Tout est dans Pi !

Certains nombres sont beaucoup plus riches que d’autres. Quand on regarde l’écriture des nombres sous forme décimale, certains n’ont qu’un nombre fini de chiffres après la virgule, par exemple

11/8 = 1.375

alors que d’autres peuvent en avoir un nombre infini, par exemple

22/7 = 3.142857142857142857142857142857142857

Si vous êtes observateurs, vous aurez remarqué que dans le cas ci-dessus, les décimales  sont toujours les mêmes : le motif 142857 se répète à l’infini. Et ça n’est pas une exception puisqu’en fait tout nombre rationnel (c’est-à-dire tout nombre qui s’écrit comme une fraction) possède un développement décimal périodique.

Les nombres univers

Pour obtenir des développements décimaux non-périodiques (et moins monotones donc !), il faut aller chercher du côté des nombres irrationnels par exemple

Racine(2) = 1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737…

Ce qui est quand même beaucoup plus riche. Mais parmi ces nombres ayant un développement décimal infini, certains ont une propriété supplémentaire bien particulière : on peut trouver dans leur développement décimal n’importe quelle suite finie de chiffres. On les appelle les nombres univers.

Par exemple on soupçonne fortement Pi d’être un nombre univers (bien qu’il n’en existe pas de preuve à ce jour). Cela signifie que si je prends une suite finie de chiffres au hasard, disons « 5791459 »,  alors quelque part dans les décimales de Pi, on peut trouver cette suite (d’ailleurs je peux vous dire qu’elle se trouve à la position n° 28176122). Puisque toute suite finie doit se trouver dans les décimales de Pi, on peut s’amuser à y chercher sa date de naissance, ou son numéro de sécurité sociale, etc.

Des chiffres et des lettres

Là où le concept de nombre univers devient perturbant, c’est quand on commence à le transposer aux lettres. Par exemple si vous prenez votre nom, que vous le transformez en une suite de chiffres en utilisant le code A=01, B=02, …, Z=26, eh bien votre nom se trouve aussi quelque part dans Pi. Et si je traduis « Cogito ergo sum »  avec ce même code, j’obtiens la suite

031507092015000518071500192113

qui doit s’y trouver aussi. Finalement Descartes n’a rien inventé.

Et on peut aller encore plus loin : prenez l’intégralité du Seigneur des Anneaux de Tolkien, traduisez-le en chiffres, et vous obtenez une suite énorme mais finie, qui se trouve aussi quelque part dans les décimales de Pi. Et ça marche aussi avec

  • « Soins et beauté par l’argile et les plantes » de Rika Zarai,
  • La Bible,
  • Imagine de John Lennon,
  • Le brevet du téléphone de Graham Bell (ci-contre),
  • Germinal de Zola
  • Germinal, dans une version où le personnage principal s’appellerait Tintin,
  • Germinal, dans une version où le personnage principal s’appellerait Milou,
  • et toute oeuvre passée, présente ou fictive…

Cela rend un peu étrange la notion de propriété intellectuelle, comme si les auteurs n’étaient que des découvreurs ou des déchiffreurs…

Des photos et des films

On peut aller encore un peu plus loin puisqu’à l’heure de l’informatique et du numérique, tout n’est plus que chiffres : une photo en 20 millions de pixels des Tournesols de Van Gogh, le DVD de Fight Club en version longue, le code source de Facebook, et même une vidéo de moi en train de courir le 100 mètres en 9’37 : toutes ces choses peuvent in fine se réduire à une suite finie que l’on peut trouver dans Pi et tous les autres nombres univers, et on sait qu’il en existe beaucoup (une infinité non-dénombrable).

Mais bon, je ne sais pas pourquoi je m’acharne à réfléchir pour écrire ce billet, vu qu’il est déjà dans Pi…

Crédits

49 réflexions sur “Tout est dans Pi !

  1. Bien, ce blog ! Vous avez bien fait d’être prudent sur la propriété « nombre univers » de Pi, car effectivement elle n’est pas établie. Et personnellement je doute que Pi soit un nombre univers, car il a trop d’autres propriétés, ce serait TROP qu’il ait en plus celle là 😉 Ou plus exactement, il est affreusement difficile de prouver qu’un irrationnel « quelconque » est univers.

    Les nombres univers connus ont été conçus pour être univers. J’en parle un peu ici :

    http://drgoulu.com/2010/06/04/nombres-univers/

    Vraiment bien ce blog. Je m’abonne!

  2. J’ai pensé naïvement qu’on pourrait utiliser cette propriété (présumée) de pi pour coder des choses. Par exemple au lieu de dire mon numéro de secu est le 18067879456 on dirait qu’il se trouve à la position 87548 dans le développement de pi… En fait c’est idiot car l’indice de la position de la suite qu’on cherche est toujours bien plus grand que la suite elle même, et c’est normal quand on y pense (par l’absurde ça marche bine)… par exemple 1234 arrive à la position 13807. J’ai l’impression que le rapport « indice de la position de la suite »/ »longueur de la suite » augmente exponentiellement. Est-ce une propriété qui se démontre pour tout nombre univers ?

  3. Pingback: 0.999999…le nombre qui n’existe pas vraiment « Science étonnante

  4. Pingback: 4 millions de pixels pour voir les décimales de PI | Ballajack

  5. « Cela rend un peu étrange la notion de propriété intellectuelle, comme si les auteurs n’étaient que des découvreurs ou des déchiffreurs… »

    À ceci près que, comme tu le souligne, toutes les variantes des livres/articles/… sont aussi comprises dans un nombre univers(sinon, il perd sont titre). Les auteurs garderaient alors un statut particulier, celui de piocher la « bonne variante » du texte.

    Autrement dit, si le travail de l’auteur n’existait pas, on ne verrait qu’une « salade de chiffres » qui serait tout juste bonne pour faire plaisir à un matheu alors que, avec l’auteur, on a une suite qui a du sens. C’est un peu comme cadrer une photo en fait.

    • C’est très étonnant car pour ma part j’ai toujours considéré le (mon) processus d’écriture comme une enquête : je m’évertue à découvrir ce que l’histoire veut être, ce que les personnages veulent faire… Le fait de déchiffrer me parle, autant que celui du cadre posé par notre regard sur ce qu’on tambouille. Merci pour cet article !

    • Ce serait considérer que le monde est discret.
      Ce qui est quand même une question non encore tranchée.

      Un fichier MP3 est-il une copie d’une œuvre musicale ? on voudrait nous imposer l’idée que oui…
      Une photo de tableau codée en JPG est-elle une copie du tableau ? on est moins catégorique.

      JC

    • Non pas à l’infini ! Toute suite finie se trouve dans pi.
      Donc la suite
      1234567 s’y trouve mais aussi la suite 1234567891011121314 mais aussi la suite 12345…999999999999

      • « 1234567 s’y trouve mais aussi la suite 1234567891011121314 »
        s’y trouverait !

        peut-être qu’une suite extraite infinie donnée « se trouve dans π »,
        les termes étant des chiffres régulièrement espacés mais pas consécutifs.

        En tout cas, à moins qu’un chiffre ne s’ « éteigne » (qu’il n’apparaisse plus à partir d’un certain rang),
        toute suite de chiffre peut être trouvée dans π comme suite extraite des chiffres de π.

        JC

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  7. « Pour obtenir des développements décimaux non-périodiques (et moins monotones donc !), il faut aller chercher du côté des nombres irrationnels par exemple »

    Je crois qu’on peut enlever « par exemple »

    JC

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  10. J’ai fait une découverte révolutionnaire !!!
    Pi n’est pas un nombre univers, en effet mon numéro de téléphone n’y est pas =)
    Essayez vous verrez bien: 0651303569

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  13. Bonjours,
    je me casse les dents a essayer de trouver un fichier telechargeable d au moins un milliard de décimal de Pi. Tous les liens que je trouve sont obsolètes et les fichiers plus dispos. Je ne trouve pas d application sur mac OsX pour calculer Pi moi meme. super_pi me renvoi un message d erreur pour cause de cpu non compatible 😦 Est ce que quelqu un pourrai m aider a trouver ? Mille merci

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  17. Très bon article. Remarque, 0,1234567891011121314… (constante de Champernowne) est aussi un nombre univers. La propriété de contenir tout livre publié et a venir paraît moins incroyable, d’un coup.

  18. Ce sujet est très stimulant pour qui possède encore un peu de temps libre. A tel point qu’il serait dommage de le confiner à une considération sur le nombre Pi. Je me fais le plaisir de partager avec vous quelques uns des prolongements qui m’ont hanté…

    Pourquoi se contenter de Pi ? Dans la famille des nombres, Pi n’a rien de si particulier si ce n’est sa célébrité : il a une infinité de frères et soeurs méconnus et non moins puissants et intrigants.

    Par exemple entre deux réels quelconques on trouve une infinité de réels dont l’écriture décimale contient toutes les décimales de Pi… ou de n’importe quel autre nombre.

    A vrai dire entre deux réels quelconques on trouve une infinité de réels dont l’écriture décimale contient n’importe quelle séquence finie (ou infinie ?) d’entiers. Voire même tous les entiers possibles, à l’instar de Champernowne, pour ceux qui font partie de cette famille « univers ».

    Pourquoi d’ailleurs rechercher ces nombres dans les décimales d’un réel ? Ecrire la constante de Champernowne en décimal c’est finalement énumérer l’ensemble des entiers naturels, tout simplement. L’ensemble des entiers contient tous les entiers possibles et on oublie que ça va un peu plus loin que 3 !

    Dans cet ensemble des entiers les petits nombres sont finalement très rares, alors qu’ils sont d’autant plus nombreux et abondants que leur taille augmente. En réalité le nombre des nombres dont la taille tend vers l’infini tend lui-même vers l’infini.

    L’ensemble des entiers est donc lui aussi « univers » c’est à dire qu’il contient ici ou là la séquence numérique de toute information numérisable au moyen de tout code adéquat. A ce rayon je trouve qu’évoquer « tous les livres parus ou à paraitre » est un exemple bien pauvre de ce qui est numérisable ou encodable (sauf le respect de la « Bibliothèque de Babel » de J.L.Borges, qui a inscrit cet exemple dans l’histoire littéraire).

    Par exemple si on colle bout à bout toutes les informations stockée sur tous les supports numériques de la planète, on forme un nombre. Il y a donc un nombre entier qui correspond à (« contient ») la compilation de toutes les données numériques de la planète. Il y en a même un qui correspond à chaque version dans le temps de cette somme d’information.

    En principe on peut numériser autant d’aspects qu’on veut d’un corps humain ou non, avec la finesse qu’on veut. Il en résulte, moyennant codage, un nombre unique. Très grand, mais un nombre néanmoins « comme les autres ». Idem pour la totalité de l’univers. Aujourd’hui comme hier ou demain. Pour la trajectoire de chaque particule de cet univers ou de chaque électron d’un cerveau.

    A vrai dire on peut stocker dans un seul « très grand nombre » une partie aussi grande qu’on veut de l’information nécessaire pour décrire ce qu’on veut, que ce soit la mouche du bureau, l’univers, les univers éventuels qu’on ne connait pas, ceux qui existeront ou n’existeront jamais, en partie ou en totalité et dans toutes les langues imaginables. Toujours on peut se ramener à un nombre « très grand » mais fini. Tout peut être numérisé par une expérience d’esprit, avec l’imagination comme seule limite, et on peut affirmer sans se tromper qu’un nombre (et même une infinité de nombres) de l’ensemble des entiers correspond à l’information résultante de cette « numérisation ».

    Cela va bien au-delà de la bibliothèque et même de l’univers, aussi choquant que cela puisse paraitre.

    Finalement un nombre ou un ensemble numérique « univers » contient beaucoup plus qu’un ou des univers : il contient toute l’information possible au sens le plus large. Aucun information n’y échappe. Y compris les informations « fausses » ou « inintelligibles » et leurs combinaisons entre elles et avec leurs contraires.

    C’est d’ailleurs là que l’esprit se refroidit, comme le lecteur qui ouvre un livre de la bibliothèque de Babel : réunir cette masse exhaustive d’information ne donne pas les clefs pour en extraire une information utile. Si on lui pose une question elle répond dans le meilleur des cas quelque chose du genre « c’est possible » ou « je sais » c’est à dire qu’elle ne répond rien. Elle n’a tout simplement aucune valeur pratique ! Et cela, même dans une expérience d’esprit qui a déjà allègrement négligé la mise en pratique des opérations de numérisation ou de codage que nous avons évoquées. Ces opérations sont simplement aussi illusoires que le développement décimal même des grands nombres mis en jeu, et à plus forte raison leur décodage.

    D’ailleurs il est peut-être trompeur de dire qu’un nombre, grand ou petit, « contient » toutes ces informations. L’information est convoquée en plus ou moins grande quantité quand l’observateur décide d’écrire (de décrire) le nombre, quand on a besoin de le nommer parmi d’autres nombres ou de le manipuler.

    Et puis après tout si l’on voulait numériser « exactement » n’importe quel objet réel, il semble qu’il faudrait faire tendre la finesse de cette numérisation vers un infini inatteignable. Le nombre résultant croissant vers l’infini il y a de fortes chances qu’il puisse contenir, lui aussi, tous les nombres finis possibles. En conséquence de quoi, ce ne sont pas seulement les nombres abstraits mais encore les choses concrètes qui, moyennant numérisation et codage, fournissent potentiellement l’information requise pour « décrire autre chose ». Si on va dans ce sens chaque partie de l’univers « contient l’univers ».

    Mais ce que nous dit un « nombre univers » c’est peut-être plutôt la chose suivante : « si tu veux m’écrire entièrement et exactement par un développement décimal, il te faudra tant de subtilité et d’ajustements que cela n’aura pas de fin, et tu devras même utiliser toutes l’information du monde pour y arriver ». Autrement dit, c’est le moyen choisi qui comporte un infini problématique. Pour aboutir, ce moyen requiert des opérations hors de portée pratique, comme l’illustrent tous les exemples évoqués plus haut.

    C’est pour cela qu’on nomme Pi avec une lettre grecque, qui lui va fort bien. C’est un moyen limité mais réalisable en pratique, contrairement au développement décimal qui échoue pour ce nombre et une infinité d’autres moins célèbres (irrationnels, transcendants…). Toutes ces considérations sur l’information « qu’ils contiennent » n’est qu’un reflet intéressant de l’information qu’il nous manque pour les décrire par un moyen problématique, imparfait.

    Enfin c’est ce qu’il me semble (…?) et je n’ai pas trouvé sur internet de développements vers la théorie de l’information. Et pour en avoir, je compte beaucoup plus sur la pertinence d’une réponse à ce message que sur la certitude que la réponse parfaite « existe quelque part » (ce dont je ne doutais pas même avant d’entendre parler de « nombres univers » !! CQFD…).

    • Ce que les nombres ont d’artistique c’est que l’on peut les imaginer, les penser à l’infini tout comme les décimales de Pi.
      La pensée est donc univers et inversement !
      Néanmoins, Pi à l’avantage d’avoir un support concret, le cercle, la sphère.

  19. Le nombre Pi n’est pas le rapport de la circonférence d’un cercle sur son diamètre en ce qu’il est à la frontière du carré et du cercle. Il contient simultanément le dénombrable (concept d’onde) et l’indénombrable (concept de corpuscule).Mohwali Awamar .

  20. Pingback: 1) Nombres et intervalles | Pearltrees

  21. Dans le même ordre d’idées, voici, parmi une infinité, une écriture finie de π :

    π = 112 195 169 114 105 109 195 168 116 114 101 032 100 105 118 105 115 195 169 032 112 097 114 032 100 105 097 109 195 168 116 114 101

    La plus concise en grec étant π, la plus concise en français étant pi, une autre en français étant périmètre divisé par diamètre, pour laquelle la correspondance en ASCII, trois chiffres par caractère, se trouve être celle ci-dessus.

    Toutefois, est-il nécessaire de l’écrire pour le penser, dès lors l’écriture qui consiste à ne rien écrire n’est-elle pas encore plus concise et néanmoins réelle ?

  22. En chiffrant 1 pour L, 2 pour A, 3 pour l’espace, 4 pour B, 5 pour I et 6 pour E, LA BIBLE ainsi chiffrée 12345416 se trouve à la position 141805551 après la virgule du développement décimal de π.

  23. Tandis qu’en chiffrant 0 pour l’espace, 1 pour A, 2 pour B, 3 pour E, 4 pour I et 5 pour L, LA BIBLE ainsi chiffrée 51024253 se trouve à la position 63126752 après la virgule du développement décimal de π.

  24. Au premier degré, attention à la confusion entre le développement décimal et le nombre lorsque celui-ci n’est pas décimal. Le développement décimal limité n’est pas le nombre et il ne permet pas de l’identifier. Le nombre 3,14159265358979 n’est pas π, il est tout autre.

    Au second degré, attention à la confusion entre le développement alphabétique d’un texte et le résultat d’une transformation arbitraire de celui-ci en développement numérique. Le résultat de cette transformation est tout à fait dépendant de l’arbitre qui a inventé et choisi telle transformation plutôt que telle autre. Intrinsèquement, aucun texte ne figure dans une série de chiffres.

    Enfin et surtout, au troisième degré, attention à la confusion entre un développement alphabétique, numérique ou plus généralement symbolique, quelque soit l’ensemble de symboles choisi arbitrairement. Quelque chose que cela soit, un développement symbolique arbitraire (corps mort) n’est pas ce qu’il représente (esprit, âme vivant). Il n’en est qu’une réduction, que la partie émergée.

    Par exemple, pour moi qui baigne dans le français, la lecture de Germinal en français produit en moi certains effets ou impressions, qui ne figurent pas explicitement dans la suite de symboles constituant le texte de Germinal, que ne produirait pas cette même lecture à un chinois qui ne baigne pas dans le français.

    A moins d’entrer en état modifié de conscience, la lecture du développement décimal de pi ne me fera jamais l’effet que me fait la lecture de Germinal ou l’écoute d’Imagine de John Lennon. Ni même, pour en rester à π, cette lecture (voire cette récitation) ne me fera jamais l’effet que me font les quelques mots « rapport entre le périmètre et le diamètre » ou que me fait la visualisation d’un cercle et de son diamètre.

    L’esprit n’est pas réductible à une machine à calculer, à un computer, à un ordinateur, à un objet technique ni même à un corps de chair.

    Emile Zola, John Lennon, Rika Zaraï ont véritablement créé quelque chose qui ne se trouve pas et ne se trouvera jamais dans le développement décimal de π, lequel développement est aussi la création d’un esprit. Le développement décimal de π ne dit pas grand chose, n’évoque pas grand chose de π. Il n’en est qu’une piètre propriété. Il n’y a pas grand chose de vivant à trouver dans le développement décimal de pi.

  25. Au premier degré, attention à la confusion entre le développement décimal et le nombre lorsque celui-ci n’est pas décimal. Le développement décimal limité n’est pas le nombre et il ne permet pas de l’identifier. Le nombre 3,14159265358979 n’est pas π, il est tout autre.

    Au second degré, attention à la confusion entre le développement alphabétique d’un texte et le résultat d’une transformation arbitraire de celui-ci en développement numérique. Le résultat de cette transformation est tout à fait dépendant de l’arbitre qui a inventé et choisi telle transformation plutôt que telle autre. Intrinsèquement, aucun texte ne figure dans une série de chiffres.

    Enfin et surtout, au troisième degré, attention à la confusion entre un développement alphabétique, numérique ou plus généralement symbolique – quelque soit l’ensemble de symboles choisi arbitrairement – et ce que ce développement représente.

    Quelque chose que cela soit, un développement symbolique arbitraire (corps, mort) n’est pas ce qu’il représente (esprit, âme, vivant). Il n’en est qu’une réduction, qu’une partie émergée, qu’un point de vue borné, quand bien même ce développement mécanique n’en finit pas.

    Esprit imprégné de français, la lecture de Germinal en français produit en moi certains effets ou impressions qui ne figurent pas explicitement dans la suite de symboles constituant le texte de Germinal ; effets et impressions que ne produirait pas cette même lecture sur un esprit chinois, ou chat ou rhododendron, non imprégné de français.

    A moins d’entrer en état modifié de conscience, la lecture du développement décimal de π ne me fera jamais l’effet que me fait la lecture de Germinal ou l’écoute d’Imagine de John Lennon. Ni même, pour en rester à π, cette lecture (voire cette récitation) ne me fera jamais l’effet que me font les quelques mots « rapport entre le périmètre et le diamètre d’un cercle » ou que me fait la visualisation d’un cercle et de son diamètre.

    L’esprit n’est pas réductible à une machine à calculer, à un computer, à un ordinateur, à un objet technique, ni même à un corps de chair.

    Emile Zola, John Lennon, Rika Zaraï ont véritablement manifesté, fait émerger, quelque chose qui ne se trouve pas et n’émergera jamais du développement décimal de π, lequel développement est aussi le fait de l’esprit.

    Le développement décimal de π ne dit pas grand chose, n’évoque pas grand chose, ne fait pas émerger grand chose de π. Il n’en est qu’une piètre propriété. Il n’y a pas grand chose de vivant à trouver dans le développement décimal de π.

    Non, tout n’est pas dans le développement décimal π, loin s’en faut.

    En revanche que le symbole π puisse, en esprit, faire émerger quelque chose au-delà de la lettre grecque π et même au-delà de l’idée de « périmètre d’un cercle rapporté à son diamètre », cela n’est pas impossible 😀

  26. Ne trouve-t-on pas trivialement n’importe quelle « suite finie de chiffres » dans l’ensemble des entiers naturels ?

    Si oui, à quoi bon aller la chercher dans le développement décimal de π plutôt que de mettre simplement à la tâche n’importe quel compteur élémentaire d’entiers : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …, 30, 31, 32, …, 313, 314, 315, …, 3140, 3141, 3142, …, 31414, 31415, 31416, …?

    Premièrement, selon la rhétorique présentée, ce simple compteur ne pourra-t-il pas se targuer d’énoncer petit à petit tous les développements décimaux de π (à la virgule près), sans le moindre calcul – autre que celui, élémentaire, d’ajouter 1 à chaque itération – et sans pour autant être capable a priori – c’est-à-dire s’il ne les « connaît » pas, s’il n’a pas au préalable réalisé ou pris connaissance du résultat de leur calcul direct – de les identifier au passage, tout autant que n’est pas capable celui qui affirme que Germinal de Zola se trouverait codé dans le développement décimal de π de dire à quelle position, à moins de choisir arbitrairement un codage qui le fera se trouver à une position dont il connait les décimales, par exemple dès la première position (en effet, n’est-il pas toujours possible de choisir un code qui permet d’identifier – c’est-à-dire de décoder – n’importe quoi n’importe où, pourvu que « n’importe quoi » soit de dimension finie et « n’importe où » soit connu) ?

    Deuxièmement, selon la rhétorique présentée, ce simple compteur ne pourra-t-il pas aussi affirmer que π (à la virgule près) se trouve dans l’ensemble des entiers naturels puisque l’ensemble de ses représentations décimales (3, 31, 314, 31415, etc) s’y trouve ?

    Ainsi π contient l’univers (des entiers naturels) et l’univers (l’ensemble des entiers naturels) contient π… à l’abus de langage près qu’il ne s’agit que de sa/ses représentation(s) décimale(s).

    La petite boucle n’est-elle pas bouclée ?

  27. Sans compter qu’au lieu de compter 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …, 30, 31, 32, …, 313, 314, 315, …, 3140, 3141, 3142, …, 31414, 31415, 31416, etc, contant plutôt a, b, c, d, …, z, ,, ;, :, ?, !, A, B, …, Z, aa, ab, ac, …, le, aA, …, ZZ, …, aaa, …, ble, …, ZZZ, aaaa, …, ible, …, ZZZZ, aaaaa, …, bible, …, ZZZZ, ainsi contant plutôt que comptant, le conteur, quelque part dans son conte, n’énoncera-t-il pas directement toute la bible en clair ? 😀

  28. Soit f l’application de l’ensemble des entiers naturels ℕ vers le sous-ensemble d’entiers naturels P, f et P tels que :

    f(0) = 1, f(1) = 14, f(2) = 141, f(3) = 1415, f(4) = 14159, f(5) = 141592 , f(6) = 1415926, où généralement f met en correspondance n’importe quel entier n de ℕ avec l’entier codé en base dix correspondant aux n+1 premières décimales du développement décimal de π

    Alors :

    1) f est une bijection de ℕ vers P
    2) f permet de coder n’importe quel entier naturel de telle sorte qu’il se trouve dans le développement décimal de π.

    Ainsi, pour celles et ceux dont l’univers se limite à ℕ, il est démontré que le développement décimal de π est un ℕ-univers.

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