J’ai aussi été frappé par le nombre de choses que l’on peut apprendre sur ce qu’il y a à l’intérieur de notre planète, alors que contrairement aux héros de Jules Verne, nous n’y avons jamais mis les pieds !

Alors croûte, manteau et noyau : voyons ce que l’on sait actuellement de la structure interne de notre bonne vieille Terre.

Une croûte si fine

C’est ce qu’on apprend à l’école : la Terre possède une structure en oignon, divisée en 3 grandes parties dont les noms doivent vous être familiers : la croûte, le manteau et le noyau. Le schéma ci-contre (adapté de Wikimedia) en montre une version détaillée.

Avec ce genre de dessin, il y a quelque chose qu’on a du mal à réaliser : la croûte est extraordinairement fine ! Songez qu’en moyenne elle ne fait qu’une trentaine de kilomètres alors que le rayon de la Terre est d’environ 6350 km. Pour faire une comparaison, si la Terre était un ballon de foot, la croûte ne ferait qu’un millimètre d’épaisseur.

Et pourtant, nous avons à peine égratigné cette croûte : la mine la plus profonde du monde est celle de Tau Tona en Afrique du Sud, et elle ne descend qu’à 4 kilomètres de profondeur. Quant au trou le plus profond jamais réalisé, il a été creusé en Russie et a atteint en 1989 le record de 12km. Comme vous le voyez, nous sommes loin d’atteindre le centre de la Terre !

Non, le manteau n’est PAS liquide

En-dessous de la croûte, il y a le manteau. Je me suis longtemps représenté le manteau comme une sorte d’océan de roches en fusion sur lequel les continents flottaient et dérivaient. Mais non, j’avais tout faux : le manteau n’est pas liquide, il est solide !

Plus on va vers le centre de la Terre, plus la température augmente, on peut donc penser qu’on finit par trouver des roches en fusion. Mais la pression augmente aussi terriblement. Or la température à laquelle un corps fond augmente avec la pression.

Même si les valeurs exactes ne sont pas parfaitement connues, j’ai réalisé le graphique ci-contre pour montrer comment la pression et la température augmentent quand on s’enfonce dans les profondeurs.

Si on prend un endroit typique dans le manteau, on voit que la température (en bleu) y est d’environ 2000°C. Alors oui, à cette température-là à la surface, les roches seraient fondues. Mais la pression (en rouge) y est environ 500 000 fois la pression atmosphérique. Et on a pu mesurer qu’à de telles pressions, il faudrait des températures supérieures à 3000°C pour faire fondre les roches. Donc dans le manteau, les roches ne sont pas fondues, mais à l’état solide !

Un noyau en deux morceaux

Alors que la croûte et le manteau sont principalement constitués de minéraux rocheux, le centre de la Terre – appelé noyau – est fait de métal : principalement du fer et un peu de nickel. La raison en est que le fer est environ 2 fois plus dense que les minéraux rocheux, et qu’il a donc coulé au centre de la Terre lors de sa formation.

Dans la partie externe du noyau, la température est d’environ 4000°C et la pression 2 millions de fois la pression atmosphérique. A cette pression, le fer fond à environ 3500°C, et il se trouve donc à l’état liquide ! Le noyau externe est donc un océan de métal liquide, dont on pense qu’il est agité de nombreux courants, et que par un effet dynamo ces courants sont responsables du champ magnétique terrestre.

Mais au fur et à mesure que l’on descend, la pression augmente de plus en plus, et finit par être telle que le fer ne peut plus être liquide : il devient solide. La partie interne du noyau que l’on appelle la graine est donc comme un gros bloc de métal à 5000°C, mais solidifié sous l’effet de la pression monstrueuse qui y règne.

La convection dans le manteau

Je ne suis certainement pas le seul à avoir cru longtemps que le manteau était liquide, et je pense que cette erreur a au moins deux origines. D’une part la théorie de la dérive des continents tend à nous faire penser que l’on flotte sur un océan de roches liquides. Et en plus ceci semble corroboré par les volcans qui nous montrent bien des roches en fusion arrivant des profondeurs.

Et pourtant on sait aujourd’hui que le magma liquide n’est qu’un cas très particulier, et que le manteau est pour sa très grande majorité bien constitué de roches solides. Et pourtant, le manteau se comporte un peu comme un liquide !

En effet sur des temps extrêmement longs, les roches se déplacent et se déforment. Et de même que dans une pièce l’air chaud monte et l’air froid descend, les roches du manteau les plus chaudes s’élèvent et les plus froides s’enfoncent : c’est ce mouvement global appelé convection qui est à l’origine du mouvement des plaques comme le montre le schéma (toujours adapté de Wikimedia). Mais retenez que pour que ces mouvements existent, il faut des temps géologiques !

Un autre manière de le dire, c’est que le manteau solide se comporte comme un liquide fabuleusement visqueux. On estime que la viscosité du manteau est environ  1 000 000 000 000 000 000 fois celle du miel, alors que la lave qui coule d’un volcan n’est que 10 à 100 fois plus visqueuse que le miel.

Mais comment sait-on tout ça ?

Il y a quelque chose de fascinant à penser que l’on arrive à obtenir toutes sortes de détails sur la structure de la Terre, alors que manifestement nous n’y sommes jamais allés !

Newton le premier avait calculé la masse de la Terre (connaissant l’intensité du champ de pesanteur), et en avait déduit sa densité moyenne : environ 5,5. Il avait alors noté que cette valeur était bien au-dessus de la densité des roches que l’on trouve en surface, environ 3, et que donc à l’intérieur de la Terre devaient se trouver des zones beaucoup plus denses : on sait aujourd’hui que c’est le métal du noyau, 2 à 3 fois plus dense que les roches.

Une partie des informations dont on dispose provient également des météorites tombées sur Terre, dont certaines sont comme des mini-planètes et nous donnent des indices sur la structure de la nôtre. Mais les renseignements les plus précieux nous viennent de l’étude des ondes sismiques. Depuis le début du XXème siècle, on dispose en effet de sismographes un peu partout sur Terre, et quand un séisme suffisamment puissant se produit, on peut étudier quand et comment il est détecté aux différents endroits du globe.

On sait par exemple que la vitesse des ondes dépend de la densité du milieu, que des changements de densité peuvent induire des changements de direction. On sait également  que certaines ondes ne peuvent pas traverser les liquides, ce qui a permis de détecter le caractère liquide du noyau externe. Au fur et à mesure de l’amélioration de la précision des détecteurs, on a pu ainsi obtenir des informations de plus en plus détaillées sur la structure de notre planète aux différentes profondeurs, et tout ça sans creuser de trou pour aller au centre de la Terre !

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Pour aller plus loin : des ondes sismiques à la structure de la Terre

Première observation pour ceux qui veulent aller plus loin : j’ai totalement laissé dans l’ombre le fait que pour décrire la structure de la Terre en fonction de la profondeur, on utilise en fait deux classifications. L’une est basée sur la composition, et distingue la croûte, le manteau et le noyau, et l’autre basée sur les propriétés mécaniques.

Comme vous le voyez, les deux classifications sont assez proches, la principale différence provient du fait que ce qu’on appelle la lithosphère (la couche qui dérive) est un peu plus épais que la simple croûte, et comprend la partie supérieure du manteau. J’ai longtemps cru que croûte et lithosphère étaient synonymes, mais non !

Pour les plus curieux de la physique des ondes, on s’intéresse à deux types d’ondes sismiques, appelées P et S. Les ondes P sont des ondes de pression, dont le déplacement est dans la direction de propagation, de manière analogue aux ondes sonores. Les ondes S sont des ondes de cisaillement, dont le déplacement est perpendiculaire à la direction de propagation. La différence est très bien illustrée avec ces gros ressorts mous avec lesquels on peut jouer (source) : au-dessus les ondes P, en dessous les ondes S

Deux éléments essentiels à connaître sur ses ondes : les ondes S ne peuvent pas traverser les liquides, alors que les ondes P le peuvent. Et enfin la vitesse des ondes augmente avec la densité du milieu traversé. Comme pour les rayons lumineux, un changement de milieu (donnant lieu à un changement de vitesse) provoque un phénomène de réfraction qui modifie la direction de propagation. C’est à partir de ces principes que l’on a pu identifier les profondeurs où se produisent les différents changements de densité ou d’état. En couplant cela à des mesures en laboratoire de la température de fusion des roches et du fer à différentes pressions, on obtient le modèle actuel de la structure de la Terre.

Pour illustrer un peu plus cette histoire de variation de la température de fusion, la courbe ci-dessous montre la variation de la température en fonction de la pression au fur et à mesure que l’on s’enfonce dans les profondeurs de la Terre. La courbe verte montre la température de fusion de la roche MgSiO3 appellée « perovskite » en fonction de la pression, et la courbe grise celle du fer.

On voit que dans le manteau, la température est toujours inférieure à la température de fusion, alors que dans le noyau on traverse la courbe de fusion, et on passe donc d’un état de fer liquide à un état de fer solide.

Il est assez fascinant de penser que la compréhension de la structure de la Terre est le résultat d’observations à très grande échelle – les ondes sismiques – couplées à des manips très petites mais en conditions extrêmes, qui permettent de soumettre des matériaux à des températures et des pressions énormes pour mesurer leur état. L’une de ces mesures a d’ailleurs tout récemment été faite par des chercheurs français et prédit une température de fusion du fer à la limite noyau-graine de l’ordre de 6000°C, soit significativement plus que la courbe que j’ai représenté ci-dessus ! Il se pourrait donc que le centre de la Terre soit donc plus chaud que l’on pensait avant (Anzellini, S., et al. "Melting of Iron at Earth’s Inner Core Boundary Based on Fast X-ray Diffraction." Science 340.6131 (2013): 464-466.)

Références : Les données pour le graphique de température et pression

Boehler, Reinhard. "Melting temperature of the Earth’s mantle and core: Earth’s thermal structure." Annual Review of Earth and Planetary Sciences 24.1 (1996): 15-40.

Toutefois ce que nous léguons finalement à nos enfants, ce sont nos gènes, pas notre environnement. Vous pouvez donc bien manger ou boire ce que vous voulez, ça n’est pas ça qui changera le patrimoine génétique de vos enfants.

C’est ce que vous pensez ? Alors venez découvrir le monde mystérieux de l’épigénétique !

Bienvenue à Överkalix

Överkalix est un petit village suédois d’environ 1000 habitants, bien paumé à l’extrême nord du pays. Comme il est assez isolé, peu de gens en sont partis au cours du XXème siècle. Mais il possède une autre caractéristique qui a attiré les chercheurs : en plus des registres d’état-civil, on y dispose d’archives fiables sur l’abondance des récoltes depuis près de 150 ans.

C’est ainsi que des chercheurs suédois ont sélectionné dans les registres d’état-civil un groupe d’environ 300 habitants nés entre 1890 et 1920, et dont les parents et grands-parents avaient toujours vécu à Överkalix. Ils ont ensuite étudié à la fois les archives des décès et celles des récoltes, et ils ont trouvé des corrélations surprenantes !

La plus spectaculaire est celle-ci : les hommes dont le grand-père a connu une période de disette entre 9 et 12 ans ont un taux de mortalité deux fois plus faible que ceux dont le grand-père a connu l’abondance au cours de la même période [1]. Ceci s’accompagne d’un taux plus élevé de maladies cardiovasculaires, et notamment 4 fois plus de risques de diabète.

C’est tellement surprenant que l’on a envie de croire à un artefact statistique : comment mes chances de survie peuvent-elles être influencées par ce qu’a mangé mon grand-père à l’âge de 10 ans ? Nous sommes en présence de ce qu’on appelle un effet épigénétique transgénérationnel. C’est un terme compliqué mais qui cache une idée simple : les ancêtres des habitants d’Överkalix leur ont légué quelque chose, mais par un moyen autre que les gènes…Comment comprendre ce phénomène qui dépasse les lois traditionnelles de la génétique ?

L’expression des gènes

Rappelons tout d’abord ce que l’on sait du fonctionnement de notre machinerie génétique. Notre ADN possède une structure en double hélice, qui est faite d’une longue suite de bases, notées A,G, T et C, et dont la séquence forme le code génétique.

Ce code peut être vu comme un plan de montage, car il est contenu dans chacune de nos cellules, et leur fournit toutes les instructions nécessaires à la fabrication des protéines. Or ce sont les protéines qui contrôlent tout ce qui passe au sein de nos organismes. Quand une protéine est produite à partir du code génétique correspondant à un gène, on dit que le gène est exprimé.

Dans cette vision un peu schématique, il y a quand même quelque chose de paradoxal. Parmi nos cellules, un neurone ne ressemble en rien à une cellule de peau, laquelle est très différente d’une cellule du pancréas. Si elles disposent toutes du même ADN, comment font-elles pour se différencier, et fabriquer uniquement les protéines utiles à leur fonction ?

Pour cela, il faut considérer un mécanisme particulier : la régulation de l’expression des gènes, et c’est elle qui va nous permettre de comprendre ce que sont les effets épigénétiques.

Réguler l’expression des gènes

Voyons tout d’abord les détails du mécanisme de fabrication des protéines à partir de l’ADN. Si vous avez suivi un cours de bio au lycée, vous savez peut être qu’entre l’ADN et les protéines existe un intermédiaire, l’ARN (qui est un cousin de l’ADN).

La première étape de la synthèse des protéines est la transcription. Un composé appelé ARN-polymérase réalise une copie de l’ADN en ARN. C’est comme si on décidait de photocopier le plan de montage d’un meuble Ikea avant de l’utiliser.

Ensuite, c’est cet ARN "photocopié" qui est lu par une petite machine moléculaire appelée ribosome, et qui se charge de fabriquer les protéines. C’est l’étape de traduction. Tout cela est résumé sur le schéma ci-contre.

Pour ne produire que les protéines dont une cellule a besoin, il existe un moyen simple : ne transcrire en ARN que les morceaux d’ADN correspondant aux protéines qui l’intéresse. Pour cela il existe des molécules spéciales qui peuvent par exemple s’attacher à l’ADN pour empêcher à l’ARN polymérase de faire son travail de copie, ou au contraire "recruter" l’ARN polymérase à cet endroit pour promouvoir son action. On parle de facteurs de transcription.

Les facteurs de transcription influent sur la manière dont un gène va être exprimé, et permettent de comprendre comment les cellules se différencient. Mais il n’agissent que localement à des instants bien donnés et ne se transmettent pas à la descendance. Ils ne permettent donc pas de comprendre des phénomènes transgénérationnels comme ceux d’Överkalix. Pour cela, il faut chercher des modifications plus profondes de l’ADN, mais qui ne touchent pas le code génétique.

Les mécanismes biochimiques de l’épigénétique

Ce que l’on cherche pour expliquer les effets transgénérationnels, c’est quelque chose qui se transmette à la descendance, mais qui ne touche pas le code génétique lui-même. On parle d’épigénétique, le préfixe "épi-" en grec signfiant "au-dessus". Il existe peut être des tas de mécanismes de ce type, mais très peu sont avérés. Parmi ceux-ci, il y a la méthylation de l’ADN.

Un groupe methyl, c’est un tout petit bloc noté CH3 et constitué simplement d’un atome de carbone et de 3 atomes d’hydrogène. Ce petit groupe peut venir se greffer sur toutes sortes de molécules, et notamment sur la cytosine, la base notée C dans le code génétique.

Dans certaines circonstances, une fois accroché à l’ADN, ce groupe méthyl peut agir comme un morceau de scotch que l’on collerait sur une bande magnétique : il empêche la lecture de l’ADN à cet endroit. Avec des groupes methyl bien placés, on peut donc empêcher la transcription d’un gène en ARN, et empêcher son expression : on parle d’extinction du gène.

La méthylation de l’ADN influe donc sur les gènes qui seront exprimés. Mais ce qui est intéressant, c’est qu’elle n’est pas prédéterminée : elle peut être influencée par notre environnement et nos expériences. Ainsi une étude a pu montrer que des vrais jumeaux (avec un ADN identique, donc) pouvaient posséder des degrés différents de méthylation, et que cette différence augmente avec l’âge [2].

L’épigénétique chez les rats

On est à l’heure actuelle incapables de démontrer que des effets comme celui d’Överkalix sont dus à un mécanisme de méthylation de l’ADN (ou un autre mécanisme parmi ceux que l’on connait). Mais heureusement les expériences sont plus faciles chez nos amis les rongeurs.

Un exemple spectaculaire de l’influence de l’environnement via la méthylation de l’ADN nous est donné par la couleur de la fourrure de certaines souris. Cette couleur est notamment gouvernée par un gène nommé Agouti, et qui donne une fourrure jaunâtre aux souris.

Mais on a pu montrer que si une femelle avait un régime alimentaire artificiellement enrichi en méthyl, elle allait transmettre à sa descendance une version méthylée du gène Agouti. Dans ce cas le gène sera "éteint" chez ses enfants, qui ne possèderont donc pas de fourrure jaune. Ainsi les différentes souris ci-contre possèdent bien le même gêne, seul son état "méthylé" ou non diffère à différents degrés, et celui-ci est une conséquence du régime alimentaire de leur mère [3]. Voilà un bel exemple d’effet épigénétique transgénérationnel.

Moralité : on savait déjà que les femmes enceintes ne devaient pas boire d’alcool pour le bien de leur enfant. Mais l’épigénétique nous montre que ce que l’on mange peut avoir une influence, même longtemps avant la conception, et même pour le père ! Voilà de quoi remettre un peu d’égalité dans le couple…

Billets reliés :

Sur l’expression des gènes : la protéine fluorescente verte GFP

Sur la différenciation des cellules : les cellules souches reprogrammées

Un dossier de Podcast Science sur le sujet

Pour aller plus loin…

J’ai été très schématique dans cette description, déjà bien assez longue ! Parmi les choses supplémentaires à avoir en tête, il y a le fait que la méthylation de l’ADN n’est pas le seul mécanisme avéré. Il existe d’autres modifications affectant notamment les histones, ces petites protéines qui servent à enrouler et l’ADN. Par souci de place j’ai également reporté à plus tard la discussion sur l’héritabilité des caractères acquis et ce que l’épigénétique implique pour le débat Darwin / Larmarck…

Enfin question ouverte pour mes lecteurs plus versés que moi : je n’ai pas bien réussi à identifier dans la littérature des références sur le degré d’héritabilité des groupes méthyl, et notamment le fait qu’ils soient plus ou moins tous enlevés dans le développement d’un nouvel individu.

[1] Pembrey, Marcus E., et al. "Sex-specific, male-line transgenerational responses in humans." European Journal of Human Genetics 14.2 (2005): 159-166.

[2] Fraga, Mario F., et al. "Epigenetic differences arise during the lifetime of monozygotic twins." Proceedings of the National Academy of Sciences 102.30 (2005): 10604-10609.

[3] Dolinoy, Dana C., et al. "Maternal genistein alters coat color and protects Avy mouse offspring from obesity by modifying the fetal epigenome." Environmental health perspectives 114.4 (2006): 567.

Mais ces différentes méthodes ne sont pas indépendantes, et elles reposent en fait les unes sur les autres : il faut d’abord connaître les distances aux objets les plus proches pour pouvoir déduire correctement celles des objets les plus lointains.

Cette hiérarchie de méthodes s’appelle l’échelle des distances cosmiques, et nous allons voir qu’elle permet de passer de la connaissance de la taille d’un simple bâton, à celle de l’Univers visible !

De la Terre à Mars

La méthode la plus importante en astronomie s’appelle la méthode de la parallaxe. Elle se base sur un principe simple : si on se déplace légèrement par rapport à un objet, son mouvement apparent sera d’autant plus important que l’objet est proche. On connait bien cela sur les (vieux) jeux vidéos, où la vitesse de défilement du décor nous renseigne sur son éloignement.

Ainsi en astronomie, on peut essayer d’observer une planète depuis deux endroits différents de la Terre. Comme l’illustre le schéma ci-dessous (très exagéré), la position de Mars par rapport au fond formé par les étoiles lointaines variera légèrement quand on passe d’un côté à l’autre de la Terre.

De ces observations on peut déduire la distance entre la Terre et Mars, il suffit de faire un peu de géométrie. Tout d’abord il faut connaître la distance de base entre les deux points d’observation (ici le diamètre de la Terre). Ensuite on mesure l’angle entre les deux positions que prend notre objet vu depuis chacun des deux points d’observation. On peut ensuite déduire la distance avec la simple relation .

En pratique ça n’est pas si simple car l’angle à mesurer entre les deux positions est minuscule, au plus quelques centièmes de degrés. Soit la taille qu’aurait un cure-dent vu à un kilomètre de distance ! Et puis autre problème, pour que la méthode soit précise, il faut bien connaitre le diamètre de la Terre. Oh mais ça c’est facile, je vous l’ai expliqué dans ce billet : Erathostène l’avait mesuré à partir d’un simple bâton et de quelques chameaux !

Les deux premiers barreaux de l’échelle cosmique nous font donc passer de la taille d’un bâton à celle de la Terre, puis de celle de la Terre à la distance qui nous sépare de Mars !

De Vénus au Soleil

En principe, cette méthode devrait nous permettre aussi de calculer directement la distance au Soleil. Le problème du Soleil, c’est qu’en plein jour on ne voit que lui, et qu’il est donc impossible de mesurer la variation d’angle. Il faut donc ruser un peu.

Pour cela, on peut utiliser les transits de Vénus, ces moments où Vénus passe pile-poil devant le Soleil. Il faut bien viser car ils ne se produisent que très rarement (le prochain sera en 2117). En mesurant la différence entre les transits vus depuis deux points d’observation différents, on applique la méthode de la parallaxe et on en déduit la distance Terre-Vénus (au moment cette dernière est pile entre le Soleil et nous.)

Puis on utilise une loi astronomique, qui relie P la période de l’orbite d’un astre à sa distance D au Soleil

En connaissant la période de la Terre (365 jours) et celle de Vénus (seulement 225 jours), on peut en déduire la distance Terre-Soleil, qui vaut environ 150 millions de kilomètres. C’est notre troisième barreau !

Du Soleil aux étoiles

Maintenant que l’on connait la distance Terre-Soleil, on peut exploiter cette information et grimper un peu plus haut dans l’échelle des méthodes. Il suffit en effet de reprendre le principe de la méthode de la parallaxe, mais en utilisant non pas deux points d’observation sur la Terre, mais deux observations faites à 6 mois d’écart. Dans ce cas la Terre se sera déplacée de deux fois la distance Terre-Soleil, et on pourra appliquer la méthode avec une base de 300 millions de km au lieu des 12 000 km du diamètre terrestre. Nous avons donc gagné un facteur 25 000 !

C’est cette méthode qui permet de mesurer la distance aux étoiles les plus proches. On compte d’ailleurs parfois les distances astronomiques en « parsecs », c’est-à-dire « une seconde de parallaxe ». Si la variation de parallaxe est d’une seconde d’arc, c’est à dire 1/3600e de degré, on peut calculer que l’objet est à environ 3.26 années lumière. C’est en gros la distance à notre étoile la plus proche, alpha du Centaure.

Comme les angles à mesurer sont minuscules, cette méthode ne fonctionne malheureusement que pour les étoiles les plus proches. La limite se situe autour de quelques centaines d’années lumières, ce qui est vraiment la proche banlieue du Soleil, puisque notre galaxie la Voie Lactée fait environ 100 000 années lumières de diamètre. Donc pour aller plus loin, il va falloir encore trouver une autre méthode !

Des étoiles aux galaxies

Si vous vous promenez dans la nuit et que vous voyez une voiture arriver au loin, vous pouvez juger de sa distance approximative à partir de la luminosité de ses phares. Si elle est très loin, l’éclat sera faible; alors que si elle est proche, les phares vous éblouissent. C’est le principe de la chandelle standard : si on observe un objet dont on connait la luminosité intrinsèque, alors sa luminosité apparente nous renseigne sur sa distance.

Oui mais dans l’espace, comment on trouve des objets dont on connait la luminosité intrinsèque, puisqu’on ne peut pas s’approcher d’eux pour les observer ? Eh bien c’est possible grâce à une découverte étonnante : les Céphéides. Ces étoiles sont ce qu’on appelle des étoiles variables, dont l’éclat oscille en fonction du temps, avec des périodes de quelques jours. Or ce qu’a découvert l’astrophysicienne Henrietta Leavitt au début du XXème siècle, c’est que leur période d’oscillation est reliée à leur luminosité. Le graphique ci-contre représente les données de Leavitt (en échelle log/log, avec le min et le max de luminosité de chaque étoile)

Les Céphéides peuvent donc servir de chandelles standard, puisque leur luminosité intrinsèque se déduit de leurs oscillations. Comme ces étoiles sont assez brillantes et faciles à repérer, on a pu les utiliser pour mesurer des distances jusqu’à 100 millions d’années lumières, c’est-à-dire toute la Voie Lactée mais aussi les galaxies les plus proches !

Petit détail d’extrême importance : pour que la relation découverte par Leavitt soit utilisable, il faut la calibrer, c’est-à-dire disposer d’au moins une étoile de type Céphéide dont on connaisse la distance par une autre méthode. Il se trouve que l’une des plus proches, delta-Cephei n’est qu’à 900 années lumières de nous, et est donc aussi mesurable par la méthode de la parallaxe. Vous voyez encore l’effet d’échelle : c’est parce que la méthode des parallaxes fonctionne que l’on peut construire celle des Céphéides pour aller plus loin !

Jusqu’aux confins de l’Univers

Pour aller encore plus loin et mesurer les distances aux galaxies lointaines, il faut à nouveau changer de méthode car les Céphéides ne sont plus assez brillantes pour être observées. Heureusement d’autres objets astrophysiques exceptionnels peuvent servir de chandelles standard : les supernovas.

Les supernovas sont des étoiles qui explosent de manière ultraviolente dans des conditions rares mais bien définies. Quand cela se produit, on sait exactement quelle sont l’énergie et la luminosité dégagées, et l’explosion peut donc servir de chandelle standard. Contrairement aux Céphéides, il s’agit d’un événement ponctuel qui ne se produit pas souvent. Mais en surveillant des tas de galaxies à la fois, on peut en repérer une de temps en temps et déduire ainsi les distances aux galaxies les plus lointaines. D’autant que leur éclat peut persister assez longtemps, comme le montre l’image ci-dessous prise par le télescope Hubble, et où l’on voit une supernova ayant explosé en 1987.

Si vous m’avez suivi jusque là, vous aurez remarqué combien l’édifice est subtil, car chaque méthode utilise des résultats de la précédente : le diamètre de la Terre permet de connaître la distance Terre-Soleil, celle-ci permet de calibrer la méthode des Céphéides, qui elle-même sert de calibration à celle des supernovas. Voilà donc pourquoi pourquoi on parle d’échelle cosmique des distances.

Voir aussi mon billet "Il y a bien longtemps, dans une galaxie lointaine, très lointaine…"

Pour aller plus loin

Vu l’imbrication qui existe entre ces différentes méthodes, on comprend que les astronomes passent encore beaucoup de temps à mesurer la distance qui nous sépare d’objets pourtant proches. Car toute erreur sur une méthode "de base" se propage sur les autres. Ainsi aujourd’hui la distance à Vénus est mesurée par des méthodes radars : on calcule le temps mis par un signal pour aller et revenir.

Tout récemment, une équipe a présenté une nouvelle mesure de la distance qui nous sépare du grand nuage de Magellan [1], qui est une sorte de galaxie naine (visible dans l’hémisphère sud) et qui n’est qu’à 150 000 années lumières. Cet objet est de grande importance, car c’est ce que nous avons de mieux pour calibrer la relation période-luminosité des Céphéides ! En réduisant à 2% la barre d’erreur, on améliore la calibration de toutes les autres méthodes, et par là-même la précision de la mesure de la constante de Hubble, qui elle-même détermine les prédictions cosmologiques les plus folles, comme celles portant sur la matière noire ou la forme et le destin de l’Univers !

Vous pouvez en apprendre plus sur ce papier grâce au billet d’Eric Simon sur le site Ça se passe là haut, un très bon site d’astro, et nouveau venu au C@fé des Sciences !

[1] Pietrzyński, G., et al. "An eclipsing-binary distance to the Large Magellanic Cloud accurate to two per cent." Nature 495.7439 (2013): 76-79. arxiv:1303.2063

Alors si vous ne connaissez pas ce phénomène statistique très contre-intuitif, lisez la suite, et les bras devraient vous en tomber !

Calculs rénaux : quel traitement choisir ?

Pas de chance, on vient de vous découvrir des calculs au rein. Heureusement des traitements existent, et à l’hopital le médecin vous en présente deux. Le premier (appelons le "Traitement A") consiste en une chirurgie ouverte, alors que le second ("Traitement B") est une chirurgie qui se fait par de petits trous percés à travers la peau. Le médecin vous demande quel traitement vous préférez. Comme vous souhaitez avant tout guérir, vous demandez au praticien les statistiques de succès de ces deux traitements.

"Oh c’est très simple, vous répond le médecin, les deux traitements ont été testés chacun 350 patients, et voici les chiffres : le traitement A a fonctionné dans 273 cas et le traitement B dans 289".

L’affaire semble entendue, le traitement B a marché avec 83% de réussite, contre 79% seulement pour le traitement A. Vous choisissez donc le traitement B.

Mais en repartant de l’hôpital, vous croisez un autre médecin à qui vous demandez son avis sur les traitements. "Oh c’est très simple, vous répond-il : les deux traitements ont été testés 350 fois chacun sur des patients, ces derniers pouvant être atteints soit de ‘petits’ calculs, soit de ‘gros’ calculs, et voici les chiffres" :

Comme vous pouvez le constatez, si vous avez des gros calculs, le traitement A fonctionne mieux, et si vous avez des petits calculs, le traitement A est aussi le plus efficace. Voilà qui est en totale contradiction avec ce que vous a dit le premier médecin. Et pourtant, vous avez beau compter et recompter, sur la ligne "Total", il s’agit bien des mêmes chiffres que ceux présentés par le premier médecin…

Comment est-il possible que le traitement B soit meilleur au global, mais qu’il soit inférieur au traitement A aussi bien sur les petits que sur les gros calculs ? Et ça n’est pas une blague, ces chiffres sont issus d’une vraie étude [1] ! Il n’y a aucune entourloupe statistique ou aucune manipulation, ce que vous lisez là, c’est bien la réalité des chiffres. Vous avez là un bel exemple du paradoxe de Simpson.

Fumer, c’est bon pour la santé

Pour vous aider à appréhender le paradoxe, je vais vous en présenter un autre exemple, lui aussi issu d’une étude réelle [2], et qui devrait vous paraître un peu plus clair. Dans cette étude, 1314 femmes ont été suivies pendant 20 ans, et l’objectif était de comparer le taux de mortalité des fumeuses et des non-fumeuses.

Après 20 ans, le taux de mortalité chez les fumeuses était de 24%, alors que celui des non-fumeuses était 31%. Alors, est-ce que non-fumer tue ?

Examinons les chiffres de plus près. Dans l’étude, il y avait 582 fumeuses et 139 sont mortes (cela fait bien 24%), ainsi que 732 non-fumeuses dont 230 sont mortes (31%, pas de problème). Là où le paysage change, c’est quand on représente ces chiffres en séparant par classe d’âge. C’est ce que montre le graphique ci-dessous (que j’ai réalisé en R avec les données smoking du package SMPractical)

Comme vous le voyez, si on raisonne par classe d’âge, dans chaque tranche la mortalité chez les fumeuses a été supérieure à celle des non-fumeuses. On est rassurés, mais comment les chiffres peuvent-ils s’inverser quand on groupe tout le monde ?

Peut-être avez vous senti ce qui cloche : dans la population initiale, il y avait plus de femmes âgées chez les non-fumeuses que chez les fumeuses. Et même si dans chaque tranche d’âge les non-fumeuses meurent moins, cet effet est compensé par le fait que la tranche d’âge "élevée" est sur-représentée chez les non-fumeuses…qui donc en moyenne meurent plus !

Une analyse du paradoxe

Si vous avez bien suivi le cas des fumeuses, vous devriez maintenant être prêts à percer le mystère du paradoxe de Simpson. Tout d’abord comment s’énonce ce paradoxe : il s’agit du fait qu’une corrélation peut disparaître ou même s’inverser suivant que l’on considère les données dans leur ensemble, ou bien segmentées par groupes.

Pour que le paradoxe se produise, il faut 2 ingrédients :

• Premièrement il faut une variable qui influe sur le résultat final (le "groupe"), et qui n’est pas forcément explicitée au départ. On appelle cela un facteur de confusion. Il s’agit de la taille des calculs dans le premier exemple, car celle-ci influe sur la probabilité de succès du traitement, et de l’âge des personnes dans le second exemple, lequel évidemment joue sur la mortalité.
• Deuxièmement, il faut que l’échantillon qu’on étudie ne soit pas distribué de manière homogène : dans le cas du tabac, il y a plus de vieilles femmes dans l’échantillon des non-fumeuses que chez les fumeuses; dans le cas des reins, le traitement "A" est plus souvent donné sur les gros calculs, et le "B" sur les petits (vous pouvez retourner voir les chiffres).

Quand ces deux conditions sont réunies, le paradoxe de Simpson peut se produire ! C’est-à-dire qu’à cause de la distribution hétérogène de l’échantillon, regrouper les données pointe une tendance qui peut être fausse, et qui disparaît si on analyse les données en séparant selon le facteur de confusion.

Des exemples à la pelle

Il existe de nombreux exemples réels du paradoxe de Simpson, en voici quelques uns parmi les plus connus.

En 1973, une étude statistique a mis en évidence le fait que le taux d’admission à l’Université de Berkley était de 44% chez les garçons, contre 35% chez les filles [3]. Une discrimination inacceptable, dont on dit qu’elle donna lieu à un procès (mais je ne suis pas sûr que ce soit vrai).

Toutefois, le tableau change complètement si on s’amuse à regarder ces données en les distribuant par département d’enseignement : alors dans tous les départements, les filles ont un taux d’admission légèrement supérieur à celui des garçons ! Là aussi le caractère inhomogène de l’échantillon est en cause : les filles ont tendance à postuler dans les départements les plus compétitifs, et leur taux d’admission moyen est donc plus faible.

Un autre exemple célèbre est donné par les statistiques de réussite au baseball. En 1995, le taux de succès du batteur David Justice a été meilleur que celui de son adversaire Derek Jeter (25.3% contre 25.0%). L’année suivante, en 1996, même résultat : Justice surpasse Jeter par 32.1% contre 31.4%. Et pourtant, si on combine l’ensemble des deux années 1995 et 1996, Derek Jeter a été le meilleur avec 31% contre 27% ! Troublant, non ?

Un dernier pour la route, histoire de vous montrer l’importance de bien comprendre ce paradoxe pour être un bon citoyen : en 1964 les États-Unis ont voté une loi historique, le Civil Right Act, qui fut un pas déterminant vers l’abolition de la ségrégation raciale.

Sur l’ensemble du pays, 80% des républicains ont voté en sa faveur, contre seulement 61% des démocrates. Étonnant, non, quand on connait les positions de ces deux partis ?

Et pourtant si on distribue ces résultats entre les états du Nord et du Sud du pays, aussi bien au Nord qu’au Sud les démocrates ont plus voté que les républicains en faveur de la loi !

Comment se prémunir du paradoxe de Simpson

J’imagine que vous voyez aisément le potentiel de manipulation qui se cache derrière ce paradoxe : on peut vous faire croire à quelque chose (le chômage a baissé, tel traitement marche mieux, tel individu est meilleur, etc.) alors qu’en regardant les chiffres dans le détail, les effets peuvent disparaître ou s’inverser ! Alors que faire ?

Tout d’abord, il faut se rappeler : cet effet se produit quand il existe une variable cachée influente, et que l’échantillon sur lequel on se base n’est pas homogène. En sciences, c’est pour cela que l’on préfère en général des expériences "randomisées", qui permettent d’assurer une distribution homogène : par exemple si vous avez des calculs rénaux et que vous participez à une expérience pour comparer les traitements, on vous assigne au hasard le traitement A ou B, sans que la taille des calculs influe sur la décision. On gomme ainsi l’inhomogénéité de distribution, et le paradoxe disparaît : le traitement A sera bien vu comme étant le meilleur.

Quand on vous présente des chiffres, il faut donc avoir l’oeil critique, et être particulièrement méfiants quand ces chiffres sont issues de données analysées a posteriori, plutôt que sur un échantillon expérimental qu’on a soi-même construit a priori (en randomisant). (Réfléchissez au point suivant : conclure que "Le lit est l’endroit le plus dangereux du monde, c’est là que la plupart des gens meurent" c’est se tromper car on utilise des données non-randomisées)

Enfin rappelez-vous, ce paradoxe se produit quand il existe une variable cachée fortement influente. Cela signifie que les chiffres bruts ont peu de sens, et doivent être critiqués par un expert du domaine, susceptible de pointer l’existence d’un tel facteur. A l’heure où fleurit la mode du "fact-checking", on a un peu tendance à nous faire croire que les chiffres seraient la vérité "nue". Non, la vérité nue n’existe pas, et on aura toujours besoin de gens au courant pour interpréter correctement des chiffres, qu’ils soient scientifiques, économiques ou médicaux.

Pour aller plus loin : les facteurs de confusion dans la démarche scientifique

Je suis vraiment loin d’être un expert en stats, mais je voudrais vous présenter un petit exemple fabriqué pour montrer une autre version de ce paradoxe, et comment un traitement statistique adéquat permet de le lever, même quand on a pas travaillé avec des données randomisées. Et puis je vais illustrer ça en R, histoire de ne pas perdre la main.

Imaginons que vous décidiez d’oeuvrer pour le bien de l’humanité, et que vous vouliez étudier l’effet aphrodisiaque de la bière. Pour faire une bonne expérience randomisée, il faudrait prendre des personnes, leur assigner au hasard un certain niveau de consommation de bière, et mesurer l’impact sur leur libido. Malheureusement, c’est évidemment difficile, alors on choisit de travailler sur des données historiques collectées. Vous réunissez donc un échantillon de personnes, et vous leur soumettez un questionnaire permettant d’évaluer leur consommation mensuelle de bière, ainsi que leur libido (sur une échelle de 1 à 10). Vous collectez les données, tracez les résultats.

> plot(Beer,Libido)
> fit <- lm(Libido~Beer)
> abline(fit$coef)
> summary(fit)
Call:
lm(formula = Libido ~ Beer)
Residuals:
 Min 1Q Median 3Q Max 
-2.820898 -1.043803 -0.007313 1.018204 4.314868
Coefficients:
 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
(Intercept) 2.5820 0.4479 5.764 9.53e-08 ***
Beer 0.8879 0.1042 8.519 1.96e-13 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 1.549 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.4255, Adjusted R-squared: 0.4196 
F-statistic: 72.57 on 1 and 98 DF, p-value: 1.956e-13
> pval <- summary(fit)$coefficients[2,4]
> title(main=paste("p-value =",format(pval,dig=3)))

Et là : bingo ! Vous obtenez la courbe ci-dessous, qui montre une belle corrélation positive avec un "petit p" tout à fait significatif pour le modèle linéaire.

La bière influe fortement sur la libido, voici l’aphrodisiaque du futur ! Vous vous préparez donc à soumettre votre manuscrit avec la bénédiction de Kronenbourg.

Et là un petit malin vous fait remarquer "Et si tu sépares les hommes et les femmes ?" Vous refaites donc votre graphique en colorant différemment les deux sexes, et là…consternation ! Au sein de chacun des groupes, plus du tout de corrélation ! Et le fit linéaire par groupe est insignifiant.

Un moyen de controler cela, c’est de faire une analyse en controllant d’abord par le sexe. Techniquement, on fait quelque chose comme une ANCOVA, et on prend bien soin de l’ordre des facteurs. En R, tout se fait avec la commande "lm", et on ordonne d’abord le sexe, puis la consommation de bière.

> plot(Beer,Libido,col=c("red","blue")[as.numeric(Group)])
> fit2 <- lm(Libido~Group+Beer)
> summary(fit2)
Call:
lm(formula = Libido ~ Group + Beer)
Residuals:
 Min 1Q Median 3Q Max 
-1.83333 -0.47439 0.03775 0.47490 2.91397
Coefficients:
 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
(Intercept) 4.27995 0.29119 14.698 <2e-16 ***
GroupM 3.57795 0.26193 13.660 <2e-16 ***
Beer 0.02321 0.08810 0.263 0.793 
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.9108 on 97 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8035, Adjusted R-squared: 0.7994 
F-statistic: 198.3 on 2 and 97 DF, p-value: < 2.2e-16
> pval2 <- summary(fit2)$coefficients[3,4]
> title(main=paste("p-value =",format(pval2,dig=3)))
> fitF <- lm(Libido~Beer,data=d[Group=="F",])
> fitM <- lm(Libido~Beer,data=d[Group=="M",])
> abline(fitF$coef,col="red")
> abline(fitM$coef,col="blue")

Et là on voit que le "petit p" pour l’influence de la bière après contrôle par le sexe n’est pas du tout significatif !

Le code qui a fabriqué les données :

> set.seed(42)
> d <- data.frame(Group = c(rep(c("F","M"),each=50)),
                Beer = c(rnorm(50,mean=3,sd=1),rnorm(50,mean=5,sd=1)), 
                Libido = rnorm(100,mean=4.5,sd=1) + rep(c(0,3.5),each=50))

Dernier point pour les plus furieux, qui est en quelque sorte un paradoxe dans le paradoxe : on peut s’imaginer que quand on voit des données agrégées, on peut toujours trouver un facteur à la con (genre signe du zodiaque, nombre de lettres du prénom, etc.) qui va nous donner les corrélations dans le sens qu’on veut une fois que c’est segmenté. Comment être sûr qu’un facteur de ce genre est vraiment "influent" ? Ces questions touchent le coeur du problème de "corrélation n’est pas causation" (dont découle le paradoxe de Simpson). Une solution possible est l’utilisation du formalisme des réseaux bayésiens causaux développé par Judea Pearl. Je n’ai pas eu le courage d’attaquer son livre "Causality", mais un sympathique compte-rendu se trouve ici.

Pour finir, pour vous rappeler au quotidien de l’existence du paradoxe, vous pouvez vous procurer la tasse à café ci-contre. Je la veux bien pour mon anniversaire …

Billets connexes :

Les probabilités conditionnelles : un autre exemple de statistiques médicales contre-intuitives

Quand l’économie rencontre la génétique : une étude où l’influence d’éventuels facteurs de confusion a été intensément débattue

Chez mes collègues blogueurs :

Ce billet de Tom Roud sur un paradoxe de Simpson évolutif

Ce billet de Dr. Goulu sur l’espérance de vie

Ce billet de Freakonometrics qui illustre le paradoxe avec de la géométrie élémentaire sur les parallèlogrammes.

Références :

[1] Charig, C. R., et al. "Comparison of treatment of renal calculi by open surgery…" British medical journal (Clinical research ed.) 292.6524 (1986): 879.

[2] Appleton, David R., Joyce M. French, and Mark PJ Vanderpump. "Ignoring a covariate: An example of Simpson’s paradox." The American Statistician 50.4 (1996): 340-341.

[3] Bickel, Peter J., Eugene A. Hammel, and J. William O’Connell. "Sex bias in graduate admissions: Data from Berkeley." Science 187.4175 (1975): 398-404.

Parmi les expériences classiques, celle réalisée par Solomon Asch dans les année 1950 est tout à fait perturbante. Elle nous montre en effet à quel point nous pouvons être sensibles à la pression d’un groupe, au point de faire des choix qui vont à l’encontre de l’évidence.

Une question pourtant simple

Regardez l’image ci-contre. Elle représente une ligne sur la partie gauche, et sur la partie droite trois lignes notées A,B et C. Votre mission, si vous l’acceptez, est d’identifier la ligne de gauche parmi celles de droite : A, B ou C ? Facile, non ?

Quand on réalise cette expérience en conditions normales, le taux de succès est supérieur à 99%. Autant dire que répondre correctement à cette question est considéré comme ‘évident’. Et pourtant en 1950, Solomon Asch, alors chercheur en psychologie à Swarthmore College aux États-Unis, a voulu mesurer comment ce résultat pouvait être influencé par la pression d’un groupe.

Pour réaliser l’expérience, on a convoqué des sujets en leur faisant croire qu’ils participaient à un test de perception visuelle. Chaque sujet a été placé dans un groupe avec 7 autres personnes, on les a assis autour d’une table et on leur a montré des images portant des lignes, exactement comme ce que nous venons de voir. Les membres du groupe devaient donner leur réponse à voix haute, les uns après les autres.

Mais ce que le sujet ne savait pas, c’est que les 7 autres membres du groupe étaient en fait des comédiens, complices de l’expérience ! Le groupe était disposé de telle manière à ce que le sujet testé réponde toujours en dernier, après les comédiens. Au début de l’expérience, les complices ont pour consigne de donner la bonne réponse, mais au bout d’un moment, ils se mettent à tous choisir unanimement une réponse fausse ! Que croyez-vous qu’il arriva ?

Les résultats de l’expérience

Avec chaque sujet, l’expérience est menée 18 fois, et 12 fois sur les 18 le groupe de comédien donne unanimement une réponse fausse. Dans ces conditions, seulement 25% des sujets commettent un sans-faute, c’est-à-dire que les 3/4 des personnes testées se laissent influencer au moins une fois, en suivant l’avis du groupe, qui donne pourtant une réponse clairement fausse !

En moyenne, le taux de mauvaises réponse est d’environ 30%, contre moins d’1% en conditions normales ! Un point intéressant est que tous les sujets ont été débriefés à la fin du test, et on a fini par leur révéler le but réel de l’expérience. Asch a alors recueilli 3 types de réponses : certains sujets étaient intimement persuadés qu’ils avaient toujours donné la bonne réponse. D’autres avouent s’être laissés convaincre par l’opinion unanime du groupe; et enfin certains avaient la bonne réponse, mais ne voulaient pas dénoter par rapport au groupe.

Variations autour de l’expérience

L’expérience de Asch nous révèle, pour ceux qui ne le sauraient pas encore, que nous sommes bien plus influençables que nous voudrions le croire, et que le besoin de conformité peut nous pousser contre l’évidence (consciemment ou non, semble-t-il).

Pour ceux qui refuseraient d’y croire, sachez que cette expérience a été répétée de nombreuses fois depuis, et qu’on peut donc considérer le résultat comme solide. Ce qui est intéressant, c’est que différentes variations contrôlées ont permis de préciser un peu les facteurs les plus influents.

Tout d’abord, la taille du groupe : l’effet se manifeste dès qu’il y a 2 comédiens, mais son amplitude n’augmente plus au-delà d’un certain nombre de comédiens (même si les avis divergent sur le seuil). Autre phénomène important : si en plus du groupe qui répond faux on ajoute un autre comédien qui, lui, donne la bonne réponse, cela suffit à faire disparaître l’influence du groupe. Dès que le sujet n’est plus seul, il se met à donner à nouveau les bonnes réponses. Enfin une autre variation qui atténue l’effet, c’est si l’on demande au sujet testé de répondre par écrit plutôt que par oral.

Enfin de nombreux facteurs influents ont été identifiés par les multiples variations de l’expérience, même si je serai plus prudent dans la mesure où ces manips n’ont pas forcément été beaucoup répétées. On prétend que l’effet augmente avec le caractère ‘attractif’ du groupe, avec sa similarité au sujet, et avec le besoin de reconnaissance de ce dernier. Cela parait crédible.

On dit que l’effet est moins prononcé dans les cultures ‘individualistes’ que ‘collectivistes’ [1] et qu’il aurait diminué (aux USA) depuis les années 50, ce que l’on peut peut-être attribuer à un individualisation de la société américaine au cours de la fin du XXème siècle. Il paraîtrait aussi que l’effet serait plus prononcé chez les personnalités autoritaires, plus sensibles à l’importance de la norme sociale.

Enfin, et ça fera jaser dans les chaumières, les femmes seraient plus influençables que les hommes [2]…Malheureusement la principale méta-analyse sur le sujet [3] n’étant pas librement disponible, je n’ai pas les chiffres exacts. C’est important car il n’est pas rare en sciences sociales que l’on publie parce qu’on trouve un effet "statistiquement significatif", même si l’intensité de l’effet est faible.

Enfin pour ceux qui s’intéressent au sujet, Solomon Asch fut le directeur de thèse d’un certain Stanley Milgram, auteur d’une encore plus fameuse expérience dans les années 1960, et dont je vous parlerai forcément un jour …

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Le singe, un homo economicus irrationnel comme les autres

Références :

[1] Bond, Rod, and Peter B. Smith. "Culture and conformity: A meta-analysis of studies using Asch’s (1952b, 1956) line judgment task." Psychological bulletin 119.1 (1996): 111.

[2] Cacioppo, John T., and Richard E. Petty. "Sex Differences in Influenceability Toward Specifying the Underlying Processes." Personality and Social Psychology Bulletin 6.4 (1980): 651-656.

[3] Cooper, Harris M. "Statistically combining independent studies: A meta-analysis of sex differences in conformity research." Journal of Personality and Social Psychology 37.1 (1979): 131.

]]> http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/04/22/lexperience-de-asch-sur-le-conformisme/feed/ 5 etonon Troupeau de moutons Asch_experiment expérience de asch en 1955 http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/04/15/pourquoi-a-t-on-besoin-de-dormir/ http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/04/15/pourquoi-a-t-on-besoin-de-dormir/#comments Sun, 14 Apr 2013 22:30:39 +0000 David http://sciencetonnante.wordpress.com/?p=4560 ]]> Nous passons en moyenne 8 heures par jour à dormir, ce qui sur l’ensemble d’une vie représente environ 25 années au lit. Et pourtant, aussi incroyable que cela puisse paraître, on ne sait pas vraiment pourquoi nous avons besoin de dormir.

Bien sûr, on dort « parce qu’on est fatigué », mais cela ne nous dit pas quelle est la fonction biologique du sommeil. Par exemple on sait qu’on ne mange pas simplement « parce qu’on a faim », mais parce que notre organisme a besoin de nutriments pour fonctionner.

Il existe ainsi plusieurs hypothèses crédibles pour expliquer le rôle du sommeil, mais aucune ne s’est encore définitivement imposée.

Le sommeil, une anomalie ?

Pour l’homme et les autres animaux, devoir dormir représente quand même un sacré inconvénient ! D’une part il s’agit de temps perdu, que l’on ne peut pas consacrer à d’autres activités importantes comme chasser, manger ou se reproduire. Mais en plus pour un animal, le sommeil est une activité risquée, qui le met à la merci des prédateurs. Si le fait de dormir a été conservé par l’évolution, c’est que le sommeil doit être drôlement utile ! Mais à quoi ?

Pour essayer de comprendre le rôle fondamental du sommeil, il existe une méthode simple : arrêter de dormir et regarder ce qui se passe ! On connait quelques cas attestés de personnes ne dormant pas pendant plus de 10 jours, mais il est évidemment problématique de réaliser des expériences bien contrôlées sur l’homme. Alors comme d’habitude, on va se tourner vers nos amis les animaux.

Les effets de la privation

C’est une expérience très connue publiée en 1983 par Allan Rechtschaffen et ses collègues [1] : on prend des rats, et on les empêche de dormir par une méthode appelée « disk over water ». Dans cette expérience, on utilise une cage dont le bas est rempli d’eau, et on place un rat en surélévation sur un disque dont seulement une moitié est à l’intérieur de la cage (vue de dessus ci-contre).

Tout va bien pour le rat, sauf que le disque est rotatif, et quand il se met à tourner, le rat doit se déplacer pour éviter de tomber dans l’eau. On surveille donc l’activité du rat, et on fait tourner le disque chaque fois qu’il menace de s’endormir (ce qui se produit en moyenne une centaine de fois par jour)

Les effets de la privation de sommeil semblent sans appel : tous les rats meurent dans les deux semaines, soit bien plus rapidement que lors d’une privation de nourriture. Au cours de l’expérience, ils développent des lésions sur la peau, ils mangent plus et pourtant maigrissent beaucoup. Toutefois à l’autopsie, il n’a pas été possible de déterminer la cause exacte de leur mort.

Cette expérience sur les rats est très impressionnante, mais il semble qu’il faille la modérer. D’une part chez la souris ou le pigeon, elle a été reproduite sans entraîner la mort des animaux [2]. D’autre part même chez les rats, ces derniers ne meurent plus si on utilise des méthodes de réveil moins brutales : pour certains chercheurs la cause de la mort dans l’expérience de Rechtschaffen serait surtout le stress intense engendré par la méthode du « disk over water ».

Le sommeil, pas si indispensable ?

Évidemment cette expérience n’a pas été tentée chez l’homme, mais à ce jour il n’a jamais été rapporté de cas d’un être humain mort « par manque de sommeil » (mais il faudrait consulter les données classées secrètes issues d’expériences à des fins militaires ou de torture…)

Outre cela, dans le règne animal, il existe de nombreux animaux se privant parfois volontairement de sommeil. C’est le cas de certains oiseaux lors de la migration, et même des dauphins. Ces derniers peuvent rester éveillés plusieurs jours d’affilé si on les stimule avec des jeux. Encore plus fort, la maman et le bébé dauphin ne dorment presque pas pendant les 6 semaines qui suivent la naissance ! [3] De manière intéressante, ces privations volontaires ne s’accompagnent pas d’un besoin de récupération de la dette de sommeil.

Récemment, un article amusant a été publié dans Science [4]. Les auteurs ont examiné une population de bécasseaux pendant la saison des amours (dont vous voyez une scène ci-contre). Ils ont comparé certains mâles qui dorment normalement, à d’autres qui ne dorment presque pas pendant les 3 semaines que dure la période d’accouplement. Résultat des courses : les mâles qui ne dorment pas ont plus d’accouplements avec les femelles que les autres, et leur descendance sera plus nombreuse.

Cette conclusion paraîtra évidente aux habitués de la drague nocturne, mais sur le plan de l’évolution elle est perturbante : si les petits dormeurs sont avantagés sur le plan sexuel, pourquoi est-ce que les gros dormeurs n’ont pas été supprimés par la sélection naturelle ?

Cela montre que les gros dormeurs doivent quand même posséder un avantage à long terme sur les petits dormeurs, qui compense le fait qu’ils aient moins de succès lors de la chasse aux femelles. Je cite cette merveilleuse conclusion de l’article [4], qui pourrait faire une pub pour Meetic « Why do some males sleep more than others, when fertile females are available ? »

Bref, le sommeil n’est pas forcément indispensable, mais quand même avantageux pour la survie ! Alors voyons les différentes hypothèses.

Quelle fonction pour le sommeil ?

La première fonction à laquelle on peut penser, c’est la conservation de l’énergie, puisque quand on dort on dépense moins de calories. Mais cette explication n’est pas totalement satisfaisante, car un état d’éveil calme remplirait presque aussi bien cette fonction, tout en étant beaucoup moins risqué que le sommeil.

Pour essayer de comprendre la fonction fondamentale du sommeil, il existe un indice important : les variations de durée d’un animal à l’autre. En effet le sommeil peut durer de 3 heures pour l’éléphant, à 20 heures pour certaines chauves-souris !

Cette grande variabilité ne semble pas liée à la position de l’animal dans l’arbre du vivant, mais plutôt à son poids et à son régime alimentaire. Le graphique ci-contre [2] montre la corrélation qui existe entre poids et temps de sommeil chez différents herbivores.

Par ailleurs chez des animaux proches et de taille comparable, les carnivores peuvent dormir beaucoup plus que les herbivores (14 heures pour la chouette contre 6 heures pour les oies cendrées, par exemple)

Ces observations montrent que même si le sommeil est plus qu’une simple conservation d’énergie, il doit quand même être lié au métabolisme.

La piste métabolique

Une des explications les plus en vogue est celle de la protection du cerveau contre ce qu’on appelle le « stress oxydatif ». En effet, quand notre organisme produit de l’énergie en brûlant des nutriments, la réaction chimique fabrique parfois ce qu’on appelle des radicaux libres. Il s’agit de molécules contenant des atomes d’oxygènes disponibles (comme l’eau oxygénée ), et pouvant donc réagir avec leur environnement selon une réaction d’oxydation.

On sait que ces radicaux libres causent des dommages à nos cellules et à notre ADN, et que cela constitue d’ailleurs une cause importante du phénomène de vieillissement. Heureusement notre organisme sait se défendre (via des enzymes) contre ce stress oxydatif, d’où l’importance des anti-oxydants. On suspecte ainsi que l’un des rôles du sommeil serait de réduire l’activité du cerveau, afin de diminuer son attaque par les radicaux libres, et de permettre à des phénomènes de réparation d’avoir lieu.

A l’appui de cette hypothèse, il a été récemment montré que chez le rat, la privation de sommeil conduit à des dommages accrus dans les cellules du cerveau via un mécanisme de stress oxydatif [5].

Et le rêve dans tout ça ?

Jusqu’ici nous avons parlé du sommeil en général, mais laissé de côté le fait qu’il existe un état particulier : le sommeil paradoxal. C’est dans cette période, appelée Rapid Eye Movement (REM) par les anglo-saxons, que se produisent les rêves. On entend parfois que la privation de sommeil paradoxal conduirait à la folie, mais il semble que cela soit une légende.

Plusieurs théories intéressantes existent pour expliquer le sommeil paradoxal. L’une constate que certains neurotransmetteurs ne sont plus émis pendant le sommeil paradoxal, ce qui expliquerait le caractère assez désinhibé des rêves, mais permettrait un certain « repos » des communications dans le cerveau [3].

Une autre théorie audacieuse a été proposée par le français Michel Jouvet. Elle se base sur une observation étonnante : la quantité de sommeil paradoxal dans le règne animal semble corrélée au niveau de maturité des bébés à la naissance. Le dauphin, qui est complètement fonctionnel dès sa naissance, n’en possède pas du tout ! Au contraire l’ornithorynque, qui nait aveugle et totalement vulnérable (voir ci-contre), rêve en moyenne 8 heures par jour !

Une explication possible serait alors la suivante : les rêves servent à accélérer notre maturation cérébrale en nous présentant une simulation de la réalité. Lors des rêves, notre cerveau travaille et se développerait un peu comme lors d’expériences réelles. Le rêve serait donc à la vie ce que le simulateur de vol est au pilotage : un moyen de s’entraîner plus souvent, et sans danger.

Sur ce, je retourne me coucher !

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Références :

[1] Rechtschaffen, A., Gilliland, M. A., Bergmann, B. M., & Winter, J. B. (1983). Physiological correlates of prolonged sleep deprivation in rats. Science, 221(4606), 182-184

[2] Siegel, Jerome M. "Clues to the functions of mammalian sleep." Nature 437.7063 (2005): 1264-1271.

[3] Siegel, Jerome M. "Why we sleep." Scientific American 289.5 (2003): 92-97.

[4] Lesku, John A., et al. "Adaptive sleep loss in polygynous pectoral sandpipers." Science 337.6102 (2012): 1654-1658.

[5] Ramanathan, Lalini, et al. "Sleep deprivation decreases superoxide dismutase activity in rat hippocampus and brainstem." Neuroreport 13.11 (2002): 1387.

[6] Hublin, C., Partinen, M., Koskenvuo, M., & Kaprio, J. (2007). Sleep and mortality: a population-based 22-year follow-up study. Sleep, 30(10), 1245. (Cet article qui montre qu’il existerait un optimum de durée de sommeil, situé autour de 7 heures)

The end of sleep ? Un article étonnant qui fait le point sur les technologies permettant de nous éviter de dormir. Une vision audacieuse qui consiste à voir le sommeil comme une maladie !

Et pourtant c’est très sérieux ! Ce phénomène amusant est bien réel, et permet de fabriquer une poudre composée à 95% d’eau, comme celle représentée sur l’image ci-contre. Le principe de l’eau en poudre a été développé ces dernières années, et les applications potentielles existent dans de nombreux domaines. Alors arrêtez de rire, et lisez la suite !

La recette de l’eau en poudre

Pour fabriquer de l’eau en poudre, c’est très simple : il vous faut de l’eau…et de la poudre ! Mais attention, pas n’importe quelle poudre : choisissez une poudre hydrophobe, c’est-à-dire faite d’une substance qui n’aime pas l’eau.

Déposez une goutte dans la poudre et faites la rouler doucement : sa surface extérieure se recouvre de poudre, et vous obtenez ce qu’on appelle une goutte enrobée. Vous en avez une illustration ci-contre, tirée de l’article fondateur [1] publié en 2001 par David Quéré et Pascale Aussilous de l’EPSCI. La goutte enrobée est l’élément de base de l’eau en poudre.

En effet si maintenant vous utilisez beaucoup d’eau et beaucoup de poudre, et que vous touillez le mélange bien fort, vous pouvez obtenir un tas de gouttes enrobées. C’est ce qu’ont réalisé les physiciens B. Binks et R. Murakami en 2006. L’image d’en-tête de ce billet est tirée de leur article [2] : il s’agit d’eau en poudre, composée à 95% d’eau et à 5% de poudre hydrophobe. Malgré cela, le tas obtenu se comporte comme une poudre, et il est sec au toucher.

L’image ci-contre [2] montre une photo de l’eau en poudre prise au microscope électronique : on y distingue la coque de particules qui enrobe chaque goutte d’eau et l’empêche de fusionner avec ses voisines, comme cela serait le cas avec des gouttes d’eau normales.

Si vous voulez faire vous-même l’expérience de la goutte enrobée, tout est dans le choix adéquat de la poudre ! Le papier d’origine utilisait notamment des spores de lycopodes, une poudre naturelle issue d’une plante vivace, et connue des illusionnistes pour ses utilisations pyrotechniques (et donc disponible dans toute bonne boutique de magie).

Si vous disposez d’un labo bien fourni, vous pouvez aussi essayer la poudre de PTFE (ce polymère appelé aussi « Téflon », et connu pour ses propriétés hydrophobes), ou encore de la silice hydrophobée, qui est assez analogue au célèbre « sable magique » qui ne se mouille jamais.

Des gouttes non-mouillantes

Les gouttes enrobées qui composent l’eau en poudre se comportent de manière très différente des gouttes normales. Quand on pose une goutte d’eau sur un support, elle prend la forme d’une calotte sphérique : on dit que la goutte mouille la surface. Plus le support est hydrophile, plus la calotte sera étalée; plus il est hydrophobe, plus la goutte aura la forme d’une sphère.

En revanche une goutte enrobée conserve une forme presque parfaitement sphérique, quelle que soit la surface sur laquelle on la pose. Sa surface de contact avec le support peut alors être très faible, et la coquille de poudre qui l’entoure empêche tout contact du liquide avec le substrat. Cette différence est illustrée ci-dessus.

On peut même poser une goutte enrobée sur un plan d’eau pour la faire flotter ! (comme sur l’image ci-contre tirée de [3]) Là aussi grâce à l’enrobage, le liquide de la goutte ne sera jamais en contact direct avec l’eau de la surface.

Vaincre les forces de surface

Le principe de l’enrobage des gouttes n’est pas nouveau. S’il a été découvert et breveté en 1968, les pucerons l’utilisent déjà depuis quelques millions d’années ! En effet ces derniers secrètent par l’anus une substance sucrée, le miellat, très prisée notamment des fourmis.

Mais les pucerons sont sous la menace permanente de se trouver englués dans leur propre miellat ! Pour éviter cette catastrophe, certains pucerons ont en charge d’enrober les gouttes à l’aide d’une substance cireuse, et de les évacuer en les faisant rouler.

La raison qui rend les gouttes enrobées intéressantes technologiquement est la même que pour les pucerons : les gouttes enrobées sont beaucoup plus facile à déplacer que les gouttes normales. Pour comprendre cela, il faut réaliser qu’une petite goutte d’eau sur une surface est en général très difficile à bouger. J’en veux pour preuve que si vous soufflez sur une goutte déposée sur du verre, elle va rester solidement accrochée. Et même si vous retournez votre morceau de verre pour mettre la goutte la tête en bas, celle ci ne tombera pas !

La raison de ce phénomène, c’est que pour une petite goutte de liquide, les forces d’adhésion en surface sont énormes rapportées à sa taille. Elles sont donc très difficile à vaincre pour déplacer la goutte. Avec les gouttes enrobées, plus de problèmes ! Puisqu’elles ne sont plus en contact direct avec le substrat, elles sont faciles à mettre en mouvement avec une faible force. Certains auteurs ont même imaginé utiliser comme poudre enrobante une substance contenant de l’oxyde de fer, afin de pouvoir déplacer les gouttes par magnétisme !

De plus l’enrobage de la goutte la protège de certains inconvénients des gouttes normales : l’enrobage protège en partie de l’évaporation, en se déplaçant la goutte ne perd pas de liquide, et elle n’est pas contaminée par la surface sur laquelle elle se déplace.

Plusieurs applications possibles existent en cosmétique ou dans l’industrie pharmaceutique, pour la délivrance contrôlée de petites quantités de médicaments, ou encore le transport de liquides dangereux. Enfin comme le montre l’illustration ci-contre, les gouttes enrobées peuvent aussi servir de microréacteurs pour des réactions chimiques, ou dans le domaine dit de la microfluidique.

Bref l’eau en poudre est loin d’être un poisson d’avril !

D’autres billets sur des sujets analogues : l’origine des ronds de café, et pourquoi les produits qui lavent sont aussi ceux qui moussent ?

Pour aller plus loin…un peu de thermodynamique !

Certains d’entre vous peuvent se demander pourquoi est-ce qu’une poudre hydrophobe irait se coller à la goutte d’eau, alors que justement elle est hydrophobe ! Pour comprendre cela, il faut considérer comment l’énergie du système eau/particule de poudre évolue si la goutte se colle à la surface. On sait qu’un système physique cherche toujours à minimiser son énergie.

Or à toute interface (eau/air, eau/solide ou air/solide) est associée une énergie proportionnelle à la surface S de l’interface, avec une constante qui dépend de la nature de l’interface.

Quand une particule initialement dans l’air vient se coller à la surface de la goutte, une partie de l’interface eau/air disparaît, et une partie de l’interface particule/air est remplacée par une interface particule/eau.

Pour ceux qui aiment les détails, la variation d’énergie libre lors de l’adsorption est

Si on injecte la définition de l’angle de contact

On obtient

Maintenant pour montrer que ce terme est forcément négatif, il n’y a plus qu’à se convaincre que le terme entre parenthèses est forcément positif. Un dessin comme-celui ci-dessus devrait faire l’affaire !

Donc quelle que soit l’hydrophobicité de la particule (ou – c’est équivalent – l’angle de contact), l’opération conduit toujours à une diminution nette de l’énergie libre du système. Même la plus hydrophobe des particules trouvera toujours intéressant d’aller s’adsorber à la surface de la goutte d’eau.

(Ah oui sinon il parait même que l’eau en poudre permettrait de lutter contre le réchauffement climatique en sequestrant le CO2 , mais pour moi ça sent un peu la survente du concept…)

[1] Aussillous, P., & Quéré, D. (2001). Liquid marbles. Nature, 411(6840), 924-927.

[2] Binks, B. P., & Murakami, R. (2006). Phase inversion of particle-stabilized materials from foams to dry water. Nature materials, 5(11), 865-869.

[3] Gao, L., & McCarthy, T. J. (2007). Ionic liquid marbles. Langmuir, 23(21), 10445-10447.

[4] Xue, Y., Wang, H., Zhao, Y., Dai, L., Feng, L., Wang, X., & Lin, T. (2010). Magnetic liquid marbles: a “precise” miniature reactor. Advanced materials, 22(43), 4814-4818.

Et pourtant, nous allons voir dans ce billet que l’on peut effectivement trouver des courbes qui remplissent totalement une surface en passant par tous ses points.

Et tant pis si ça va à l’encontre de l’intuition !

Pourquoi cela nous parait impossible

Alors allons-y, essayons de relever le défi : trouver une courbe qui colorie complètement un carré. Cela parait bien difficile, car tout le monde sait qu’en mathématiques, les lignes n’ont pas d’épaisseur. Dans ces conditions, on a bien envie de penser que la surface recouverte par une courbe est toujours nulle. On n’est pas prêt d’arriver à recouvrir tout un carré.

D’ailleurs, une courbe est un objet de dimension 1, alors qu’un carré est de dimension 2. On voit bien que ça ne peut pas marcher ! Une autre manière de le dire, c’est de compter le nombre de points sur un segment et un carré. Certes sur le segment, il y en a une infinité. Mais dans le carré, on sent bien qu’il y a une infinité de fois plus de points que dans un segment ! Et pourtant…

La construction de Cantor

A la fin du XIXème siècle, le mathématicien allemand Georg Cantor a décidé de s’attaquer à la notion d’infini (voir à ce sujet cet épisode de Podcast Science). En 1878, il essaye justement de démontrer qu’un carré contient beaucoup plus de points qu’un segment : même s’ils sont tous les deux infinis, il sent bien qu’il y en a un qui est plus gros que l’autre. Mais à sa propre surprise, il démontre le contraire : un segment et un carré contiennent autant de points l’un que l’autre !

Pour démontrer cela, il suffit de montrer qu’à tout point du segment on peut associer un unique point du carré, et réciproquement. Et c’est ce que fait Cantor ! Voici la correspondance qu’il imagine. Un point sur un segment est représenté par un nombre réel compris entre 0 et 1. Un point dans un carré est représenté par 2 nombres et compris entre 0 et 1 (ses coordonnées).

Cantor propose alors la chose suivante : écrire en écriture décimale, et construire et en sélectionnant les décimales en positions impaires et paires respectivement. Voici un exemple détaillé :

Je vous laisse vous convaincre qu’avec ce procédé, à tout nombre du segment on associe un unique point du carré, et réciproquement ! Nous avons donc bien démontré que le segment contient autant de points que le carré.

Les courbes fractales de Peano

La construction exhibée par Cantor montre définitivement qu’un carré n’est pas "plus gros" qu’un segment. Et pourtant en tant que tel, cela ne constitue pas une preuve du fait qu’on peut colorier un carré avec une courbe. Ce qu’il manque, c’est la continuité ! En effet la correspondance établie par Cantor n’est pas continue comme le serait une vraie courbe. Avec l’application de Cantor, deux points du segment très voisins seront envoyés sur des endroits du carré très différents. On ne peut donc pas dessiner la correspondance de Cantor sans lever la main !

Toutefois, puisque Cantor a fait tomber le principal obstacle psychologique à la découverte d’une courbe remplissant le carré, la solution viendra quelques années plus tard sous la plume de l’italien Peano. Ce dernier propose en effet de construire une courbe qui remplit tout un carré, et ce par étapes successives. Le dessin ci-dessous montre les trois premières étapes du processus

En poursuivant le processus "à l’infini", on obtient une courbe qui passe par tous les points du carré ! On appelle cela une courbe remplissante. Certains d’entre vous reconnaitront peut être ici le principe des fractales : on part d’un motif, puis on le répète à l’échelle inférieure, puis à nouveau et ainsi de suite. (Pour ceux que cette manière de construire les courbes chiffonne, j’y reviendrai dans mon "Pour aller plus loin…")

A la suite de la découverte de la courbe de Peano, de nombreux autres mathématiciens proposeront des courbes remplissantes basées sur le principe des fractales. La courbe de Hilbert est une des plus connues, ainsi que la courbe de Lebesgue représentée ci-contre, et dont le principe est de faire une construction fractale à partir d’un motif en Z.

Ah petit détail pour ceux qui aiment les maths, ces courbes sont d’une espèce tout-à-fait exotique : elles sont continues partout mais dérivables nulle-part ! En gros tout point de la courbe est un angle…étonnant non ?

Bref, si vous voulez colorier un carré avec un crayon infiniment fin, c’est possible : choisissez la trajectoire d’une de ces courbes remplissantes. Une fois de plus vous constatez qu’en mathématique, il ne faut pas toujours se fier à l’intuition, spécialement quand il est question d’infini ! Toutefois les courbes remplissantes ne sont pas qu’un divertissement pour mathématiciens amateurs de paradoxes, il s’agit aussi d’un outil utile dans certains domaines comme la réduction de données. Avec la trajectoire d’une courbe remplissante, vous pouvez en effet parcourir de manière efficace un espace multidimensionnel.

Pour aller plus loin : expression analytique des courbes remplissantes

La première fois que j’ai lu la description de la fameuse courbe de Peano, j’ai été fort déçu ! En effet cette construction graphique à faire "à l’infini" ne paraît pas très rigoureuse. Est-ce que la limite existe vraiment ? Est-ce qu’on est sûr que l’on va bien passer par tous les points ? Heureusement pour moi, Peano partageait les mêmes craintes. Et pour éviter tout biais lié à l’utilisation des dessins, son article d’origine est purement analytique, et ne comporte absolument aucune figure. Il existe donc bien une expression analytique de la courbe de Peano, formulée d’une manière analogue à la construction de Cantor que j’ai présenté ci-dessus.

Voici comment procéder : comme pour l’application de Cantor, on veut qu’à tout nombre on associe . Pour comprendre comment faire cela, choisissez mentalement un nombre , par exemple 0.31, et observez les figures des étapes de construction de la courbe de Peano. On va essayer de localiser le couple correspondant en procédant par approximations successives.

Premièrement, divisez mentalement l’image par trois traits verticaux, comme sur le dessin ci-contre. Pour la valeur de qu’on a choisi, on va essayer de savoir dans lequel des 3 tiers verticaux on va tomber. Puisque la courbe parcours ces 3 panneaux verticaux l’un après l’autre, en réfléchissant un tout petit peu, vous pouvez vous rendre compte que cela dépend de si votre nombre est compris entre 0 et 1/3, ou bien entre 1/3 et 2/3, ou finalement entre 2/3 et 1. Pour t=0.31, on est entre 0 et 1/3 donc on sera dans le premier panneau vertical.

Une fois que vous avez fait cela, on divise l’image en 3 par des traits horizontaux, et on va se demander dans lequel des 3 panneaux horizontaux on arrive pour notre valeur de . Pour cela, on part du segment dans lequel on vient de se trouver (pour t=0.31, c’est le segment 0-1/3), on le divise lui même en 3 tiers et on regarde dans quel tiers on tombe. Ici les 3 tiers seront 0-1/9, 1/9-2/9 et 2/9-3/9. Pour t=0.31, c’est le 3ième tiers. On sera donc dans le 3ème panneau horizontal (on compte à partir du bas). Puisque par ailleurs on est dans le premier panneau horizontal, c’est que pour notre valeur de on se situe dans le coin supérieur gauche. Et en répétant la procédure, on peut diviser le coin supérieur gauche en 9, et recommencer. Par ce processus itératif, on peut donc localiser avec exactitude le x et le y qui correspondent au t qu’on a choisit. Voyons maintenant comment mettre une formule analytique là-dessus.

Pour savoir exactement ou se trouve le x et le y associés à un t donné, il faut donc savoir dans quel tiers t se trouve, puis dans quel tiers du tiers, puis dans quel tiers du tiers du tiers, et ainsi de suite. Le secret de l’expression analytique de la courbe de Peano est donc de faire une "décomposition en base 3".

Pour cela, rappelons d’abord ce qu’est la décomposition décimale habituelle en base 10 : elle correspond à l’écriture suivante

Partant de là, on peut facilement fabriquer la décomposition décimale en n’importe quelle autre base que 10, par exemple 3

Vous remarquerez la bizarre notation qui est le point "décimal" en base 3. Dans cette notation, les nombres valent donc tous 0, 1 ou 2. Donc prenez votre , et décomposez le en base décimale 3, vous obtenez donc une suite de nombres qui caractérisent parfaitement t.

Si on voulait imiter la construction de Cantor, on ferait la même chose en séparant les décimales paires et impaires pour construire x et y. On obtiendrait ceci :

En fait ça ne marche pas tel quel. Il faut ajouter une petite subtilité qui je crois est lié au fait que le motif de base de la courbe de Peano se répète à toutes les échelles, mais il peut être tourné de 90° ou inversé comme dans un miroir. Pour tenir compte de cet effet, il y a une petite subtilité à introduire.

On note K l’opérateur qui a un nombre valant 0,1 ou 2 associe . On note l’opérateur composé n fois avec lui même. Voici enfin la définition purement analytique de la construction de Cantor :

Pour ceux à qui cette construction fait mal à la tête, je vous propose un cas encore plus simple de courbe remplissante possédant une expression analytique, il s’agit de la courbe de Schoenberg. Elle est très proche de la courbe de Lebesgue et s’exprime comme une simple série. Voici son expression analytique que je pique directement dans ce papier de H. Sagan. Ah oui amusant, cette courbe est elle-aussi continue partout, mais elle est dérivable "presque partout"…(alors que celle de Lebesgue n’est dérivable nulle part, allez comprendre…)

D’autres exemples de courbes remplissantes chez ElJJ

]]> http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/04/01/les-courbes-remplissantes-ou-comment-faire-un-coloriage-avec-un-crayon-ponctuel/feed/ 15 etonon pencil carré et courbe cantor Courbe de Peano Courbe de lebesgue en Z Peano division schoenberg curve analytic http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/03/25/le-rayonnement-fossile/ http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/03/25/le-rayonnement-fossile/#comments Mon, 25 Mar 2013 03:01:08 +0000 David http://sciencetonnante.wordpress.com/?p=4394 ]]> Si vous suivez l’actualité, l’image ci-contre doit vous être familière. Il s’agit de la carte du rayonnement fossile de l’Univers, publiée cette semaine en grande pompe par l’Agence Spatiale Européenne, et qui a été établie grâce aux données collectées depuis 4 ans par le satellite Planck.

Après la découverte du boson de Higgs par le CERN en juillet dernier, c’est donc la deuxième fois en moins d’un an qu’une avancée scientifique fait la une des journaux. Mais tout comme le boson de Higgs, pas forcément facile de comprendre vraiment de quoi il s’agit et pourquoi c’est important.

Je vais donc essayer de faire la lumière sur le rayonnement fossile !

Le rayonnement fossile, une découverte fortuite

Cela fait maintenant plusieurs dizaines d’années que la théorie du Big Bang est universellement acceptée. Mais comme pour toute théorie révolutionnaire, il n’en a pas toujours été ainsi : bien qu’elle ait été formulée dans les années 30, de nombreux chercheurs ont longtemps estimé que l’on manquait de preuves. Le terme "Big Bang" a d’ailleurs été inventé comme une expression ironique par un de ses détracteurs.

On peut comprendre les réticences de certains opposants de l’époque : la théorie du Big Bang nous dit qu’il y a bien longtemps, l’Univers était fabuleusement chaud, dense et ratatiné sur lui-même; il devrait donc bien rester quelque part des traces de cette époque incroyable ! Dans les années 40, le physicien Ralph Alpher a justement essayé d’apporter une réponse à cette question, en prédisant que l’ensemble de l’Univers devait être baigné d’un faible rayonnement électromagnétique, une sorte de fossile datant de l’époque du Big Bang. Sauf qu’à l’époque, personne n’avait trouvé un tel rayonnement !

C’est en 1964 que deux radio-astronomes, Penzias et Wilson finissent par découvrir par hasard ce rayonnement fossile : à l’aide d’une antenne (que l’on voit ci-contre), ils cherchaient à capter tout autre chose, mais n’arrivaient pas à s’affranchir d’un bruit persistant. Ils ne connaissaient pas les travaux d’Alpher, mais la communauté finit par se convaincre qu’ils avaient bel et bien mis la main sur le fameux rayonnement fossile.

Cette découverte fut la plus spectaculaire des confirmations de la théorie du Big Bang, et valu à Penzias et Wilson le prix Nobel en 1978…mais rien pour Alpher qui avait pourtant prédit son existence (une injustice dont les théoriciens mettront longtemps à se remettre.)

Le rayonnement fossile, qu’est-ce que c’est ?

On entend parfois que le rayonnement fossile, que l’on appelle aussi fond diffus cosmologique (Cosmic Microwave Background ou CMB en anglais) est une image de la naissance de l’Univers. En réalité, il s’agit plutôt d’une photo de son adolescence tumultueuse. Voyons un peu le déroulement des faits.

Lors de sa prime enfance, l’Univers était tellement chaud que la matière telle qu’on la connait aujourd’hui n’existait pas encore. Quelques instants après le Big Bang, les premières particules comme les protons et les neutrons apparaissent. Mais il fait encore bien trop chaud pour que les électrons se joignent aux protons pour former des atomes. Les protons et les électrons sont donc séparés les uns des autres, et la matière est dans cet état que l’on appelle plasma.

Mais au fur et à mesure que l’Univers s’étend, il se refroidit et sa température finit par passer sous les 3000 degrés. A cette température plus modérée, les électrons peuvent enfin rejoindre les protons et former les premiers atomes stables. Ce phénomène est appelé la recombinaison, et il s’accompagne d’un grand changement. Quand les protons étaient seuls, ils passaient leur temps à émettre et absorber de la lumière. Celle-ci ne pouvait donc jamais voyager bien loin car le moindre proton qui se trouvait là pouvait l’absorber. Mais une fois que les protons se sont associés aux électrons pour former les atomes, ils deviennent presque indifférents à la lumière qui passe près d’eux : la matière devient transparente et la lumière peut se propager sans encombres.

La recombinaison s’est produite environ 380 000 ans après le Big Bang, et puisque la lumière émise à l’époque n’a ensuite presque plus interagi avec la matière, elle se propage depuis 14 milliards d’années à travers l’Univers : c’est cette lumière qui constitue le rayonnement fossile. Comme je vous le disais, ce rayonnement n’est donc pas exactement une image de la naissance de l’Univers, mais plutôt de ce que ce dernier était à l’âge de 380 000 ans.

Un rayonnement glacial

Pour mieux comprendre la nature du rayonnement fossile, il faut penser à la lumière qu’émettent les objets très chauds : leur couleur dépend de la température. Ainsi un morceau de fer que l’on chauffe va se mettre à rougeoyer, puis devenir orange, jaune et enfin blanc au fur et à mesure que la température augmente. Ce phénomène est en fait très général, et toute matière émet un rayonnement qui dépend de sa température. Ainsi votre corps qui est à 37°C émet lui aussi un rayonnement, mais situé dans le domaine des infra-rouges, et qu’on ne peut révéler qu’avec ces capteurs spéciaux qui équipent les lunettes de vision nocturne des soldats d’élite.

Revenons au Big-Bang : au moment où a eu lieu la recombinaison, l’Univers était à une température d’environ 3000°C. Si vous aviez pu observer cela à l’époque, vous auriez vu s’échapper une éclatante lumière blanche; et c’est cette lumière qui se propage depuis partout dans l’Univers. Mais il y a un hic : quand on observe le ciel la nuit, on ne voit aucune lumière blanche éclatante ! Que s’est-il passé ? Eh bien maintenant la lumière n’est plus blanche du tout !

A cause de l’expansion de l’Univers, la longueur d’onde de la lumière a changé et s’est beaucoup allongée (voir mon billet à ce sujet pour en savoir plus). Elle est passée de quelques centaines de nanomètres à quelques millimètres. Le rayonnement ne correspond donc plus du tout aux longueurs d’ondes de la lumière visible, mais à celles que l’on appelle "micro-ondes". Oui oui, ce sont les mêmes ondes qui sont produites par votre four et qui peuvent réchauffer vos aliments !

Une autre manière de le dire, c’est qu’à cause de l’expansion de l’Univers, le rayonnement fossile n’est plus celui d’un corps chauffé à 3000°C, mais plutôt celui qu’émettrait un corps dont la température serait -270.5°C, c’est-à-dire 2.7 degrés seulement au dessus du zéro absolu ! L’image ci-contre illustre comment la dilatation des longueurs due à l’expansion de l’Univers a transformé un rayonnement à 3000K (comportant des longueurs d’ondes visibles) en un rayonnement à environ 3K, et invisible à nos yeux.

De COBE à Planck

Quand les premières observations du rayonnement fossile ont été effectuées, on a d’abord vérifié qu’il venait bien de toutes les directions (logique, puisqu’il doit baigner l’ensemble de l’Univers). Mais on a aussi remarqué que la température qui correspondait (2.7 kelvins, donc) était toujours la même quelle que soit la direction du ciel dans laquelle on regardait. Après tout, rien de surprenant non plus, cela ne fait que traduire le fait que l’Univers est extrêmement homogène.

Toutefois on sait que si on regarde bien, l’Univers n’est pas exactement homogène, la preuve en est qu’il existe des galaxies, et que ces dernières sont regroupées en amas dans certaines parties de l’Univers. Les cosmologistes soupçonnent que si l’Univers actuel est très légèrement inhomogène, cela doit résulter d’infimes inhomogénéités qui existaient déjà dans les premiers instants du Big-Bang. Ces inhomogénéités, on doit donc pouvoir les détecter dans le rayonnement fossile.

En 1992, une première mission a été lancée par la NASA pour essayer de mesurer de légères variations de la température du rayonnement fossile selon la direction d’observation. Le résultat de cette expérience (qui valu le prix Nobel à ses concepteurs en 2006) est représenté ci-contre : on y voit une carte du ciel qui représente les fluctuations de température du rayonnement autour de sa valeur moyenne de 2.725 K. Les fluctuations maximales sont inférieures à un millième de degré !

Ces fluctuations sont comme des rides minuscules dans le rayonnement fossile, mais elles contiennent beaucoup d’informations sur l’état de l’Univers tel qu’il était au moment de la recombinaison. En observant dans le détails ces petites fluctuations, on peut en principe en déduire par exemple la courbure de l’Univers ou encore sa composition en matière noire. Les fluctuations du rayonnement fossile sont donc comme un livre dans lequel on pourrait lire (presque) toutes les réponses que se posent les cosmologistes !

C’est pour cela qu’après COBE, deux autres missions ont été lancées pour améliorer la mesure des fluctuations : WMAP en 2001, et Planck en 2009. En comparant l’image de COBE à celle de Planck (en début de ce billet), vous pouvez apprécier l’amélioration : un peu comme si vous veniez de multiplier par 100 le nombre de pixels de votre appareil photo numérique !

Au fait, si vous vous demandez pourquoi ces cartes du rayonnement ont des formes ovales : quand on mesure le rayonnement dans toutes les directions qui nous entourent, on obtient une carte qui a la forme du ciel, c’est-à-dire une sphère. Mais pour représenter cette sphère, on fait ce que l’on a l’habitude de faire pour le globe terrestre : on fait une projection. Cette forme ovale est donc l’exact analogue des mappemondes projetées qui représentent continents et océans.

Ce que Planck nous révèle

L’analyse précise des données fournies par Planck a donc permis d’améliorer la précision avec laquelle on connait les grands paramètres qui décrivent le modèle du Big Bang, et notamment l’âge de l’Univers (officiellement maintenant 13.8 milliards d’années), la vitesse d’expansion de celui-ci, la répartition du contenu de l’Univers entre matière normale (5%), matière noire (27%) et énergie noire (68%).

D’une certaine manière, les résultats de Planck sont un peu frustrants, car ils ne révèlent aucune surprise ! Le modèle actuel est confirmé, on améliore encore la précision des mesures, mais pas de nouvelle inattendue susceptible de bouleverser notre compréhension de la cosmologie. Un peu comme le boson de Higgs…quoique ! Un petit point a en effet retenu l’attention des scientifiques. Il semble qu’en moyenne, la température de l’Univers soit très très légèrement asymétrique, avec un côté un chouilla plus froid et l’autre un chouilla plus chaud. Comme si l’Univers avait un axe privilégié, ce qui va à l’encontre de toutes les hypothèses de la cosmologie jusqu’à l’heure actuelle. Affaire à suivre !

Pour aller plus loin…

Pour comprendre comment on analyse les fluctuations du rayonnement fossile, il faut penser à ce que l’on ferait si on voyait une mer en apparence calme, mais parcourue par de très fines vagues et vaguelettes. On aurait par exemple envie de connaître l’intensité des vagues et leur longueur d’onde. Il nous faut donc ce qu’on appelle un spectre de puissance, qui donne la composition des fluctuations en fonction des longueurs d’onde.

Pour faire ça sur la mer, on aurait recours à un outil classique du traitement du signal : la transformée de Fourier. C’est en quelque sorte la même chose que l’on va faire avec les données du rayonnement fossile, sauf que l’on ne se situe pas sur un plan mais à la surface d’une sphère. Pour ceux qui auraient des bases de physique atomique, les fonctions qu’on utilise pour faire "de la transformée de Fourier sur une sphère" sont les harmoniques sphériques ! Comme vous vous en souvenez peut-être, celles-ci sont indexées par un entier généralement noté l, et auquel on peut penser comme étant l’analogue sphérique du vecteur d’onde quand on fait une transformée de Fourier dans l’espace.

Le spectre des fluctuations du rayonnement fossile est donc une courbe qui donne l’intensité des fluctuations en fonction de l. La courbe obtenue par Planck est représentée ci-dessous.

La courbe verte représente le fit à la théorie, et on voit que l’ajustement est très bon ! Les barres d’erreur les plus grandes sont pour les faibles l, c’est à dire les fluctuations à grande échelle angulaire. La fameuse asymétrie est donc dans cette zone un peu incertaine.

Ce qu’il y a de fascinant avec cette courbe, c’est qu’elle contient implicitement tous les grands paramètres qui définissent le modèle du Big-Bang aujourd’hui en vigueur. Par exemple la position du premier pic nous renseigne sur la courbure de l’Univers (proche de zéro, c’est à dire tristement plat dans notre cas !), la taille du second pic révèle la densité de baryons, le troisième pic indique la quantité de matière noire, etc.

Pour revenir à la fameuse asymétrie apparente, il y a quelque chose de perturbant qui est qu’elle est exactement alignée avec le plan de l’écliptique du système solaire. C’est évidemment une drôle de coïncidence, et fleure donc bon l’erreur systématique. Toutefois tout a été vérifié et rien ne semble l’expliquer. S’agit-il de la signature d’une nouvelle physique ? On voudrait le croire. D’ailleurs certaines mauvaises langues disent que les rapporteurs de la mission Planck ont exagérément insisté sur ce résultat, histoire de ne pas donner l’impression que Planck n’avait finalement trouvé rien de bien neuf.

Heureusement pour garder un peu d’espoir, il reste encore pas mal à manger dans Planck. Une partie des données n’ont pas encore été révélées, et les résultats concernent la polarisation du rayonnement fossile. Et il se pourrait bien que ces données révèlent l’existence des ondes gravitationnelles ! Ce serait une belle nouvelle, et grillerait quelque peu la politesse aux expériences géantes VIRGO et LIGO censées les détecter au sol…

Deux chercheurs en économie viennent de pousser le bouchon un peu plus loin, en prétendant corréler le niveau de développement économique des nations à leur diversité génétique. Autant dire que leur article a provoqué une salve de critiques de tous bords. Voyons un peu ce qu’il en est.

Le papier de la discorde

Deux économistes travaillant aux Etats-Unis, Oded Galor et Quamrul Ashraf, sont les auteurs de cet article controversé [1], qui vient tout juste d’être publié dans The American Economic Review, un des journaux les plus prestigieux du domaine.

Ils prétendent avoir démontré qu’il existe un lien entre le niveau de développement économique d’un pays, et son degré de diversité génétique. Ce lien prendrait la forme particulière d’une courbe en  « U inversé », c’est-à-dire que trop ou trop peu de diversité seraient néfastes pour l’économie.

Qualitativement, leur argument est le suivant : trop de diversité est nuisible pour l’entente et la coopération, mais trop peu de diversité ne favorise pas l’innovation. L’idéal serait donc d’être au milieu, ce qui expliquerait la supériorité des économies asiatiques et occidentales. On imagine aisément les implications politiques d’un tel résultat.

Il se trouve que ce papier circule depuis presque 3 ans dans la communauté, mais ça n’est que très récemment qu’il s’est attiré les foudres des uns et des autres.

Parmi les critiques adressées aux deux économistes, on trouve les habituels « une corrélation ne signifie pas une causation », mais aussi bien entendu les accusations de racisme ou d’apologie de l’eugénisme. Mais qu’en est-il sur le plan scientifique et méthodologique ?

Diversité génétique et effet fondateur

A la base de leur analyse, il y a une mesure de diversité génétique dans les différentes régions du globe. Ces données bien connues sont issues d’un papier de référence [2], qui démontre le principe de ce qu’on appelle l’effet fondateur.

Cet effet (dont j’ai déjà parlé dans ce billet) explique que la diversité génétique décroit quand on suit le chemin des migrations de l’Homo Sapiens. L’idée est qu’une migration d’une région à l’autre est souvent le fait d’un petit nombre de pionniers, qui n’emportent donc qu’une partie restreinte des gènes de la population initiale, comme l’illustre le schéma ci-contre.

Quand on applique cet effet à plusieurs migrations successives, on obtient ce qu’on appelle l’effet fondateur en série illustré ci-dessous : une perte progressive de diversité génétique le long d’un chemin de migration.

On a alors pu vérifier qu’en effet la diversité génétique des populations actuelles décroit quand on s’éloigne d’Afrique, berceau de l’Homo Sapiens : les peuples les plus divers génétiquement se trouvent autour de l’Éthiopie, les moins divers sont en Amérique du Sud.

C’est ce que montre le graphique ci-contre [2], qui corrèle l’hétérozygotie d’une population (une mesure de sa diversité génétique) à la distance à Addis Abbeba en Éthiopie.

La distance est bien sûr calculée pour un chemin fait ‘à pied’, conformément aux migrations d’Homo Sapiens :  les pays les plus éloignés sont donc bien ceux d’Amérique du Sud, la région du monde atteinte en dernier par l’homme moderne.

La performance économique des nations

Pour corréler la diversité génétique d’un peuple avec sa performance économique, il faut une mesure de cette dernière. Pour éliminer les biais liés aux migrations, les deux économistes se sont concentrés sur l’état du monde en l’an 1500, c’est-à-dire avant les grandes migrations modernes.

Le problème est qu’il est difficile de mesurer l’activité économique qu’avaient les nations en 1500. Ils ont donc utilisé une approximation, en considérant que la densité de population constituait à l’époque une bonne mesure de la performance économique. L’argument sous-jacent étant qu’avant la révolution industrielle, un accroissement de la performance économique conduisait plus à une augmentation de la population qu’à une élévation du niveau de vie.

En moulinant donc données génétiques et économiques, ils ont produit le graphique ci-dessous, qui démontrerait la fameuse relation en U inversé entre diversité génétique et densité de population. On y voit que les pays très divers (génétiquement) comme l’Éthiopie et les pays très homogènes comme ceux d’Amérique du Sud seraient les moins favorisés, tandis que l’Europe et l’Asie se trouveraient dans l’optimum de diversité.

Des critiques méthodologiques

Évidemment, comme la conclusion fait grincer des dents, les critiques ont plu sur le papier. En premier, on trouve pas mal de contestations de la méthode statistique, et notamment le fait que les différents échantillons ne sont pas indépendants les uns des autres. Bien que n’étant pas très versé dans le domaine, j’ai tendance à penser que les économétriciens sont en général assez propres dans l’utilisation des méthodes statistiques. De surcroit si le journal est réputé, on peut certainement exclure l’erreur grossière de ce côté là.

Je serai en revanche plus réservé la fiabilité des données et donc la robustesse de la conclusion. Utiliser la densité de population comme approximation de la richesse économique, pourquoi pas. Mais j’imagine que collecter cette information de manière un peu fiable est assez délicat, surtout pour l’an 1500 !

Si on ajoute à cela la possibilité d’un facteur confondant non-considéré, on peut sérieusement envisager que l’analyse, bien qu’honnête, soit un faux positif. Cela se produit d’ailleurs semble-t-il assez souvent dans ce genre d’études. Bon et puis de toute façon comme le montre le graphique, la corrélation n’est quand même pas monstrueuse !

Les difficultés de la géno-économie

Ce domaine qui cherche à relier facteurs génétiques et conséquences économiques a été baptisé géno-économie. Si Ashraf et Galor se sont intéressé à la macroéconomie (la performance globale d’une nation), les principales investigations ont jusqu’ici porté sur la microéconomie, c’est-à-dire les comportements économiques individuels des gens, comme leur propension à prendre des risques.

Une bonne revue en a été donnée récemment par D. Benjamin [3]. Cette revue est d’autant plus remarquable que le principal auteur y mentionne ses erreurs et tous ses propres résultats qu’il n’a pas réussi à reproduire. Il cite notamment une étude réalisée en Islande, où il a dans un premier temps identifié 3 gènes associé au niveau d’étude ou à la propension à sacrifier l’avenir pour le présent. Mais comme il l’admet lui-même, ces corrélations étaient en fait très certainement des faux positifs. Alors faut-il penser la même chose de l’analyse de Ashraf et Galor ?

En attendant, et heureusement pour les fans d’économie, des travaux bien plus sérieux ont été réalisés, comme cette étude qui établit une corrélation entre la performance économique d’un pays et la taille moyenne du pénis dans sa population [4]. Les auteurs ont rapporté deux effets : le PIB d’un pays suit aussi une courbe en U inversé avec la taille du pénis (l’idéal est donc d’être intermédiaire). En revanche, la croissance du PIB serait inversement proportionnelle à la taille du pénis, comme le montre le graphique ci-dessous.

Bien qu’ils n’en fassent pas le cœur de leur résultat, les auteurs se livrent à quelques tentatives d’interprétation : la taille du pénis est notoirement corrélée au niveau de testostérone, qui lui-même peut impacter notre propension à prendre des risques. Autre interprétation possible, un petit pénis provoque un sentiment de frustration qui conduit à se dépasser dans le domaine économique. Je vous laisse vous faire votre idée !

Pour aller plus loin

Pour ceux qui veulent creuser, l’enchainement des critiques et des réponses est assez intéressant. Tout d’abord comme je le disais, le papier tourne depuis plus de 2 ans sans que cela n’ait ému quiconque. C’est un article plutôt élogieux de Science qui a mis le feu aux poudres, suivi par un article de Nature lui plutôt critique, et d’une lettre de biologistes et d’anthropologues indignés par les conclusions du papier.

Je trouve que cette première lettre était franchement faible dans ses critiques, en usant d’arguments très légers du genre « il existe un contre-exemple donc le lien est faux », ou encore en se réfugiant trop derrière des arguments purement moraux. La réponse de Ashraf et Galor ne s’est pas faite attendre, et elle est plutôt convaincante.

Heureusement, les indignés ont pondu un texte bien meilleur qui pointe notamment les faiblesses dans la robustesse des données de densité de population.

Seul point amusant, Ashraf et Galor se sont défendus en affirmant que « far from claiming that genetic diversity directly influences economic development, we are using it as a proxy for immeasurable cultural, historical and biological factors that influence economies ». Ca ressemble un peu à du rétropédalage, étant donné que ceci n’est pas du tout discuté dans l’article original.

[1] Ashraf, Quamrul, and Oded Galor. The" out of Africa" hypothesis, human genetic diversity, and comparative economic development. No. w17216. National Bureau of Economic Research, 2011.

[2] J. Z. Li et al., Worldwide Human Relationships Inferred from Genome-Wide Patterns of Variation, Science 319, 1100 (2008)

[3] Benjamin, Daniel J., et al. "The promises and pitfalls of genoeconomics." Economics 4 (2012).

[4] Westling, Tatu. "Male organ and economic growth: does size matter?." (2011).