Les nombres premiers

Ma nouvelle vidéo porte sur le concept le plus simple et le plus déroutant des mathématiques : les nombres premiers !

Qu’est-ce qu’un nombre premier ?

Une petite précision de définition pour commencer : je n’ai pas voulu alourdir l’introduction en donnant une définition totalement précise de ce qu’est un nombre premier. Et je suis passé notamment sur cette convention de ne pas considérer 1 comme un nombre premier. Une manière élégante et compacte c’est de dire qu’un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs distincts (1 et lui-même).

Le résultat de Zhang

Pour être précis, ce qu’à montré Zhang [3], c’est qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers consécutifs séparés d’un gap de moins de 70 millions. Je vous laisse vous convaincre que l’on en déduit que forcément parmi les conjectures des nombres premiers jumeaux, cousins, sexys, etc. jusqu’à 70 millions, il y a en a au moins une de correcte.

Ce qui a été ensuite accompli par le projet Polymath 8 mené par Terry Tao, c’est de faire passer la borne de 70 millions à 246 (voir à 8 si on suppose certaines autres conjectures vraies).

La première conjecture de Hardy-Littlewood

Passons au gros morceau. Je ne suis pas rentré dans les détails, mais ce que je raconte à la fin correspond à ce qu’on appelle les conjectures de Hardy-Littlewood [1]. Il faut savoir qu’on dispose de conjectures encore plus précises concernant la répartition des nombres premiers comme les jumeaux, les cousins, etc. et même des combinaisons plus compliquées du type trois nombres premiers séparés par 2 puis 4 (p,p+2,p+6). On peut ainsi énoncer la conjecture suivante :

Conjecture (0,2,6) : il existe une infinité de p tels que (p,p+2,p+6) soient premiers.

Et on peut généraliser ! Prenons n’importe quelle suite croissante de k nombres nombres 0<a_2<a_3<\cdots<a_k. On appelle cela un k-uplet. On peut poser

Conjecture (0,a_2,a_3,\cdots,a_k) : il existe une infinité de p tels que (p,p+a_2,p+a_3,\cdots,p+a_k) soient tous premiers.

Alors attention, toutes ces conjectures ne sont pas vraies ! Certaines sont fausses de manière « évidente », par exemple la conjecture (0,2,4). Si p est premier, alors soit p+2, soit p+4, est forcément un multiple de 3 !

Heureusement, il est assez facile de caractériser les k-uplets pour lesquels la conjecture est « évidemment » fausse. Tous les autres k-uplets sont dits « admissibles », et on pense que pour tous les k-uplets admissibles, la conjecture est vraie.

(Pour les violents, un k-uplet est admissible si pour tout p, il ne contient pas tous les restes possibles modulo p : \forall p\ \exists r\ \forall i\ a_i\not\equiv r [p])

Continuons notre chemin. Prenons un k-uplet admissible (0,a_2,a_3,\cdots,a_k). Le plus grand nombre a_k est appelé le diamètre du k-uplet. Or ce qui est amusant pour un mathématicien, c’est de regarder des k-uplets de plus petit diamètre possible. En effet la conjecture (0,a_2,a_3,\cdots,a_k) associée à ces k-uplets va correspondre à des séquences de nombres premiers aussi proches les uns des autres que possible. Un k-uplet admissible de diamètre minimal est appelé une constellation.

Nous sommes enfin prêts à énoncer la première conjecture de Hardy-Littlewood ! Elle nous dit deux choses : premièrement pour toute constellation (0,a_2,a_3,\cdots,a_k), il existe une infinité de nombres p tels que (p,p+a_2,\cdots,p+a_k) soient tous premiers ; deuxièmement la répartition des nombres p qui marchent n’est pas quelconque, mais suit asymptotiquement une loi imbitable dont je vous épargne l’écriture mais que vous pouvez trouver ici.

La conjecture de Hardy-Littlewood est donc beaucoup plus puissante que le conjecture des nombres premiers jumeaux, puisque non seulement elle la généralise à tout un tas d’autres configurations, mais en plus elle ne se contente pas de dire qu’il y en a une infinité, mais elle en propose une loi asymptotique pour leur répartition !

La deuxième conjecture de Hardy-Littlewood

La deuxième conjecture de Hardy-Littlewood concerne la « sous-additivité » de la fonction qui compte les nombres premiers

\Pi(M+N) - \Pi(M) \leq \Pi(N)

Comme je l’explique dans la vidéo, cette conjecture semble parfaitement vraie quand on essaye numériquement. Et pourtant on pense qu’en allant suffisamment loin, elle devient fausse !

La raison, c’est qu’un jour un petit malin a démontré que les deux conjectures de Hardy-Littlewood sont contradictoires [2] ! Et on pense que c’est plutôt la première qui doit être vraie, et donc la seconde doit posséder un contre-exemple. Et grâce à la répartition asymptotique proposée par la première conjecture, on peut faire le portrait robot du contre exemple

A la recherche du contre-exemple

Revenons à la définition d’une constellation : il s’agit d’un k-uplet de taille minimale. Si la première conjecture de Hardy-Littlewood est vraie, chaque constellation va donner naissance à une infinité de séquences de nombres premiers. Comme les constellations sont aussi petites que possibles, cela correspond donc à des paquets de nombres premiers aussi proches que possible les uns des autres.

Eh bien figurez-vous qu’il existe des constellations comportant K nombres, dont le diamètre D est tel que la quantité de nombres premiers entre 0 est D est inférieure à K : \Phi(D)<K. Ca veut dire que si – comme l’affirme la première conjecture – ces constellations donnent effectivement naissance à ne serait-ce qu’une seule séquence de nombre premiers (p,p+a_2,\cdots,p+a_k), alors cette séquence va violer la deuxième conjecture : elle contiendra plus de nombres premiers que l’intervalle situé entre 0 et D. Vous voyez donc que si la première conjecture est vraie, elle permet de construire des contres-exemples à la deuxième.

Soyons clairs, des constellations intéressantes susceptibles de fournir ces contre-exemples, il n’y en a pas légion ! Une des plus petites comporte 447 nombres et son diamètre est 3159. Or il n’y a que 446 nombres premiers entre 2 et 3159.  Ce qu’il y a d’intéressant, c’est que la première conjecture de Hardy-Littlewood permet d’estimer la répartition des nombres premiers basés sur une constellation donnée. Et pour celle dont je viens de parler, le premier exemple est attendu quelque part entre 10^{174} et 10^{1197} (voir [4]). On n’est probablement pas près de le trouver !

Enfin petite spéculation pour finir : comme la première conjecture de Hardy-Littlewood ne donne qu’une répartition asymptotique des contre-exemples, je me demande si on peut imaginer que cette estimation soit assez fausse pour les petites valeurs, et donc qu’un contre-exemple soit trouvé beaucoup plus tôt qu’attendu ?


Références

[1] Hardy, Godfrey H., and John E. Littlewood. « Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes. » Acta Mathematica 44.1 (1923): 1-70.

[2] Richards, Ian. « On the incompatibility of two conjectures concerning primes; a discussion of the use of computers in attacking a theoretical problem. » Bull. Amer. Math. Soc 80 (1974).

[3] Zhang, Yitang. « Bounded gaps between primes. » Annals of Mathematics (2013).

[4] Le site de Thomas J Engelsma

Comment un avion vole-t-il ?

Chaque jour, ce sont près de 100 000 avions qui prennent les airs pour transporter des millions de passager [1]. Et pourtant, à en croire certains, on ne comprend pas complètement comment fait un avion pour voler. Vraiment ?

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Il faut dire que si l’on cherche à se renseigner un peu sur les raisons physiques qui gouvernent la capacité des avions à rester en l’air, on tombe sur tout un tas de théories, plus ou moins critiquées, plus ou moins contradictoires. Dans un article consacré à cette question, le New York Times écrivait [2] :

Pour ceux qui ont peur de l’avion, il est probablement déconcertant que les physiciens et les ingénieurs aéronautiques en soient encore à débattre la raison fondamentale qui maintient les avions en l’air ? « Il n’y a pas de réponse simple à cela », d’après le Dr. Anderson.

Si on creuse un peu, on découvre qu’il existe notamment deux grandes explications concurrentes : celle « à la Bernoulli », et celle « à la Newton ». Elles n’ont pas été formulées par ces deux physiciens, mais se basent sur leurs lois respectives. Et il arrive que les tenants des deux camps se bagarrent avec ferveur pour savoir qui a plus raison que l’autre.

Je me suis souvent demandé comment on pouvait tolérer une telle situation, s’agissant d’une des technologies les plus importantes de notre temps ? Est-ce que vraiment on ne comprend pas exactement comment les avions volent ? Ou est-ce juste qu’on arrive pas à le vulgariser ?

Eh bien j’ai décidé de creuser la question pour vous ! Et en avant pour une tentative de réconciliation sur ce sujet hautement controversé… Lire la suite

Aversion aux pertes, effet de dotation et dépendance à la référence

Je continue ma série de vidéos « Crétin de cerveau » consacrée aux biais cognitifs et à l’économie comportementale. Aujourd’hui, je vous parle de l’effet de dotation, de l’aversion aux pertes et de la dépendance à la référence…

Comme toujours, je vous recommande d’aller lire les papiers si vous voulez voir un peu mieux ce qui se passe derrière les chiffres. Les références sont à chaque fois dans la vidéo. Notamment il faut savoir que sur les expériences d’effet de dotation (par exemple les mugs au début), le protocole expérimental est bien plus subtil que ce que je laisse sous-entendre, notamment pour éliminer différents facteurs qui pourraient perturber l’analyse (coûts de transaction, effets de négociation, etc.)

Un concept intéressant dont j’ai choisi de ne pas parler, c’est l’idée de courbe d’indifférence. Prenez deux biens A et B, dont vous pouvez posséder une certaine quantité. Différentes combinaisons de A et B peuvent vous procurer différents niveaux de satisfaction. Les courbes d’indifférence sont les courbes d’iso-satisfaction parmi ces différentes combinaisons.

Ces courbes sont particulièrement intéressant quand l’un des deux biens est l’argent. Et le résultat spectaculaire des expériences sur l’effet de dotation, c’est que suivant qu’on vous propose de changer de l’argent en stylos, ou des stylos en argent, les courbes d’indifférence sont très différentes. La courbe suivante est une moyenne sur plusieurs sujets à partir de différentes transaction qu’on leur proposait. Un groupe partait avec 5 stylos (et 0 dollars) et l’autre avec 4$50 (et 0 stylos). Et on leur proposait des transactions pour voir par exemple combien de dollars ils demanderaient pour lâcher un stylo, ou combien de stylos pour lâcher un dollar. Et on voit que le résultat est très différent.

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(extrait de Kahneman, D., Knetsch, J. L., & Thaler, R. H. (1991). Anomalies: The endowment effect, loss aversion, and status quo bias. The journal of economic perspectives, 5(1), 193-206.)

Records de chaleur, réchauffement climatique et régression vers la moyenne

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Au mois de juillet 2016, un nouveau record de température a été battu au niveau mondial. Selon la NASA, la température de ce mois de juillet à été supérieure de 0,84°C à la température moyenne des mois de juillet de la période 1950-1980. Ce triste record a été abondamment commenté dans les médias, et utilisé comme illustration pour dénoncer notre inaction face au phénomène du réchauffement climatique.

Oui, mais…non. On s’en fout de la température au mois de juillet 2016 !

Rappelons une chose essentielle : les évolutions du climat se jugent sur plusieurs décennies, pas sur un record de température ponctuel.
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La gravité quantique à boucles

Cela fait longtemps que je la promets…cette fois la voici : ma vidéo sur la gravité quantique à boucles. Attention, je vous préviens, c’est sensiblement plus technique que d’habitude !

Comme toujours, quelques commentaires et compléments, un peu plus nombreux que d’habitude. Toutes les parties qui suivent sont indépendantes les unes des autres, n’hésitez pas à passer ce qui ne vous intéresse pas (ou vous semble cryptique). Lire la suite

Une exoplanète (habitable ?) autour de Proxima du Centaure

Mercredi soir, l’ESO a annoncé la découverte d’une exoplanète autour de Proxima du Centaure, notre plus proche voisine. J’avais pondu une vidéo à chaud pour commenter la découverte.

Je voudrais maintenant revenir « à froid » sur quelques points et questions fréquemment soulevés en commentaire. Tout d’abord, la publication est ici.

Une seule planète ?

La question qui est revenue le plus souvent, c’est de savoir comment on déduit qu’il n’y a qu’une seule planète qui provoque l’oscillation de la vitesse radiale de Proxima. Laissez moi tout d’abord vous montrer « LE » graphique du papier : Lire la suite