De temps en temps, en maths, il y a des bizarreries qui peuvent nous faire des noeuds aux neurones. Parmi mes préférées, il y a le nombre 0.999999…, où les 3 petits points désignent le fait que la suite de chiffres “9″ se poursuit à l’infini. Voyons un peu ce nombre paradoxal.

(image Wikipédia)

La notation décimale

Comme vous le savez, tout nombre réel peut être écrit sous forme décimale, c’est-à-dire en donnant une suite de chiffres avant et après la virgule. J’ai déjà eu l’occasion de parler de cette notation dans mon billet sur les nombres univers.

Pour les nombres les plus simples, cette suite est finie. Pour d’autres, la séquence des décimales peut être infinie mais en se répétant de manière périodique, par exemple :

22/7 = 3.142857142857142857142857…

Et enfin, pour les nombres les plus capricieux, cette suite est infinie et sans périodicité particulière. Aujourd’hui nous allons nous intéresser à une périodicité simple : un seul chiffre qui se répète.

0.xxxxxx…

Qu’a-t-on comme suite de décimales avec un seul chiffre ? Eh bien c’est facile :

0.111111111…

0.222222222…

0.333333333…

…

0.999999999…

Les premières ne sont pas très perturbantes. Elles correspondent d’ailleurs à des fractions bien connues, par exemple 1/9=0.111111…  ou 1/3 = 0.333333…

Mais regardez bien la dernière. Quelle différence voyez-vous entre 0.999999… et le nombre 1 ? La réponse est qu’il n’y en a pas. Ces deux nombres sont identiques !

Quelques démonstrations

Pour démontrer l’étrange égalité 0.999999…=1, on a plusieurs voies, plus ou moins rigoureuses. Démonstration intuitive, si on admet que 1/9 = 0.111111… et 1/3 = 0.333333…, alors on est bien obligé de reconnaitre que

0.999999… = 9*0.111111… = 9*(1/9) = 1

ou encore que

0.999999… = 3*0.333333… = 3*(1/3) = 1

Autre possibilité plus rigoureuse (ma préférée), appelons x notre nombre 0.999999…Si on multiplie x par 10, on a l’égalité

10*x = 9.999999… = 9 + 0.999999… = 9 +x

Or si 10x = 9+x, on peut résoudre l’équation et trouver que x=1.

Dernière démonstration, encore un peu plus formelle, en utilisant la définition précise de l’écriture décimale :

donc sous forme d’une série infinie on a

et ça c’est une belle somme de termes d’une suite géométrique, et de mon temps on apprenait que ça donne

.

Aux sources du paradoxe

Alors que je considérais ce nombre 0.999999… comme une simple curiosité de passage, j’ai découvert qu’il existe en fait une certaine littérature à son sujet ! Voir la page Wikipédia par exemple. Notamment des gens se sont intéressés à la pédagogie de l’explication, et à pourquoi il était parfois difficile de faire admettre à certains étudiants que 0.999999…=1.

On y découvre finalement des explications intéressantes. La première c’est que puisque tout nombre réel possède une écriture décimale, on s’attend intuitivement à avoir l’unicité de cette écriture. Or c’est faux, il existe plein de nombres qui possèdent 2 écritures décimales : en fait tout nombre dont l’écriture décimale est finie peut être écrit comme un nombre avec une “queue de 9″. Par exemple :

42.18745 = 42.18744999999…

Autre source de paradoxe chez les élèves qui découvrent 0.999999…, la difficulté à concevoir que la suite de 9 est véritablement infinie, et pas simplement “très longue”. Enfin dernière subtilité, le fait que les étudiants voient 0.999999…non pas comme un vrai nombre, mais plutôt comme un procédé (“écrire des 9 les uns à la suite des autres”), procédé que l’on doit arrêter un jour ou l’autre. Dans le même genre, on peut s’amuser à se demander combien vaut 1-0.999999… et à le relier à l’inexistence dans R de nombre non-nuls infiniment petits.

D’ailleurs :

- Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule ?

- 0.999999…

Et vous, êtes vous véritablement convaincu que 0.999999…=1 ? Ou est-ce que vous avez encore un petit doute ?

Pour élucider la physique du looping, nous allons simplement nous demander quelles sont les conditions nécessaires pour ne pas tomber une fois en haut de la boucle.

Ce petit calcul sera l’occasion de réviser deux ou trois principes de base de mécanique, ce qui est tout de même mieux que de regarder Destination Finale 3.

Première condition : ne pas tomber une fois en haut

Vous êtes vous déjà demandé pourquoi on ne tombe pas dans la boucle d’un looping ? Vous savez, à ce moment exact où vous êtes pile la tête en bas ? La réponse, c’est la force centrifuge ! Quand vous êtes en haut du looping, vous suivez une trajectoire circulaire, et la force centrifuge vous pousse à l’extérieur de cette trajectoire. Et dans ce cas précis, elle vous pousse vers le haut !

Faisons un bilan : au moment où vous êtes au sommet, vous subissez deux forces : la gravité qui vous emmène vers le bas, et la force centrifuge qui vous pousse vers le haut. Pour ne pas tomber, il faut tout simplement que la force centrifuge compense la gravité !

Je ne sais plus si on apprend ça au lycée, mais peut être savez vous comment on calcule la force centrifuge que l’on subit dans une trajectoire courbe, il s’agit de

où est votre masse, votre vitesse en haut du looping, et R le rayon de courbure de la trajectoire : ici c’est le rayon de la boucle. Donc pour que la force centrifuge au sommet de la boucle soit au moins égale à votre poids, il faut

où bien sûr est l’accélération de la pesanteur. Votre vitesse doit donc être d’autant plus élevée que la boucle est grande.

Deuxième condition : arriver jusqu’en haut !

Nous venons de voir que pour survivre à un looping, il faut que vous ayez une vitesse suffisante en haut. Mais puisque votre vitesse va diminuer quand vous aller grimper le long de la boucle, il faut que votre vitesse en bas soit encore plus élevée ! Mais de combien ?

Le calcul est simple : Pour passer du bas au haut de la boucle, vous vous élevez d’une hauteur égale à 2 fois le rayon R de la boucle. Votre énergie potentielle de pesanteur augmente donc de la quantité . En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, on trouve la relation entre votre vitesse en haut et votre vitesse en bas de la boucle

Si vous combinez cette égalité avec la condition qu’on a trouvé pour ne pas tomber une fois en haut, vous trouvez que

Prenons un exemple concret : si par exemple le rayon de la boucle est de 2 mètres, il faut une vitesse d’environ 10 mètres par secondes, soit 36 km/h. Raisonnable, non ? Pas si sûr…

Jusqu’ici, tout va bien

Maintenant, calculons un peu la force à laquelle vous êtes soumis au moment où vous entrez dans la boucle. D’une part vous subissez votre poids; d’autre part, puisque vous vous engagez dans une trajectoire circulaire, vous subissez également une force centrifuge qui vous entraîne vers l’extérieur de la courbe, c’est-à-dire aussi vers le bas.

A nouveau nous pouvons calculer la force centrifuge, qui vaut , donc la force totale que l’on subit en bas de la boucle est

Or juste avant, nous venons précisément de calculer que , on a donc la force totale à l’entrée de la boucle

.

Regardez bien cette expression, elle signifie que quand vous entrez dans la courbe du looping, vous subissez une force égale à 6 fois la force de pesanteur. Ce qu’on appelle communément une force de “6g”. Et en principe, une force de 6g doit vous envoyer au tapis ! Alors, c’est comme ça qu’on meurt dans Destination Finale 3 ?

Comme vous le savez sans doute, ce sont les astronautes et les pilotes de chasse qui subissent le plus de “g”, et sans entraînement ou équipement spécifique, ils s’évanouissent. Voyez par exemple la vidéo ci-dessous, qui montre un entraînement à 9g.

Mais alors, comment survivre dans un looping ?

Pour en revenir à notre looping, si les pilotes de chasse s’évanouissent à 9g, comment peut-on supporter 6g ? La réponse est qu’on a pas vraiment à les supporter, car les designers de montagnes russes sont malins ! En effet le calcul que nous venons de faire est valable pour une boucle en forme de cercle, mais si on utilise une forme différente, on peut contourner le problème !

L’idée est d’utiliser une trajectoire dont le rayon de courbure soit grand en bas (pour éviter un trop grand choc), mais petit en haut, pour avoir une force centrifuge élevée qui nous scotche aux rails.

Ci-contre vous en voyez un exemple : on utilise typiquement une courbe que les mathématiciens appelle clothoïde, et dont le rayon de courbure augmente au fur et à mesure que l’on avance dans la courbe.

Les clothoïdes sont également très appréciées pour les sorties d’autoroutes : puisque leur rayon de courbure augmente linéairement, on peut les emprunter en tournant le volant à vitesse constante.

Pour aller les plus loin

En réalité notre résistance à l’accélération ne dépend pas seulement du nombre de “g”. Elle dépend aussi de la durée pendant laquelle on les subit, et de la direction de l’accélération. En pratique on supporte bien mieux une accélération dirigée vers l’avant qu’une accélération dirigée vers le bas, qui nous envoie le sang dans la tête. C’est d’ailleurs le principe des combinaison anti-g des pilotes, qui permettent de maintenir le sang un peu en place, et donc de limiter les effets de l’accélération. Sur Wikipedia, on trouve les recommandations de la NASA, et d’après eux on peut tenir 3 minutes avec une accélération de 6g vers le bas. Comme quoi même sans clothoïde, votre prochain tour de montagnes russes ne devrait vraiment pas être votre destination finale…

PS : Sinon ce week-end, j’ai passé les 100 000 pages vues sur ce blog depuis sa création, merci à tous mes visiteurs !

Manifestement, la sélection naturelle à elle seule ne suffit pas à expliquer pourquoi la plupart de ces lignées d’espèces bizarres se sont éteintes. Et il semble que tout cela soit simplement le fruit du hasard qui fut à l’oeuvre lors des périodes d’extinctions massives.

L’histoire de la vie

Sur l’échelle des temps géologiques, on distingue classiquement trois ères : l’ère primaire (ou paléozoïque), l’ère secondaire (ou mésozoïque) et l’ère tertiaire (ou cénozoïque). Ces trois périodes recouvrent ce qui s’est passé en gros depuis 550 millions d’années, tout ce qui précède étant regroupé sous le terme de précambrien. Ces ères sont représentées sur la frise ci-dessous, ainsi que les évènements souvent violents qui les séparent : par exemple la grande extinction qui mit fin au règne des dinosaures il y a 65 millions d’années, et qui marque le passage de l’ère secondaire à l’ère tertiaire.

Bien que la vie semble exister depuis au moins 3.5 milliards d’années sous forme unicellulaire, ça n’est qu’au début de l’ère primaire qu’a eu lieu ce que les biologistes appellent l’explosion cambrienne. Cette expression désigne non pas une catastrophe, mais au contraire une période de quelques millions d’années qui a vu l’apparition soudaine et extrêmement rapide de nombreux organismes pluricellulaires. Les causes de ce soudain foisonnement de la vie ne sont pas complètement identifiées, mais on soupçonne en autres un accroissement important du taux d’oxygène dans l’atmosphère et dans les océans.

C’est de cette période de l’explosion cambrienne que date le schiste de Burgess, et il en constitue une extraordinaire photographie.

La découverte du schiste de Burgess

Le schiste de Burgess est un site se trouvant au Canada dans le massif des Rocheuses, et dont les premiers fossiles ont été découverts en 1909 par le paléontologue Charles Walcott. Daté d’environ 505 millions d’années, ce lieu a vite été considéré comme exceptionnel de par la qualité des fossiles qu’il renfermait.

En effet, en général un fossile ne révèle que les parties dures d’un animal, comme la coquille. Quand un animal meurt, ses parties molles sont rapidement dégradées par la présence d’oxygène, et n’ont pas le temps de fossiliser lors d’un dépôt de sédiments. Mais à Burgess, il semble que les animaux aient été brusquement ensevelis dans une coulée de boue, et que cette dernière se soit infiltrée dans leurs corps, permettant ainsi de préserver en 3 dimensions la forme de leurs parties molles. Une situation rarissime !

En 15 ans de fouilles à Burgess, Walcott a ainsi pu collecter près de 65 000 fossiles de 120 espèces différentes. Mais malheureusement pour la science, il n’a pas su remarquer à l’époque l’originalité de sa découverte.

L’erreur de Walcott

Traditionnellement, on divise le règne animal en 7 grands embranchements. Parmi eux, c’est l’embranchement des chordés qui contient les vertébrés auxquels nous appartenons. Un autre embranchement essentiel est celui des arthropodes, car il contient 80% des espèces présentes aujourd’hui sur le globe (insectes, crustacés, araignées…). A l’époque de Walcott, on subdivisait les arthropodes en 4 groupes. La figure ci-dessous vous représente les 7 embranchements classiques et les 4 groupes d’arthropodes, tels qu’on les voyait au début du XXème siècle.

La grande erreur de Walcott fut de chercher à classer coûte que coûte les animaux de Burgess dans ces catégories existantes. D’un naturel conservateur, il fit rentrer « au chausse-pied » la plupart des fossiles parmi les 4 groupes connus d’arthropodes.

Et c’est ainsi que pendant presque 50 ans, ces fossiles ont dormi dans leurs boîtes sans que personne ne réalise l’extraordinaire révolution qu’ils portaient en eux.

Des animaux incroyables

Tout ça aurait pu rester ainsi, mais à partir de 1962 le britannique Harry Whittington et deux de ses étudiants se sont lancés dans une réinterprétation complète des fossiles du Schiste de Burgess. Au prix d’un travail de longue haleine, ils ont repris l’ensemble des spécimens et en ont réalisé de nouveaux dessins en 3 dimensions. Ils ont alors mis en évidence que ces animaux ne rentraient pas du tout dans les cases habituelles, là où Walcott les avait mis.

Les 3 paléontologues ont ainsi montré que la plupart d’entre eux possédaient une organisation anatomique très différente de celle des animaux actuels. Le premier dessin ci-contre en montre un exemple spectaculaire : Opabinia. Il s’agit d’un animal caractérisé par sa trompe frontale munie d’une pince. En outre d’après les fossiles trouvés à Burgess, la bestiole possédait 5 yeux (ce sont les petits bulbes noirs qu’on voit sur sa tête). Vous en connaissez beaucoup, vous, des animaux actuels à 5 yeux ?

Dans le même genre, le bien nommé Hallucigenia, représenté ci-contre, et qui semble marcher sur 7 paires d’épines situées sous son ventre, tandis que 7 tentacules ornent son dos. Quant à la grosse boule, on considère arbitrairement qu’il s’agit de sa tête bien qu’elle ne possède ni yeux, ni bouche.

Et que dire de l’horrible Anomalocaris (le troisième ci-contre), avec ses deux mandibules que Walcott avait initialement prises pour des crevettes. Imaginez que la bête pouvait quand même atteindre presque 1 mètre !

Et la liste est encore longue de ces animaux incroyables ! Le résultats de la réinterprétation des différents fossiles de Burgess, c’est que pour les classer, il a fallu créer une vingtaine de nouvelles classes d’arthropodes, et pas moins d’une dizaine nouveaux embranchements ! En clair, le schiste de Burgess contient à lui seul plus de diversité animale que l’ensemble des espèces présentes aujourd’hui sur Terre.

Après la réinterprétation du schiste de Burgess, notre vision des différents embranchements ressemble donc plutôt à ça : je vous laisse apprécier la révolution !

Enfin il faut noter que depuis le travail de Whittington et ses étudiants, d’autres exemplaires de ces animaux étranges ont été découverts dans des sites très éloignés, en Chine, en Australie ou au Maroc par exemple. Il y a 500 millions d’années, il y avait donc bien des Hallucigenia et des Anomalocaris partout sur la planète !

Du cône au buisson

Suite à la réinterprétation des fossiles de Burgess, il a fallu reconnaître que notre vision traditionnelle de l’évolution nécessitait à son tour un bon coup de révision. En effet selon l’interprétation habituelle, la diversité du vivant n’a cessé de croître au cours du temps, chaque embranchement ou chaque groupe donnant sans cesse de nouvelles espèces. Il en résulte une vision de l’arbre de la vie sous la forme d’un cône de diversité croissante au cours du temps (voir un peu plus bas).

Mais l’image donnée par Burgess est tout autre : la diversité était bien plus abondante il y a 500 millions d’années qu’aujourd’hui, du moins au sens des plans d’organisation anatomique. Cela signifie que l’image de l’arbre de la vie en cône n’est pas la bonne, et qu’il faudrait plutôt la remplacer par un arbre en forme de buisson, tel que celui dessiné à droite ci-dessous, avec un grand nombre de ramifications à la base (les embranchements), mais dont la plupart se sont éteints, et dont seulement quelques uns ont réussi.

Hasard et nécessité

La théorie de la sélection naturelle nous dit essentiellement que les espèces qui survivent sont celles qui sont les mieux adaptées. Mais le schiste de Burgess nous montre que parmi toutes les espèces présentes à cette époque, tout un tas semblent avoir disparu sans raison valable, comme si leur extinction ne tenait pas de leurs défaut d’adaptation, mais tout simplement du hasard, « la faute à pas de chance ».

Cette vision nous conduit à compléter un peu la théorie de l’évolution : en période calme, la sélection naturelle joue son rôle, et ce sont les plus adaptés qui survivent ; en revanche en période agitée, comme quand survient une extinction de masse, c’est en quelque sorte le hasard qui détermine qui va survivre et qui va s’éteindre.

Une autre manière de le dire, c’est que si l’on remontait le temps jusqu’à l’époque de Burgess, et qu’on rejouait l’histoire de la vie, il se pourrait que le hasard fasse les choses d’une manière autre, et que l’arbre de la vie se développe totalement différemment de ce qu’il est aujourd’hui.

Pour finir, l’image ci-contre vous montre Pikaia, un des fossiles de Burgess classé dans l’embranchement des chordés, vous savez, cet embranchement qui donnera plus tard les vertébrés, et donc l’être humain. Qui sait, si on rejouait le film de la vie d’une manière très légèrement différente, peut être Pikaia n’aurait pas survécu, les vertébrés ne seraient jamais apparus, et au lieu de l’homme, ce serait une version super-intelligente d’Hallucigenia qui dominerait la planète !

Pour aller plus loin

Le schiste de Burgess est un sujet fascinant. Pas de surprises, donc, à ce que mes collègues blogueurs en aient déjà abondamment parlé. Vous pouvez donc aller en savoir plus chez Taupo sur SSAFT, chez Xochipilli sur le Webinet des Curiosités, chez Tom Roud. Comme eux, ma fascination sur le sujet m’est venue de ma lecture du livre La vie est belle de Stephen Jay Gould, entièrement consacré à la révolution du schiste de Burgess. Le titre du livre fait référence à ce vieux classique du cinéma américain, où un ange vient voir un homme pour lui montrer ce qu’aurait été la vie de ses proches si lui n’avait jamais été là. Et l’homme découvre que tout aurait été différent. Comme si l’on rejouait le film de la vie depuis Burgess, en changeant juste un tout petit truc.

J’ai beaucoup hésité avant de me décider à écrire sur un sujet aussi éloigné de mes bases. Il est donc inévitable que mon texte comporte un certain nombre d’approximations, certaines volontaires, d’autres non. Ainsi je donne une vision un peu trop schématique de la manière dont les découvertes faites à Burgess ont modifié le nombre d’embranchements ou de groupes d’arthropodes. Il est difficile de dire exactement combien d’embranchements supplémentaires ont été découverts à Burgess. D’une part tous les fossiles n’ont pas encore nécessairement été correctement interprétés, d’autre part la définition d’embranchement peut être sujette à discussion, enfin j’ai repris les chiffres cités par S.J. Gould dans son livre, lequel date d’il y a une vingtaine d’années. Une affirmation du genre “on passe de 7 à 17 embranchements” est donc caricaturée, mais donne je crois une bonne mesure de la révolution induite par le schiste de Burgess.

Enfin pour finir sur une note dans l’esprit Strip Science, j’ai toujours été fasciné par les animaux créé par Léo dans son cycle de BD intitulé Aldébaran. Comment arrive-t-il à imaginer des animaux si bizarres, et qui pourtant ont l’air si “possibles”. Je crois que j’ai compris, Léo a lu S. J. Gould !

]]> http://sciencetonnante.wordpress.com/2012/02/06/le-schiste-de-burgess/feed/ 8 etonon trilobite ères géologiques 220px-WalcottQuarry080509 embranchements_avant_Burgess burgess_faune embranchements_après_Burgess cone et buisson Pikaia_BW http://sciencetonnante.wordpress.com/2012/01/30/les-olympiades-de-physique-version-2012/ http://sciencetonnante.wordpress.com/2012/01/30/les-olympiades-de-physique-version-2012/#comments Sun, 29 Jan 2012 23:01:37 +0000 ScienceEtonnante http://sciencetonnante.wordpress.com/?p=2624 ]]> Pour la troisième fois, j’ai eu la joie de faire partie du jury des Olympiades de Physique, dont la finale s’est déroulée vendredi et samedi au Palais de la Découverte à Paris. Sur l’ambiance générale de la manifestation, je ne vais pas en dire beaucoup tant mon billet de l’an dernier sur le même sujet pourrait être copié/collé.Pendant 2 jours, 24 groupes de lycéens nous ont présenté leurs expériences, sous la forme d’un exposé de 20 minutes avec manipes en direct, puis une séance de questions nous permettant d’aller un peu plus loin dans la discussion. A la fin, pas de gagnants ni de perdants, car la lourde tâche du jury consiste “simplement” à classer nos groupes en 3 catégories : les 3èmes prix, les 2èmes prix, et les 1ers prix.

En bref : un lieu magique, des lycéens à bloc, des manipes de grande qualité, des enseignants ultra-motivés, un comité d’organisation au top…et nous les membres du jury, on se pointe au dernier moment et on a les meilleures places du spectacle pendant 2 jours !

En contrepartie, nous n’avons pas la tâche si facile : imaginez la douleur d’avoir à poser des questions un peu vaches, et de devoir classer des groupes en “3ème prix”, tout en sachant pertinemment qu’à leur âge, je n’aurai pas été capable de faire le quart du tiers de la moitié de ce qu’ils ont fait !

Le cru 2012

Parmi les 24 groupes en compétition cette année, voici mes quelques coups de coeur

Le ballon Tourne-Sol, c’est l’histoire de ces lycéens de Tours qui ont fabriqué un ballon solaire, l’ont équipé de capteurs et on inventé tout un dispositif pour faire en sorte que le ballon se retourne et tombe une fois une certaine altitude atteinte. Une très chouette aventure, et on n’a pu qu’être émus quand on a vu la vidéo du décollage, puis du retournement du ballon à l’altitude prévue (3000 mètres tout de même !). Un vrai beau projet collectif !

La RMN de Bourgogne, c’est le sujet présenté par ce groupe de Dijon qui a réalisé des manipes montrant au niveau macroscopique le fonctionnement de la RMN et de l’IRM. Pour cela ils ont utilisé un petit aimant et des champs magnétiques créés par diverses bobines, et mimant le fonctionnement d’une véritable machine d’IRM.

Une expérience originale, et un exposé extrêmement pédagogique. Je dois dire que maintenant que je les ai vus, je me dis que je n’avais pas vraiment compris l’IRM avant !

Dans les autres sujets très amusants : un canon magnétique, un brouilleur pour “radar” de feu rouge, une analyse spectroscopique de la surface de la Lune.

Je dois mentionner un chouette exposé sur la notion de tension de surface, avec entre autres une manipe d’une grande simplicité qui a bluffé le jury : vous prenez un verre d’eau et vous le retournez sur une passoire en bouchant avec votre main, puis vous la retirez, et … l’eau ne coule pas ! Et ça marche, je l’ai refaite dans ma cuisine (les habitués reconnaitront mon matériel sponsorisé…).

Pour finir, mon exposé préféré fut celui intitulé “Plongée vers l’Invisible“. C’est même à mon goût le meilleur sujet que j’aie vu en 3 ans de jury ! Trois lycéens ont exploré le concept de diffraction de Bragg dans un réseau cristallin, mais là aussi en en réalisant une version macroscopique de l’expérience, avec un gros cube de billes métalliques (au lieu des atomes de la matière) et en utilisant des ondes centimétriques (au lieu des rayons X). Du grand art, et le tout sans un matériel ultra-sophistiqué, mais uniquement par des bricolages ingénieux. Cerise sur le gâteau, ils ont eu l’excellente idée de tenir un journal de bord de leur aventure sous la forme d’un blog ! Allez leur rendre visite !

Lors de la remise des prix, le directeur du département de physique du Palais de la Découverte a même dit qu’il avait vu des manipes qu’il pensait à intégrer dans l’exposition du Palais, je pense que cette dernière ainsi que la RMN de Bourgogne y auraient largement leur place !

Bref, ces deux jours furent comme d’habitude un grand moment de plaisir scientifique. Et il faut évidemment rendre hommage au comité d’organisation, qui fait dans l’ombre un boulot énorme, aux lycéens pour leur engagement, mais surtout à ceux qui sont pour moi les héros de l’histoire : les enseignants. Il faut en effet savoir que derrière chaque groupe qui arrive là, il y a souvent plusieurs profs qui ont donné de nombreux jours (voire de nombreuses nuits pour les sujets d’astro !), le tout sur leur temps libre. Bravo à eux !

En guise de conclusion, je reprends celle du billet de l’an dernier : il y a des jours comme ça où je comprends pourquoi j’aime la Science…

Parmi eux, l’écrivain de science-fiction Arthur C. Clarke qui en 1979 évoque cette idée dans un de ses romans, en ajoutant qu’il est convaincu que ce genre d’ascenseur sera construit un jour, mais « seulement 50 ans après que tout le monde ait arrêté de rire ». Alors voyons s’il est temps d’arrêter de rire !

La tour de Tsiolkovsky

L’idée d’aller dans l’espace avec un ascenseur ne date pas d’hier. En 1895, l’ingénieur russe Konstantin Tsiolkovsky s’inspire de la récente construction de la Tour Eiffel pour proposer tout simplement de construire une tour géante de quelques milliers de kilomètres de haut.

Le principal souci d’une telle tour serait qu’elle ne pourrait même pas supporter son propre poids ! En effet on sait qu’aucun matériau n’est infiniment résistant, et qu’ils peuvent tous casser si on leur applique une pression suffisante : la limite de pression qu’un matériau peut supporter s’appelle sa résistance en compression. Cette résistance, souvent notée , se mesure en méga-Pascals (MPa), et vaut par exemple 100 MPa pour les bétons les plus performants.

La partie de la tour qui subit la plus forte pression, c’est le rez-de-chaussée. Pour savoir si une tour peut soutenir son propre poids, il faut donc voir si la pression subie par le rez-de-chaussée dépasse la résistance en compression du matériau utilisé. Comme illustré ci-contre, la pression subie pour une tour de hauteur est , où est la masse volumique et l’accélération de la pesanteur. La tour résiste donc tant que , c’est-à-dire tant que sa hauteur est inférieure à

une quantité appelée la hauteur critique. Celle-ci dépend des caractéristiques du matériau : elle est d’autant plus élevée que le matériau est résistant et léger.

Pour le béton, on trouve une hauteur critique de 4km. Avec de l’acier performant, on peut atteindre 50km. Et pour l’un des matériaux les plus résistants que l’on connaisse, le kevlar, la hauteur critique est d’environ 200km. Pas si mal, mais vous voyez qu’on est encore loin des milliers de kilomètres qu’il nous faudrait pour une tour spatiale !

Une tour pas si lourde que ça

Pour essayer de défendre l’idée de la tour de Tsiolkovsky, on peut noter que le calcul ci-dessus n’est pas tout-à-fait correct. En effet on sait que plus on s’éloigne de la Terre, plus le champ gravitationnel est faible.

De plus, puisque notre tour va évidemment tourner avec la Terre, elle va subir une force centrifuge dirigée vers le haut, et qui s’oppose donc à son poids. Le schéma ci-contre vous montre la force nette que l’on subit si on se trouve à une distance du centre de la Terre tout en tournant avec elle.

Au niveau de l’orbite géostationnaire (située 36000 km au dessus de nos têtes), cette force nette est nulle : la force centrifuge compense  exactement l’attraction terrestre (au passage, c’est aussi A. Clarke qui a imaginé le concept d’orbite géostationnaire…)

Du fait de ces deux observations,  la pression sur la base de la tour sera moindre que ce que nous avons estimé juste avant. Le calcul exact est assez simple [1], et on trouve qu’une tour s’étendant jusqu’à l’orbite géostationnaire exercera une pression égale à seulement 14% de celle qu’on obtenait par le calcul précédent. Cela veut dire qu’avec un matériau possédant une hauteur critique de « seulement » 5000km, on pourrait construire notre tour.

Il reste deux problèmes : le premier c’est de trouver un matériau de ce genre, le second c’est que même si elle résiste à son propre poids, une tour de 36 000km de haut a de forte chance de ployer ! Prenez l’exemple d’un arbre extrême, de mettons 10cm de diamètre et 100m de haut. Le rapport hauteur/diamètre est de 1000, et on imagine fortement qu’un tel arbre va ployer facilement sous son poids. Prenez ce facteur 1000 pour notre tour, et vous trouvez que sa base devrait faire 36 km de diamètre ! Pas très réaliste.

Pour résoudre le problème du ploiement, il existe une solution : faire une tour en tension.

La tour en tension

En 1975, l’ingénieur américain J. Pearson a exposé le concept de la tour en tension [1], qui en pratique serait plutôt un câble tendu qu’une tour. Si vous reprenez l’expression de la force nette (somme de l’attraction gravitationnelle et de la force centrifuge), vous constaterez qu’au-delà de l’orbite géostationnaire, c’est la force centrifuge qui gagne !

Et donc si la tour s’étend suffisamment au-delà de l’orbite géostationnaire, la force centrifuge peut équilibrer l’attraction terrestre, de sorte que le câble soit tendu mais subisse une force nette nulle. En pratique, l’extrémité inférieure du câble touchera juste la terre sans s’y appuyer !

Pour minimiser les contraintes mécaniques, J. Pearson a calculé que l’épaisseur du câble devait varier : maximale au niveau de l’orbite géostationnaire et minimale au niveau du sol. Plus précisément, il a relié le ratio entre le diamètre minimal et le diamètre maximal à la hauteur critique du matériau utilisé [1].

Mais le problème du choix du matériau demeure : avec de l’acier de hauteur critique 50km, il faudrait un câble dont le diamètre au niveau de l’orbite géostationnaire soit fois plus élevé que le diamètre au niveau du sol. Alors qu’avec un matériau de hauteur critique 10 000 km, ce ratio serait inférieur à 2. Il faut donc définitivement trouver un nouveau matériau plus léger et plus résistant !

Les nanotubes de carbone

Depuis quelques années, l’idée de l’ascenseur spatial est ressortie des cartons, et ce grâce à la découverte d’un nouveau matériau : les nanotubes de carbone. Mis en évidence dans les années 1990, ce sont sont des structures cylindriques creuses, de 1 à 10 nanomètres de diamètre, qui sont formées d’atomes de carbone arrangés en hexagones (voir ci-contre).

Dans beaucoup de domaines, les nanotubes de carbone possèdent des propriétés exceptionnelles : légers, conducteurs, … et extrêmement résistants mécaniquement ! Il paraît même que ma raquette de badminton en contient.

Actuellement, les meilleurs nanotubes mesurés possèdent des résistances approchant 100 000 MPa, et la limite théorique semble se situer vers 300 000 MPa, soit 100 fois plus que le kevlar ou les meilleurs aciers, le tout en étant bien plus légers !

Avec de telles valeurs, une longueur critique supérieure à 10000 km paraît atteignable : pour faire notre ascenseur spatial, on n’a plus qu’à construire un câble en nanotubes de carbones !

Et c’est pour quand ?

Bien que l’idée paraisse encore très exotique, plusieurs entités s’intéressent à l’avenir possible de l’ascenseur spatial. La NASA a lancé il y a 5 ans le Strong Tether Challenge, doté d’un prix de 2 million de $ à qui fabriquera une corde d’un mètre, pesant moins d’un gramme et capable de supporter une traction de 7500 Newtons !

Dans le même ordre d’idée, un brevet sur le concept d’ascenseur spatial  a été déposé par la société d’aviation Lockheed Martin (voir US6491258)  !

Pour ceux qui rêveraient déjà d’atteindre le 36ème ciel spatial en ascenseur, on peut dores et déjà modérer l’enthousiasme en soulignant que de nombreux points restent à résoudre avant de construire notre câble d’ascenseur : celui-ci devra en effet résister notamment aux vents, à l’attraction de la Lune, aux rayons cosmiques ainsi qu’à tous les objets qu’on peut croiser dans l’espace, le tout bien sûr sans perdre ses propriétés mécaniques ! Disons que l’on peut encore rire pendant une bonne dizaine d’années…

[1] J. Pearson, The orbital tower, Acta Astronautica Vol 2 (1975) p785

Dans les années 90, cet anthropologue a en effet suggéré que, chez l’homme comme chez les primates, la taille du cerveau impose une limite sur la taille maximale des groupes d’individus. Et tout ça en partant d’une question simple : à quoi nous sert un cerveau si gros ?

Le cerveau : un organe social ?

Une des traits qui caractérisent les primates, c’est le fait qu’ils possèdent un gros cerveau. En tout cas comparativement à leur taille : songez par exemple que chez l’autruche, la taille du cerveau ne dépasse pas celle des yeux !

Or le gros cerveau des primates est en partie un paradoxe, car s’il ne représente que 2% de la masse corporelle, il consomme 20% de l’énergie de nos organismes ! On peut donc légitimement se demander ce qui a fait, au cours de l’évolution des primates, que sa taille ait pu croître autant.

L’hypothèse naturelle, c’est qu’un gros cerveau augmente les capacités cognitives, et donc donne aux primates un avantage direct pour survivre dans l’environnement auquel ils sont confrontés. C’est l’hypothèse dite “écologique”.

Mais au début des années 90, R. Dunbar a choisi d’étudier une piste différente : notre cerveau aurait grossi avant tout pour des raisons sociales. Un plus gros cerveau permet aux primates de former des groupes sociaux plus gros, et c’est ça qui leur donne indirectement un avantage dans leur environnement. C’est l’hypothèse dite du cerveau social.

Parfois, c’est la taille qui compte

Pour tester l’hypothèse du cerveau social, Dunbar a décidé d’estimer chez les primates les corrélations qui existent entre la taille des groupes et la taille du cerveau [1].

Plus précisément, il s’est intéressé à la taille du néocortex (voir ci-contre), car cette partie du cerveau est le siège des fonctions cognitives supérieures. Le néocortex s’est développé tardivement au cours de l’évolution, et il est particulièrement important chez les primates, au contraire de beaucoup des autres mammifères (sans parler des amphibiens, qui n’en ont même pas).

Et voici le résultat principal de Dunbar : la figure ci-dessous (tirée de [2]) vous montre pour différentes espèces de primates la taille typique du groupe social (en nombre d’individus) en fonction du ratio néocortical, c’est-à-dire le volume du néocortex divisé par le volume du reste du cerveau. En vert, j’ai ajouté à titre d’exemple le détail pour le cas précis de ce sympathique singe, appelé “nasique” :

Comme vous pouvez le voir sur le graphique, le ratio néocortical se corrèle bien avec la taille des groupes ! Cette analyse va dans le sens de la confirmation de l’hypothèse du cerveau social : un gros cerveau nous permet de vivre en groupes organisés plus grands.

L’homme, un primate parmi d’autres

Évidemment dans ce raisonnement, il est tentant d’extrapoler au cas de l’homme. Et c’est ce qu’a fait Dunbar [3] ! Notre néocortex fait en moyenne 1000cm3, pour un cerveau total d’environ 1250cm3, soit un ratio néocortical proche de 4. En mettant ce chiffre dans la régression de Dunbar, on obtient comme taille de groupe : 150 individus.

Pour vérifier a posteriori si ce nombre magique de 150 personnes avait un sens pour les humains, Dunbar a cherché à analyser la taille des groupes dans les sociétés de chasseurs-cueilleurs (comme les San du Botswana, voir ci-contre).

Il s’agit en effet des peuples qui ont conservé la structure sociale la plus proche de ce qu’elle pouvait être chez nos ancêtres préhistoriques. Comme on s’en doute, il a calculé que la taille des villages chez divers peuples de chasseurs-cueilleurs d’Australie, Nouvelle Guinée, Amérique, etc., donnait une moyenne de 148 individus [3].

Le langage à la rescousse

Vu de nos sociétés modernes, une limite à 150 personnes, ça peut paraître assez peu. Surtout quand on sait qu’un cerveau humain peut reconnaître typiquement 1500 visages. Mais d’après Dunbar, ce qui compte pour la cohésion d’un groupe n’est pas seulement de bien connaître chaque personne, mais aussi de correctement percevoir les interrelations entre personnes, du genre « Est-ce que Machine s’entend bien avec Truc ? ». Et ça, c’est beaucoup plus difficile car la quantité d’informations à mémoriser augmente comme le carré de la taille du groupe !

La solution partielle à cette limitation, c’est le langage ! En effet si aujourd’hui nous sommes capables de former des groupes sociaux immenses (à l’échelle d’une nation), c’est bien grâce au langage. C’est lui qui nous permet d’après Dunbar de briser la limite des 150, et de conserver une certaine cohésion sociale sur des groupes beaucoup plus grands, notamment parce qu’il permet de véhiculer des informations sur les personnes sans avoir à être contact direct.

Les applications du nombre de Dunbar

Au cours de son investigation, Dunbar a pu noter que le chiffre magique de 150 se retrouve naturellement dans nos organisations : ainsi dans de nombreux corps d’armée, il existe des divisions d’unités militaires dont la taille est typiquement de 100 à 200 personnes, censée être d’après Dunbar la taille maximum pour conserver une cohésion de groupe suffisante. Il s’agit typiquement de la compagnie dans les armées modernes, ou de la centurie dans la légion romaine.

De la même manière, le génial journaliste Malcolm Gladwell rapporte dans son livre The Tipping Point que la société Gore-Tex (qui produit le fameux tissu) a pour règle absolue de limiter la taille de ses sites à 150 personnes. Dès qu’ils dépassent ce chiffre, ils coupent l’effectif en deux et reconstruisent une nouvelle usine un peu plus loin.

Une idée à méditer, je m’en vais de ce pas proposer à mon chef de découper mon labo de recherche en trois…

[1] R.I.M Dunbar, Neocortex size as a constraint on group size in primates, Journal of Human Evolution 20 (1992) p469

[2] R.I.M Dunbar and S. Shultz, Evolution in the Social Brain, Science 317 (2007) p1344

[3] R. I. M. Dunbar, Coevolution of neocortical size, groupe size and language in humans, Behavioral and Brain Sciences 16 (1993), p681

Pour aller plus loin

Evidemment, ce genre d’étude est toujours sujette à caution, car on peut très facilement tomber dans un biais de confirmation, et ne rechercher que les exemples qui confirment l’hypothèse de 150, et écarter consciemment ou non les autres.

De surcroit, on peut trouver la régression linéaire un peu tirée par les cheveux, surtout que Dunbar la réalise sur une échelle log. Ceux qui ont l’expérience de ce genre de chose savent que c’est souvent facile de faire passer des droites par des données transformées en log.

Pour modérer un peu le propos, Dunbar rapporte dans son article qu’étant donnée la régression qu’il fait sur les primates, le chiffre de 150 est bien sûr à prendre avec une barre d’erreur. Avec un intervalle de confiance à 95%, il donne la fourchette 100 – 231 individus.

Mais souvenez-vous qu’il y a quelques années, à l’époque de la construction du grand collisionneur LHC, une polémique existait sur les dangers d’un accélérateur de particules si puissant, et notamment sur le risque potentiel d’y créer des trous noirs.

Dans ce billet, je vous propose de voir en quoi certaines théories comportant des dimensions supplémentaires d’espace-temps conduisent à la prédiction que des trous noirs pourraient être créés au CERN.

Rassurez-vous, au menu d’aujourd’hui, il n’y aura ni théorie des cordes sauvage, ni formules mathématiques obscures, mais juste des estimations d’ordres de grandeur réalisées à l’aide de ce qui devrait être le couteau suisse de tout bon physicien : l’analyse dimensionnelle !

Quelle énergie faut-il pour créer un trou noir ?

Vous savez certainement que plus les accélérateurs de particules sont grands, plus ils sont puissants et permettent d’atteindre des énergies de collision élevées. Pour savoir si on risque de créer un trou noir au CERN, il faut se demander si l’énergie atteinte par le collisionneur LHC est suffisamment grande pour faire naître un trou noir. Mais plus les trous noirs sont lourds, plus il faut d’énergie pour les faire apparaître, donc ce qu’on a besoin de savoir, c’est l’énergie qu’il faut pour créer le plus petit trou noir possible.

Le “hic”, c’est que de manière détaillée, on ne sait pas vraiment ce qu’est le plus petit trou noir possible. Pour cela il faudrait qu’on dispose d’une théorie capable de correctement décrire les trous noirs microscopiques, or nous n’en avons pas ! Et pourtant nous ne sommes pas démunis, car on peut estimer l’ordre de grandeur de cette énergie minimale de création de trou noir : il suffit d’utiliser l’analyse dimensionnelle !

L’analyse dimensionnelle (qui manifestement se trouve heureusement au programme de physique du lycée), c’est ce qui dit en gros que dans une formule, il faut que le résultat ait la bonne unité de mesure (on recommande souvent aux élèves de vérifier l’homogénéité de leur formule). Il se trouve que dans certaines situations, en appliquant ce principe on peut retrouver de bons ordres de grandeur des quantités qu’on cherche, sans faire de calcul détaillé et simplement en considérant le fait que les unités doivent coller.

Voyons ici comment se principe permet d’estimer l’énergie minimale qu’il faut pour créer un trou noir, ce qu’on appelle l’énergie de Planck.

L’énergie de Planck

On sait qu’il existe 3 constantes fondamentales régissant la physique théorique : la vitesse de la lumière , la constante de Planck , et la constante de gravitation universelle . Voici ci-dessous la valeur de chacune de ces constantes avec la bonne unité :

Vitesse de la lumière :

Constance de Planck

Constante de Newton

Et maintenant, avec ces trois constantes, fabriquez moi une quantité qui soit une énergie ! Petit indice, une énergie, ça a pour unité le Joule, or 1 Joule, ça n’est autre que .

En cherchant un peu, vous allez vous rendre compte qu’il n’existe qu’une seule manière de fabriquer une énergie avec les 3 constantes fondamentales, c’est de faire la combinaison suivante :

Cette quantité, que j’ai noté s’appelle l’énergie de Planck, et donne l’ordre de grandeur de l’énergie qu’il faudrait pour créer le plus petit trou noir possible. Je vous fait grâce de l’application numérique, mais on trouve en gros une énergie de joules. Une fois convertie en téra-électrons-volts (TeV), l’unité favorite des accélérateurs de particule, on trouve environ TeV.

Pour créer un micro trou noir, il nous faut donc une énergie d’environ TeV. Sachant que le nouveau collisionneur LHC est susceptible d’atteindre au mieux des énergies d’environ 7 TeV, on comprend qu’a priori, on est loin…très loin…de pouvoir y créer le moindre trou noir ! Donc pas de risque a priori…sauf si on fait intervenir des dimensions supplémentaires !

Une gravité pas si faible

Vous le savez certainement, les dimensions supplémentaires ont le vent en poupe en physique théorique, en particulier dans les différentes versions de la célébrissime théorie des cordes dont je parlais dans ce billet.

Or il se trouve que la présence de dimensions supplémentaires pourrait modifier le calcul de l’énergie de Planck que je présentais ci-dessus. En effet si l’énergie de Planck est si grande, c’est notamment parce que la constante de gravitation est très petite, ce qui traduit le fait que la force de gravité est très faible, comparativement aux autres forces comme l’électromagnétisme.

Maintenant imaginons que l’on vive dans un monde avec plein de dimensions supplémentaires, que la gravité y soit en réalité une force assez forte, mais qu’elle nous apparaisse faible car elle se trouve “diluée” dans les dimensions supplémentaires. Cela voudrait dire que la véritable constante G à prendre dans le calcul pourrait être plus élevée que prévue, et donc l’énergie de Planck plus basse !

Mais pour calculer ça dans le détail, il faut reprendre notre analyse dimensionnelle.

L’énergie de Planck en 3+n dimensions

Alors allons-y : supposons qu’il y ait n dimensions d’espace supplémentaires, en plus des 3 que nous connaissons bien. La première modification qu’il faut considérer, c’est celle de la loi de gravité de Newton. En 3 dimensions, le potentiel de gravité associé à l’attraction de 2 corps situés à distance s’écrit

Cette forme du potentiel obéit à une propriété particulière : la loi de Gauss, qui affirme que le flux du champ gravitationnel à travers une surface est égal à la masse enfermée par cette surface (programme de lycée scientifique aussi, non ?)

Si maintenant on se place en (3+n) dimensions, il faut modifier l’expression du potentiel pour que la loi de Gauss soit toujours satisfaite, car maintenant les surfaces et les volumes ont dimensions de plus. La forme qui colle est la suivante :

où désigne la constante de gravitation en (3+n) dimensions. Comme vous pouvez le voir en regardant attentivement les unités dans cette formule, cette hypothétique constante ne s’exprime pas dans la même unité que celle que l’on connait. La bonne unité, c’est le .

Donc pour fabriquer une énergie à partir de , de et de , il faut modifier le calcul d’analyse dimensionnelle. Le calcul n’a rien de compliqué, je vous l’épargne, voici comment fabriquer l’énergie de Planck en 3+n dimensions à partir des 3 constantes :

Donc si l’hypothèse des dimensions supplémentaires est correcte, on peut calculer la véritable énergie de Planck en 3+n dimensions…à condition de connaitre la valeur de !

Et Gn, ça vaut combien ?

Pour deviner , on va partir de ce qu’on connait, à savoir la valeur que l’on observe dans notre monde apparemment tridimensionnel. Comme je l’expliquais, l’idée sous-jacente est que ce qu’on observe, c’est une version diluée de la gravité à cause des dimensions supplémentaires. Alors essayons de comprendre la manière dont se dilue pour donner .

Pour calculer l’effet de la dilution, on va supposer conformément aux habitudes que les dimensions supplémentaires sont des dimensions « enroulées », qui sont compactées selon un rayon R, comme sur le dessin ci-contre. On peut alors partir de l’expression du potentiel de gravité en (3+n) dimensions, et en déduire le potentiel « apparent » vus des 3 dimensions macroscopiques (non-enroulées) qui nous sont familières. On a

On voit bien dans cette formule qu’on retrouve notre potentiel de gravité habituel, pour peu que notre constante s’identifie au rapport . Donc connaissant , on peut retrouver en faisant une hypothèse sur le rayon , et bien sûr sur le nombre de dimensions supplémentaires.

Alors, alors ? On va en voir, des trous noirs ?

Si je replace l’expression de par dans la formule de l’énergie de Planck en 3+n dimensions, j’obtiens :

Voici différentes applications numériques de ce calcul pour plusieurs choix de n et de R :

• Pour n=2 et un rayon R de 10 microns, l’énergie de Planck descend à 3 TeV;
• Pour n=3 et un rayon R de 10 nanomètres, l’énergie de Planck est d’environ 1 TeV;
• Pour n=6 et un rayon R de 0.01 picomètres, l’énergie de Planck est d’environ 1.5 TeV;

Comme vous le voyez, les dimensions supplémentaires peuvent considérablement abaisser l’énergie de Planck, jusqu’à des valeurs de l’ordre des puissances atteintes au LHC. Donc avec des dimensions supplémentaires qui diluent la gravité, il serait parfaitement envisageable de créer des micro-trous noirs lors des expériences du LHC !

Mais rassurez vous, puisque les énergies atteintes au CERN sont comparables à celles de nombreux rayons cosmiques qui atteignent la Terre quotidiennement, si nous devions disparaître en étant avalés par un trou noir, ça fait longtemps que ce phénomène se serait produit !

Voilà, j’espère que vous avez pu apprécier la beauté de l’analyse dimensionnelle, qui à partir de considérations assez génériques nous permet d’approcher les conséquences des théories fondamentales les plus audacieuses !

Pour aller plus loin

Dans ces calculs, vous pouvez probablement être surpris par la grande taille des dimensions supplémentaires (peut être de l’ordre du micron ?). Si elles étaient si grosses, est-ce qu’on aurait pas déjà dû les voir ? Mais rappelez vous que dans notre hypothèse, seule la gravité est capable de se propager dans les dimensions supplémentaires. Or la gravité est une force qu’on ne connait à peine en dessous du millimètre ! Les curieux peuvent aller jeter un oeil aux manips de Hoyle pour tester la force de gravité aux échelles inférieures à 100 microns. En gros s’il existe des dimensions supplémentaires, on s’attend à ce que dans ces manips la force de gravité se mette à dévier de sa loi en quand on passe à des échelles inférieures à la taille caractéristique des dimensions enroulées, pour devenir une force en , conformément au potentiel que j’écrivais plus haut.

Autre considération : si on crée effectivement des trous noirs au LHC, est-ce qu’on ne devrait pas s’en rendre compte ? D’après les théoriciens, un trou noir de petite taille devrait rapidement s’évaporer (selon le principe du rayonnement de Hawking), et laisser derrière lui une signature bien reconnaissable (du genre rayonnement de corps noir). A ce stade on a rien vu de tel : donc soit on ne crée pas de trous noirs, soit en quantité trop faible pour qu’ils soient détectés.

A la première recherche, j’ai trouvé 4810 réponses ! J’ai donc décidé de les trier par ordre de citations, afin de me limiter aux publications les plus significatives. Mais à ce stade, on découvre alors que le terme de « Christmas » apparait dans tout un tas d’articles n’ayant pas grand-chose à voir avec Noël à proprement parler.

Par exemple :

En médecine, la maladie de Christmas est le nom d’une forme d’hémophilie, nommée d’après son premier patient diagnostiqué : Stephen Christmas. Le facteur de coagulation associé est aussi appelé « Christmas factor ».

En cardiologie, il existe une étude thérapeutique appelée « Christmas Study ».

En écologie marine, plusieurs papiers parlent de « Christmas island » et de son lagon, qui abrite une sympathique espèce de crabe rouge (ci-contre).

En géologie, nous avons les « Christmas mountains », située dans les Appalaches (elles culminent à 750m, pas de quoi en faire tout un plat).

En botanique, il y a Polystichum acrostichoides, dite la « fougère de Noël ».

En météorologie, plusieurs papiers traitent de la tempête de Noël 1999 en France et en Allemagne.

En astrophysique, il y a des évènements exceptionnels détectés un jour de Noël, comme le « glitch » du pulsar Vela en 1988, ou encore le mystérieux sursaut gamma du 25 décembre 2010.

Vive les sciences sociales !

Après tous ces essais infructueux, j’ai eu l’idée de restreindre ma recherche aux papiers publiés dans les journaux en sciences sociales, et là c’est plus drôle ! Voici un petit florilège des articles trouvés ici ou là :

L’étude socio-économique des habitudes de consommation à Noël, avec notamment ce papier dans Annals of Tourism Research, qui étudie l’impact économique du «village du Père Noël » artificiellement créé à Rovaniemi en Finlande par les autorités locales ;

L’impact de Noël ou du Nouvel An sur la mortalité par maladie, accident ou suicide, étudiée dans un grand nombre d’articles.

L’impact de Noël sur la saisonnalité des naissances. En particulier cet article paru dans Journal of Biosocial Science, et qui décrit (je cite l’abstract) « a festival effect of Thanksgiving to Christmas, where couples that are separated by work or choice often make time to be together and therefore improve coital frequencies ». Alors, vous le voyez, vous, le “festival effect” ?

Un incroyable article dans Journal of Phonetics, “An acoustic analysis of ‘happy-tensing’ in the Queen’s Christmas broadcasts” qui analyse la variation sur 50 ans de la façon dont la reine Elizabeth II prononce le mot « happy » lors de ses vœux de Noël.

Un papier dans Journal of Occupational Science, sur la manière de cuisinier à Noël chez les grands-mères de l’état de Kentucky.

Et bien sûr quelques papiers sur le mythe du Père Noël, comme « Encountering Santa Claus at the mall » paru dans Qualitative sociology, et qui étudie l’impact sur les enfants du fait de croiser le père Noël au supermarché. Et enfin ce récent article de  Anthropology Today, qui propose rien de moins que « a Theory of Santa », où les auteurs observent en particulier que Santa est l’anagramme de Satan…

Rassurez vous, parmi ce déluge d’articles incongrus, j’ai quand même trouvé une ou deux choses qui méritent un traitement plus complet, et qui je l’espère feront l’objet d’un billet dans les prochaines semaines.

Joyeux Noël et Bonne Année à tous !

Ce phénomène est appelé « effet Noix du Brésil », du nom des noix les plus grosses de ces mélanges. Et il n’en finit pas d’intriguer les physiciens, qui rivalisent d’explications, de simulations et d’expériences pour en comprendre la nature profonde.

Tout d’abord, observons l’effet

Pour recréer l’effet « Noix du Brésil », vous pouvez bien sûr acheter un paquet de gâteaux apéritifs. Mais pour cette fois, j’ai choisi un cas plus simple : un bocal, de la semoule et une grosse balle en caoutchouc. On place la balle au fond du bocal de semoule, on tape dessus, et…un film vaut mieux qu’un long discours !

Et voilà ! En quelques coups la grosse balle est remontée en surface, exactement comme les noix du Brésil dans les paquets de gâteaux apéritifs.

Dans les milieux constitués de grains (dits milieux granulaires), on observe ce que les physiciens appellent une ségrégation par la taille : les objets les plus gros se retrouvent en surface et les plus petits au fond. Et ce même si la densité des gros objets est plus élevée que celle des petits !

Pour essayer de comprendre l’effet « Noix du Brésil », plusieurs explications sont en concurrence. Voyons ensemble les deux plus connues.

Une première explication possible : l’effet tamis

Pour expliquer la remontée des gros objets dans un milieu granulaire, on peut faire appel à un mécanisme intuitif relativement simple. Quand on secoue le bocal, tous les grains sont soulevés, et les petits peuvent se glisser dans les interstices, pour aller se placer sous les gros grains. L’inverse étant impossible (les gros ne passent sous les petits), au fur et à mesure les gros objets remontent en surface et y demeurent. Le milieu granulaire se comporte donc comme un tamis qui laisse tomber les petites particules, mais pas les grosses.

Ce mécanisme est représenté sur la figure ci-dessous.

Cette explication intuitive paraît assez naturelle; et à la fin des années 80, des simulations informatiques ont pu permettre de vérifier cette hypothèse numériquement. La question semblait presque réglée, mais en 1993 une équipe de l’université de Chicago a proposé une expérience montrant qu’un autre phénomène plus subtil intervenait : la convection granulaire [1].

Une deuxième explication : La convection granulaire

Pour arriver à leur nouvelle explication, les chercheurs de l’équipe de S. Nagel se sont livrés à un travail fastidieux : le suivi précis du déplacement des grains dans un bocal que l’on secoue. Pour cela ils ont marqué les grains avec de l’encre, et les ont suivis dans leurs déplacements au cours de l’expérience (aujourd’hui on le fait par IRM, mais c’était il y a 20 ans…)

Ils ont alors observé dans le bocal un phénomène nouveau : tous les grains sont soumis à un grand mouvement d’ensemble, qui les fait remonter par le centre et descendre par les côtés.

Ce type de déplacement (représenté à gauche sur le schéma ci-contre) est appelé convection granulaire, et rappelle les phénomènes de convection qu’on observe avec les fluides, comme dans l’atmosphère ou dans une casserole : l’air chaud (ou l’eau chaude) monte, se refroidit et descend par les côtés (voir la figure de droite sur le schéma).

Le mouvement de convection granulaire dans le bocal peut alors expliquer l’effet « Noix du Brésil » : les grosses noix sont remontées au centre par le mouvement de convection, mais sont trop grosses pour redescendre par le courant descendant qui s’établit juste au bord des parois.

En réalité, la largeur de la couche de grains qui redescend le long des parois dépend de la forme et de la manière dont on tape. J’ai pu reproduire ce phénomène avec ma semoule et ma balle en caoutchouc. Le film ci-dessous est en fait la fin et la continuation du film précédent. Vous allez voir la balle s’enfoncer au bord, puis réapparaître au centre !

Manipuler la convection granulaire

L’effet « Noix du Brésil » a de nombreuses conséquences naturelles (comme le fait bien connu des paysans que les gros cailloux remontent à la surface d’un champ) mais aussi plusieurs applications industrielles : le mélange des noix bien sûr, mais aussi celui des céréales, du béton, etc. Des chercheurs et des industriels se sont donc demandés s’il était possible de le limiter ou de le supprimer.

Eh bien grâce à leur compréhension du phénomène par la convection granulaire, les chercheurs de Chicago ont pu construire des cas permettant de limiter voire carrément d’inverser la convection granulaire.

Par exemple en diminuant les frottements contre les parois, on peut supprimer le phénomène de descente des grains. Le schéma ci-contre montre une expérience qu’ils ont réalisé [1] où la paroi de droite frotte beaucoup plus que la paroi de gauche : les grains descendent uniquement le long de la paroi de droite. Encore plus fort, en modifiant la géométrie du bocal, on peut inverser la convection granulaire : dans un cône renversé les grosses noix coulent au milieu et les petites remontent par les parois !

Encore beaucoup de travail…

Malgré ces découvertes dans des expériences bien contrôlées, il existe encore de très nombreuses zones d’ombre sur les phénomènes réellement en jeu dans l’effet « Noix du Brésil ». En voici une illustration étonnante.

A priori, on peut penser que dans ce phénomène, l’air ne joue aucun rôle. Il est notamment beaucoup moins dense que les grains. Et pourtant, S. Nagel et sa bande (toujours eux) ont montré que sous vide, le phénomène est sensiblement modifié [2].

A pression atmosphérique, ils ont constaté que la vitesse d’ascension des grosses particules dépend de leur densité, avec un maximum quand la densité des grosses est égale à la moitié de celle des petites. Mais sous vide, cette dépendance disparaît ! Donc l’air joue bien un rôle subtil dans la convection granulaire, via les frottements qu’il peut imposer aux grains. L’effet “Noix du Brésil” est encore loin d’avoir livré tous ses mystères !

[1] S. Nagel et al., “Vibration-indiced size separation in granular media : the convection connexion”, Physical Review Letters, Vol. 70, N. 24 (1993) p3728.

[2] Matthias E. Möbius et al., “The Effect of Air on Granular Size Separation in a Vibrated Granular Bed”, Phys. Rev. E 72, 011304, (2005) / cond-mat/0502622.

Pour aller plus loin : quelques considérations thermodynamiques

Le phénomène de ségrégation par la taille dans les milieux granulaires est assez intriguant. Dans un fluide normal, le fait de secouer provoque un mélange et une homogénéisation, donc une augmentation de l’entropie. Dans les milieux granulaires, c’est l’inverse. Puisqu’en secouant on sépare les grains par taille, on fait diminuer l’entropie !

Pour résoudre ce paradoxe, il faut réaliser que dans un système comme celui-ci, on est très très loin des conditions de l’équilibre thermodynamique. Pour s’en convaincre, on peut comparer les ordres de grandeur des énergies mises en jeu.

Dans un gaz classique, le produit kT de la constante de Boltzmann par la température donne l’ordre de grandeur de l’énergie d’une particule du gaz. Dans le milieu granulaire, c’est très différent. Si on regarde la variation de l’énergie potentielle de gravité d’un grain qui tombe sur une hauteur égale à sa taille, on obtient mgd, où m est sa masse, g l’accélération de la gravité et d son diamètre.

Pour un grain de semoule, on trouve environ 10^-8 joules. Mais à température ambiante, kT = 4.10^-21 joules ! Donc l’énergie du grain est beaucoup beaucoup plus élevée que l’énergie thermique, ce qui nous permet de comprendre qu’on puisse se situer si loin de l’équilibre thermodynamique.

“Alors, c’était comment ?”

Qu’il s’agisse du dernier concert de Prince ou de votre récent passage chez le dentiste, sous cette question anodine se cache un problème redoutable : que retient-on d’une expérience positive ou négative, et de quelle manière évalue-t-on rétrospectivement le plaisir ou la douleur qu’elle nous a causé ?

A ce problème, le célèbre économiste comportemental Daniel Kahneman a répondu en proposant la loi de l’apogée/fin. Cette dernière affirme si on essaye d’évaluer une expérience passée, positive ou douloureuse, notre jugement ne se basera que sur deux choses : le moment le plus intense, et la fin. Et vous allez voir que cette loi pose quelques paradoxes !

La loi apogée/fin de la douleur

Au cours des années 1990, le psychologue et économiste Daniel Kahneman et ses collaborateurs ont voulu réaliser un certain nombre d’études afin de déterminer les facteurs influençant le caractère négatif ou positif des expériences que nous vivons. C’est un champ de recherche connu maintenant sous le terme de psychologie hédoniste.

Une des études menées portait sur le ressenti des patients à la suite d’une intervention médicale douloureuse : ils ont pour cela interrogé 154 patients subissant une coloscopie.

Au cours de l’intervention, les patients étaient invités à noter leur douleur sur une échelle de 1 à 10, et cela toutes les 60 secondes. On obtenait ainsi une courbe de la douleur évaluée en temps réel. Ensuite, une heure après la fin de l’examen (puis un mois après) on leur a demandé de noter rétrospectivement le caractère douloureux de la coloscopie (la note finale). Les auteurs ont ensuite analysé les corrélations entre les notes finales et les évaluation en temps réel de la douleur.

De manière surprenante, la note finale attribuée une heure ou un mois après l’examen n’était pas corrélée à la durée de la coloscopie. Et ce bien que celle-ci ait variée de 4 à 67 minutes suivant les patients ! Comme si la durée de la douleur n’influait pas sur le souvenir qu’on en a plus tard.

En revanche, ils ont constaté que la note globale était essentiellement dépendante de deux facteurs : le seuil maximal de douleur ressentie au cours de la coloscopie, et le seuil de douleur au moment où l’examen se terminait. C’est ce que Daniel Kahneman a appelé la loi de l’apogée/fin, car notre souvenir ne dépend donc que de l’apogée et de la fin d’une expérience, mais pas de sa durée.

Ça vous fait mal, hein ? Vous en demandez encore ?

Bien que simple, la loi de l’apogée/fin a des conséquences plutôt contre-intuitives : si l’examen s’achève au bout de 10 minutes avec une douleur maximale, vous en aurez un plus mauvais souvenir que s’il dure encore 10 minutes de plus avec un niveau de douleur plus modéré.

Ce paradoxe est illustré sur le graphique ci-contre tiré de la publication originale : il montre le seuil de douleur ressenti au cours du temps par deux patients différents. Et figurez vous que le patient B a trouvé sa coloscopie globalement moins désagréable que le patient A !

A partir d’autres études contrôlées, Kahneman et ses collaborateurs ont pu confirmer expérimentalement ce paradoxe. En voici un exemple : ils ont fait subir à des volontaires deux épreuves désagréables  successives :

• Épreuve 1 : plonger la main pendant 60 secondes dans de l’eau à 14°C.
• Épreuve 2 : plonger la main pendant 60 secondes dans de l’eau à 14°C, puis la plonger 30 secondes dans de l’eau à 15°C.

Après avoir subit les deux épreuves, les participants devaient choisir laquelle des deux ils souhaitaient refaire : la majorité ont préféré refaire l’épreuve n°2 !

Pour le plaisir, ça marche aussi

Par la suite, Kahneman et ses collaborateurs ont montré que la loi de l’apogée/fin marche aussi pour les évènements agréables. Ils ont utilisé des films plus ou moins longs et plus ou moins plaisants, et ont là aussi demandé aux sujets de noter leur plaisir en temps réel, puis à la fin du film. Le résultat fut identique : l’évaluation rétrospective que l’on en fait dépend du moment le plus intense et de l’intensité à la fin, mais pas de la durée globale du film.

Conséquence de la loi apogée/fin pour les évènements plaisants : on aura l’impression d’avoir pris plus de plaisir dans des vacances courtes se terminant en apothéose, que dans des vacances longues qui se prolongent après le moment d’apothéose.

Implications et applications

La loi apogée/fin a de quoi nous faire réfléchir. Dans le domaine médical, elle pose même de sérieux problèmes d’éthique. En effet pour minimiser le mauvais souvenir que les patients auront d’une intervention douloureuse, le médecin devrait prolonger artificiellement l’intervention pour faire en sorte que la douleur soit dissipée progressivement !

Du côté positif, cette loi devrait être méditée par les créateurs et les artistes. Elle implique que pour faire une oeuvre de fiction laissant un souvenir merveilleux, pas besoin que cette dernière soit longue, mais il vaut mieux qu’elle se termine à son moment le plus intense.

Un exemple tiré de mes lectures personnelles : j’ai absolument adoré Le Seigneur des Anneaux de Tolkien, mais je trouve que le chapitre final a gâché un peu mon plaisir. Pour ceux qui l’ont lu, vous savez c’est ce chapitre où les Hobbits retournent dans la Comté pour chasser Saroumane par la petite porte…la tension est relâchée et le combat d’une intensité ridicule à côté de ce qu’on a vécu dans les pages qui précèdent ! Si Tolkien avait connu la loi de Kahneman, il aurait stoppé le livre plus tôt !

Enfin pour modérer la loi apogée/fin, on peut quand même noter qu’il y a des cas où elle ne s’applique pas bien, notamment quand la durée de l’évènement est très différente de ce qu’on anticipait. Si on vous interrompt vos vacances au bout de 2 jours en argumentant que le meilleur moment est passé, je ne suis pas sûr que vous en soyez très heureux ! Autre exemple tiré de mon expérience : je trouve que Little Wing de Jimi Hendrix est une chanson formidable, mais beaucoup trop courte : avec 2 couplets de plus et un gros solo final, elle aurait été divine !