Quand la musique est bonne, 3^12 = 2^19 [rediffusion]

26 août 2013

Nouvelle rediffusion pour l’été 2013, avec ce petit billet sur les mathématiques de la musique !

Dans ce billet nous allons voir en quoi l’existence de la musique occidentale repose sur le fait que 3 puissance 12 est (presque) égal à 2 puissance 19 ! Et pour cela, construisons un piano !

Le principe est simple : on va partir d’une première corde, dont la vibration produit une certaine note, et on va chercher successivement à construire les autres cordes du piano. Notre critère étant d’introduire de nouvelles cordes dont les sons "vont bien" avec ceux des cordes que l’on possède déjà.

Et voyons où cela nous mène ! Lire la suite »


Les nombres de Mersenne

15 juillet 2013

math_equations_300pxLes mathématiciens adorent les nombres premiers ! Non seulement ils sont à la base de problèmes simples mais encore non-résolus, comme la conjecture de Goldbach dont je parlais ici (tout nombre pair serait la somme de deux nombres premiers), mais les nombres premiers s’avèrent également très utiles dans la vie réelle, comme avec l’algorithme de cryptage RSA qui sert à protéger un grand nombre de nos secrets informatiques ou bancaires (sujet d’un autre billet).

Pour ces raisons, les mathématiciens adoreraient disposer d’une machine à fabriquer des nombres premiers, ou tout du moins d’une formule qui permette d’en construire à volonté.

Lire la suite »


Le théorème d’incomplétude de Gödel

14 janvier 2013

godelC’est en cours de philo que j’en ai entendu parler pour la première fois ! Notre prof nous faisait un cours sur la logique et ses fondements, et c’est alors qu’elle le mentionna : le fameux théorème de Gödel, celui qui prouve que quoi qu’on fasse, il existe des énoncés mathématiques vrais, mais indémontrables. Les mathématiques resteront à tout jamais un édifice imparfait !

J’en fus évidemment tout retourné et fasciné : comment était-il possible qu’un truc pareil existe ? Comment prouver ce résultat pouvait même être du domaine de la science ? Lire la suite »


0.999999…le nombre qui n’existe pas vraiment

20 février 2012

 

De temps en temps, en maths, il y a des bizarreries qui peuvent nous faire des noeuds aux neurones. Parmi mes préférées, il y a le nombre 0.999999…, où les 3 petits points désignent le fait que la suite de chiffres "9" se poursuit à l’infini. Voyons un peu ce nombre paradoxal.

(image Wikipédia) Lire la suite »


Quand la musique est bonne, 3^12 = 2^19

14 novembre 2011

Dans ce billet nous allons voir en quoi l’existence de la musique occidentale repose sur le fait que 3 puissance 12 est (presque) égal à 2 puissance 19 ! Et pour cela, construisons un piano !

Le principe est simple : on va partir d’une première corde, dont la vibration produit une certaine note, et on va chercher successivement à construire les autres cordes du piano. Notre critère étant d’introduire de nouvelles cordes dont les sons "vont bien" avec ceux des cordes que l’on possède déjà.

Et voyons où cela nous mène ! Lire la suite »


La conjecture de Syracuse

27 juin 2011

La conjecture de Syracuse est un merveilleux problème d’arithmétique : un enfant de 8 ans peut le comprendre, les ordinateurs l’ont vérifiée jusqu’à des nombres astronomiques, et pourtant les mathématiciens n’ont toujours pas réussi à la démontrer ou à l’infirmer.

Il y a quelques jours, une prépublication a annoncé sa démonstration…avant de se rétracter après la découverte d’une faille dans un point du raisonnement.

Syracuse, un bastion proche de tomber ? Voyons cela de plus près !

L’énoncé de la conjecture

Prenez un nombre entier positif, et appliquez lui le traitement suivant :

  • s’il est pair, vous le divisez par 2;
  • s’il est impair, vous le multipliez par 3 et vous ajoutez 1.

Vous obtenez alors un nouveau nombre, sur lequel vous répétez la procédure. Et ainsi de suite, pour fabriquer une séquence de nombres. Lire la suite »


Da Sécu Code

1 octobre 2010

CarteVitale2Comme vous le savez certainement, un numéro de sécurité sociale est constitué de 15 chiffres, qui obéissent à des règles particulières. Prenons par exemple le numéro 1 37 04 76 243 484 15

  • le premier chiffre indique le sexe, 1 pour les hommes, 2 pour les femmes
  • deux chiffres pour l’année de naissance (1937 dans notre cas)
  • deux chiffres pour le mois de naissance (avril)
  • deux chiffres pour le département de naissance (76)
  • trois chiffres pour la commune
  • trois chiffres pour le rang dans la commune
  • et enfin deux chiffres, qui sont une clé, ici 15.

Dans ce billet,  nous allons nous pencher sur ce concept de clé, que l’on retrouve dans de nombreux numéros comme ceux des numéros de comptes bancaires.

La formule de la clé

La clé est un procédé de vérification qui permet de détecter et, dans une certaine mesure, de corriger les erreurs dans les numéros de ce genre. Le principe en est que les deux chiffres de la clé dépendent de manière mathématique des 13 premiers chiffres du numéro. Dans le cas de la sécu, la formule mathématique est relativement simple, il s’agit de

Clé = 97 – N modulo 97

où N est le nombre formé des 13 premiers chiffres. Pour ceux qui l’auraient oublié, l’opération de « modulo » désigne le reste de la division entière. Dans notre cas, si on divise 1370476243484 par 97, on obtient 14128621067 et il reste 82, donc Clé = 97 – 82 = 15.

A quoi cela sert-il ? Eh bien imaginons que notre individu ait mal écrit son numéro et qu’il ait fait un 4 au lieu d’un 3 dans le second chiffre, il a alors écrit : 1 47 04 76 243 484 15. Alors on peut repérer qu’il y a une erreur : en effet la clé normalement associée à 1 47 04 76 243 484 est le numéro 10. Donc si les 13 premiers chiffres étaient corrects, la clé devrait être 10, et pas 15. Il y a une incohérence.

Corriger automatiquement les erreurs

Est-il possible d’aller plus loin, et de corriger automatiquement cette erreur, même sans savoir où elle se situe ? Nous allons considérer le numéro erroné 1 47 04 76 243 484, supposer que la clé 15 est correcte, et essayer de retrouver quelle est la faute. Pour cela, on essaye à la main toutes les corrections possibles, en calculant à chaque fois la clé que ça donnerait, jusqu’à tomber sur une substitution qui donne la clé correcte : 15. Voici un exemple de ce qu’on obtient en partant du numéro erroné, et en essayant par exemple de substituer l’avant-avant-dernier chiffre (4) par toutes les autres possibilités.

Tentative     Clé
1470476243184 19
1470476243284 16
1470476243384 13
1470476243484 10
1470476243584 7
1470476243684 4
1470476243784 1
1470476243884 95
1470476243984 92
1470476243084 22

On voit qu’aucune de ces tentatives de substitution ne permet de retrouver la clé 15, donc aucune n’est la bonne. Il n’y a plus qu’à répéter ce petit jeu de substitution avec toutes les positions, jusqu’à en trouver une qui donne la clé 15. Si on considère que le premier chiffre ne peut être que 1 ou 2, et que le quatrième ne peut être que 0 ou 1 (c’est le premier chiffre d’un mois), il y a au total 11*9+2 = 101 substitutions à essayer. Figurez-vous que j’ai fait l’exercice, et que dans notre cas il n’y en a qu’une seule qui marche : changer le deuxième chiffre (4) en 3 ! Nous avons donc bien retrouvé et corrigé l’erreur.

Une formule optimisée

Dans ce cas on a bien été aidé par le fait qu’il n’y avait qu’une seule possibilité de correction qui permette de retrouver la clé d’origine. Il n’y a donc pas d’ambiguïté sur la source de l’erreur. En fait grâce à la formule de la clé, qui a été bien choisie, c’est très souvent le cas. Cela signifie qu’il est (presque) impossible de changer un chiffre dans le numéro sans affecter la clé, et que donc tout erreur sera repérée, et pourra être corrigée presque sans ambiguïté. Bien entendu cela suppose 1) que l’erreur ne porte pas sur la clé et 2) qu’il n’y a qu’une seule erreur. Si on s’autorise à substituer deux chiffres, alors on est plus certain de rien.

Une question que l’on peut se poser concerne le choix du nombre pivot 97 dans la formule. Pour que la clé tienne sur 2 chiffres, il faut un pivot à deux chiffres. En outre si on choisit un pivot P, la clé prendra des valeurs entre 0 et P-1, on a donc intérêt à prendre le pivot le plus grand possible pour que la clé prenne le plus de valeurs possibles et minimiser les situations d’ambiguïté. Si on choisit P=11 il est impossible de corriger de manière univoque l’erreur. Mais alors pourquoi ne pas prendre 99 ? Je suppose que le fait que 97 soit premier doit avoir un rôle pour disperser le plus possible les valeurs des clés.

Si le pivot avait été 99, la clé « normale » de mon numéro 1 37 04 76 243 484 aurait été 37. Si on commet l’erreur précédente et qu’on écrit 1 47 04 76 243 484 (dont la clé serait normalement 27), on se rend compte qu’il y a une erreur. Mais au moment de rechercher les substitutions qui redonneraient la clé correcte de 37, on se rend compte qu’il y en a 5 qui sont possibles ! Et pas moyen de savoir quelle substitution est celle qui permet de corriger l’erreur.

En faisant divers tests numériques, on peut se rendre compte que si le pivot n’est pas premier, cette situation d’ambiguïté se produit beaucoup plus souvent ! Une idée de démonstration ?

Crédits

Carte vitale, Wikimedia Commons


La conjecture de Goldbach

13 septembre 2010

Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers

Sous son apparente simplicité, cet énoncé en principe compréhensible par un enfant de 3ème (*) constitue en fait l’une des énigmes les plus importantes des mathématiques modernes. Cette affirmation porte le nom de « Conjecture de Goldbach », en référence au mathématicien prussien qui l’a pour la première fois énoncée en 1742, dans une lettre à Leonard Euler. Ce dernier lui répondit qu’il considérait ce résultat comme "totalement certain, bien que je ne sois pas capable moi-même de le démontrer". 268 ans plus tard, Euler peut dormir tranquille, personne n’a jamais réussi.

Si vous vous sentez un peu fatigué pour chercher directement une démonstration, on peut s’échauffer en faisant quelques tests numériques. Commençons de tête avec les premiers nombres pairs, en cherchant à les décomposer sous forme d’une somme de deux nombres premiers :

2=1+1, 4=3+1, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=7+5, 14=7+7, 16=5+11,…

Bien sûr il peut exister plusieurs solutions, par exemple :

100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53.

Maintenant pour entrer dans l’histoire des mathématiques, vous avez deux options : essayer de démontrer la conjecture de Goldbach, ou bien essayer d’en trouver un contre-exemple, c’est-à-dire un nombre pair pour lequel il n’existe aucune décomposition comme somme de deux nombres premiers.

Vous vous sentez en forme ? Alors choisissez un nombre pair et rendez vous sur cette page pour voir s’il en existe au moins une décomposition en somme de deux nombres premiers

J’ai essayé avec n= 2345678654321345678765432, et la gloire n’est pas pour aujourd’hui. Il doit exister un sacré paquet de manière de l’écrire comme somme de deux nombres premiers, et voici les 5 premières

2345678654321345678765432 =  181 + 2345678654321345678765251

2345678654321345678765432 =  421 + 2345678654321345678765011

2345678654321345678765432 =  1093 + 2345678654321345678764339

2345678654321345678765432 =  1249 + 2345678654321345678764183

2345678654321345678765432 =  1621 + 2345678654321345678763811

Intuitivement, on sent que plus les nombres sont grands, plus cela devient facile car il existe alors plus de possibilités de trouver des nombres premiers qui conviennent. Il existe dans cette veine un argument statistique qui fait dire aux mathématiciens que la conjecture est très certainement vraie. D’ailleurs en lançant des tas de calculs de ce genre sur des grosses machines, la conjecture de Goldbach a été vérifiée numériquement jusqu’à des nombres supérieurs à 1 000 000 000 000 000 000 (10^18).

La conjecture de Goldbach est vraiment une énigme fascinante : très simple à comprendre, vérifiée numériquement jusqu’à des nombres astronomiques, et pourtant à ce jour sans démonstration.

Alors la conjecture de Goldbach, bientôt démontrée ?

Pour se donner une idée de la difficulté, on peut regarder ce que les mathématiciens ont réussit jusqu’ici à démontrer dans ce domaine. Voici trois résultats démontrés, mais plus « faibles » que la conjecture de Goldbach :

D’une part il a été prouvé que s’il existe des contre-exemples à la conjecture, il y en a « infiniment peu ». Pour être précis si on note E(N) le nombre d’exceptions à la conjecture entre 1 et N, alors E(N)/N tend vers zéro. En terme techniques, on dit que la conjecture de Goldbach est vraie pour « presque tous » les nombres pairs.

En 1973 le mathématicien Chen Jingrun a montré que tout nombre pair peut s’écrire non pas comme somme de deux nombres premiers, mais comme somme d’un nombre premier et d’un nombre « semi-premier », c’est-à-dire produit de deux nombres premiers. Par exemple 42 = 17+5*5.

Enfin dernier progrès en date, en 1995, le français O. Ramaré a montré que tout nombre pair peut toujours s’écrire comme somme d’au plus 6 nombres premiers. Tour de force mathématique, mais Goldbach prétend que 2 nombres premiers suffisent. On voit donc qu’il reste du chemin à faire.

(*) D’après le Bulletin officiel spécial n° 6 du 28 août 2008, la notion de nombre premier est au programme de la classe de 3ème.


Suivre

Recevez les nouvelles publications par mail.

Rejoignez 4 747 autres abonnés