pour un autre humain.

Aujourd’hui je voudrais vous parler d’un autre domaine où les ordinateurs essayent de surpasser les humains : celui de l’improvisation musicale.

Il y a pas mal d’années – à l’époque où la musique occupait plus mes loisirs que la science – je jouais (entre autres) avec un excellent pianiste/informaticien qui m’avait parlé d’un algorithme capable d’imiter les improvisations de Charlie Parker.

Aujourd’hui j’ai voulu creuser cette question [Benjamin, si tu me lis, merci pour l’inspiration !] Lire la suite »


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