La gravité, une force émergente d’origine entropique ?

L’attraction gravitationnelle est une force mystérieuse qui pose bien des ennuis aux physiciens théoriciens. Dans un papier récent [1] qui fait le buzz dans la communauté, Erik Verlinde propose une hypothèse audacieuse : la gravité ne serait pas une force fondamentale, mais un phénomène émergent ayant pour origine la propension qu’a tout système physique à maximiser son entropie.

L’exemple des forces de pression

Quand on considère les forces qui s’exercent sur un objet, certaines sont l’expression macroscopique de forces bien identifiées à l’échelle microscopique, comme par exemple l’interaction électrostatique. D’autres en revanche sont la manifestation d’effets thermodynamiques, sans correspondance directe au niveau microscopique. L’exemple le plus simple, c’est la pression d’un gaz !

Considérons un de ces dispositifs qu’on rencontre tous les jours dans les cours de thermo : un gaz est contenu dans une boite de volume V, fermée en haut par un piston mobile d’une certaine masse. Le tout est maintenu à température T.

Voyons les forces qui s’exercent sur le piston. Il y a bien sûr son poids; mais puisque le piston est à l’équilibre, il y a une autre force qui compense exactement son poids. Cette force est celle qui résulte de la pression des molécules du gaz.

Puisqu’une pression est une force divisée par une surface, et en supposant que le gaz est parfait (donc que PV=Nk_BT), on peut déduire que la force de pression qui s’applique sur le piston est

F = \frac{N k_B T}{X}

X est la hauteur du piston.

Clairement la force de pression n’est pas la résultante macroscopique d’une force qui existe au niveau microscopique. On sait qu’elle a son origine dans le choc des molécules de gaz contre la paroi, mais on ne peut pas lui associer de potentiel comme on le fait habituellement avec les forces électrostatiques par exemple. Voyons en quoi cette force de pression peut se voir comme une force émergente d’origine entropique.

Les forces entropiques

Oubliez le concept de pression et la loi des gaz parfait. Nous allons retrouver l’expression précédente de la force à partir de considérations entropiques (qui par ailleurs sont équivalentes à démontrer la loi des gaz parfait).

Voici le raisonnement général, un peu avec les mains. La force F exercée par le gaz est opposée au poids du piston. Le travail associé à une variation de hauteur dX du piston est FdX. En utilisant le premier principe de la thermodynamique, on peut écrire la variation d’énergie comme résultant du travail de la force et de la chaleur échangée, on a alors dU = FdX + TdS où S est l’entropie du système. On peut mettre cette égalité sous la forme dS = (1/T) dU + (F/T) dX d’où on peut identifier

F = T \frac{\partial S}{\partial X}

Voici notre formule clé ! Elle nous dit que la force est égale à la température multipliée par le gradient d’entropie. C’est la traduction d’un principe bien connu : la nature aime le désordre et tend vers des états d’entropie maximale. Donc s’il existe un gradient d’entropie, ce dernier engendre une force, et cette force est d’autant plus importante que la température est élevée.

La pression est bien une force entropique

Appliquons le raisonnement précédent à notre gaz et à notre piston. Pour cela il nous faut calculer l’entropie du système. Comme inscrit sur la tombe de Boltzmann, l’entropie est proportionnelle au logarithme du nombre d’états microscopiques accessibles au système.

Si notre gaz est constitué de N particules, on peut découper mentalement notre volume V en petites cellules élémentaires de volume v, et caractériser un état microscopique par la localisation des N particules dans chacune des (V/v) cellules élémentaires. Cela fait  (V/v)^N possibilités.

L’entropie du système est donc

S = k_B \log[(V/v)^N]= k_B N \log (V/v) = k_B N \log (AX/v)

A est l’aire du piston. On peut ainsi calculer le gradient d’entropie et déduire notre force

F = T \frac{\partial S}{\partial X}=\frac{k_B T N}{X}

On a retrouvé l’expression précédente, sans invoquer directement le concept de pression ni la loi des gaz parfaits ! Ce que cette expression montre, c’est que la force de pression trouve son origine dans le besoin qu’a le gaz de maximiser son entropie, ce qu’il fait en augmentant son volume. D’ailleurs si rien ne le retient, le gaz va occuper un volume maximal pour être dans l’état le plus désordonné possible.

Il est absolument remarquable de voir que l’on a obtenu ce résultat pour la force de pression sans absolument rien dire de précis sur ce qui se produit au niveau microscopique. Nous n’avons pas parlé de molécules qui bougent, ni de chocs contre les parois. La force de pression émerge de considérations thermodynamiques, indépendamment de la nature de ce qui se passe au niveau microscopique !

Un autre exemple : l’élasticité des polymères

L’élasticité des polymères fournit un autre bel exemple d’une force macroscopique qui émerge de considérations entropiques. On peut voir un polymère comme une succession de petits segments articulés, qui dans un modèle simple peuvent s’orienter librement les uns par rapport aux autres. Le polymère prend alors l’allure d’une pelote.

Considérons X l’extension totale de la pelote de polymère, que l’on va prendre comme la distance entre ses deux extrémités. Dans le cas général, puisque le polymère est en pelote, X est bien inférieur à la longueur totale qu’aurait le polymère s’il était déplié. Du point de vue entropique, la configuration en pelote est plus désordonnée que la configuration dépliée, ce qui s’explique par le fait qu’il y a bien plus d’états microscopiques donnant une extension faible que d’états donnant une extension proche de la longueur dépliée.

En appliquant le même raisonnement que pour la pression, on peut montrer que si on essaye de tirer sur les extrémités du polymère pour lui donner une extension X élevée , le polymère s’y opposera avec une force proportionnelle à X et à la température qui règne. Le polymère rechigne à aller dans un état ordonné (déplié) et préfère rester dans un état désordonné (la pelote). C’est pour cela qu’il répond avec une force élastique.

Une manifestation concrète est que si vous approchez un cheveu d’une source de chaleur, il va se recroqueviller sur lui-même. Parce qu’en augmentant la température on favorise la force entropique qui pousse vers les configurations les plus désordonnées, qui sont les pelotes.

Et la gravité dans tout ça ?

Le physicien théoricien Erik Verlinde a récemment proposé un argument pour suggérer que la gravité pourrait elle aussi être une force d’origine entropique. Il propose notamment de retrouver la loi de Newton à partir d’arguments de thermodynamique, similaires aux exemples de la pression d’un gaz ou de l’élasticité d’un polymère.

Intuitivement, on peut le comprendre en disant que l’entropie d’un système de deux particules est d’autant plus élevée que les particules sont proches et donc plus indissociables. On serait en gros dans une situation analogue à celle d’une goutte d’encre que l’on met dans un verre d’eau : l’entropie augmente quand les deux phases se mèlent intimement et deviennent indiscernables.

Pour sa construction, Verlinde considère deux particules de masses M et m, situées à une distance R. Il propose ensuite de construire une notion de température T et une notion de gradient d’entropie, pour démontrer que la force entropique associée reproduit la loi de Newton. C’est-à-dire que

T \frac{\partial S}{\partial X}=\frac{mMG}{R^2}

Si ça vous intéresse de comprendre comment Verlinde définit T et \partial S/\partial X pour obtenir cela, allez jetez un coup d’oeil à l’article [1]. J’aurai aimé vous en parler plus précisément, mais j’ai renoncé car j’ai du mal à discerner les raisonnements dans ce papier. Il y a des analogies intéressantes, mais je ne sais pas si ça justifie le gloubiboulga de formules qui s’ensuit pour démontrer la gravité newtonienne à partir du principe holographique et de la thermodynamique des trous noirs !

Un des points forts du raisonnement, c’est que donner une origine entropique à la gravité permet de déduire l’expression des forces gravitationnelles macroscopiques, sans rien dire de ce qui se passe au niveau microscopique. Un peu comme dans le cas de la pression où on arrive à exprimer la force sans rien dire du mécanisme microscopique (les chocs des molécules). C’est une idée fort intéressante, et rendue très pertinente par le fait que la gravité est une force très peu connue expérimentalement aux échelles sub-millimétriques !

Ce qui est certain, c’est que son papier a généré une grande activité depuis sa parution ! On peut donc imaginer que ça inspire la communauté. D’un autre côté, on ne peut qu’être frappé par la différence de traitement réservé par cette même communauté entre Verlinde, ponte de la théorie des cordes, qui fait un cocktail de formules sans aucune rigueur, et un Garett Lisi, certes surfeur et mégalo, mais dont la théorie se présente dans un cadre conceptuel et mathématique tout de même mieux posé.

[1] E. Verlinde  On the Origin of Gravity and the Laws of Newton, JHEP Vol 2011 29, disponible ici 

Pour une autre discussion récente sur l’émergence et la manière dont la physique théorique peut être éclairée par la physique macroscopique, voyez ce billet de Tom Roud sur mécanique quantique et hydrodynamique.

BONUS pour les motivés : la construction de Verlinde

Voici quand même le gloubiboulga de formules de Verlinde. Ne voyez pas cela comme un raisonnement que j’exposerai en me l’appropriant, mais comme un guide de lecture pour vous faire votre propre opinion en lisant le papier. 

On considère une particule de masse M qui attire une particule de masse m située à distance R. Verlinde suppose que si la particule de masse m se rapproche de la particule M d’une distance égale à sa longueur de Compton, l’entropie augmente d’une unité $k_B$. On a donc

\frac{dS}{dX} = \frac{k_B}{\lambda_C} = \frac{k_B m c}{\hbar}

Voyons maintenant comment faire apparaître une température. Verlinde part du principe holographique qui stipule que le nombre de degrés de liberté N d’un système gravitationnel (type trou noir) est proportionnel à sa surface

N = A c^3 / G \hbar 

On peut identifier une notion de température par analogie avec un gaz, en disant que l’énergie du système se distribue sur ses différents de liberté selon

E = (1/2) N k_B T

Mais puisque E=Mc^2, on sort une température

T = 2 M c^2 / N k_B = 2 G \hbar M / k_B c A 

Et en appliquant la formule de la force entropique, et avec A\sim R^2, plus quelques facteurs \pi qui trainent, on retrouve la force de Newton…Gloubiboulga je disais !

27 réflexions sur “La gravité, une force émergente d’origine entropique ?

  1. Très bon billet, comme toujours. J’avoue que j’ai du mal à voir la magie dans les deux exemples d’émergence que tu donnes (sans parler du gloubiboulga sur la gravité auquel je n’ai bien sûr rien compris 😉
    – sur l’émergence de la formule donnant la pression, certes on ne part pas de l’équation des gaz parfaits mais la fameuse formule de l’entropie (avec son logarithme et tout ça) suppose très précisément les mêmes hypothèses que celles qui permettent de définir la pression. Ca me semble donc très naturel qu’on retrouve les mêmes résultats par les deux raisonnements: par définition la température et l’entropie sont des concepts macroscopiques rendant compte des forces microscopiques.
    – sur le polymère, je croyais qu’il se plie de façon à minimiser son énergie potentielle (et pas son entropie)?

    • – Pour moi la magie vient du fait que la force macroscopique ne dérive pas d’une force microscopique exprimable par un gradient de potentiel du genre F = – dV/dx mais d’un gradient d’entropie. Ca n’est pas très surprenant car finalement si on remplace l’énergie E par l’énergie libre E-TS et qu’on dit qu’une force nait des gradients d’énergie libre, on récupère F = -dE/dx + T dS/dx, le premier terme donne les forces « classiques » qui dérivent d’un potentiel et le second terme donne les forces entropiques.

      – Pour le polymère, c’est bien principalement un effet entropique. Dans le modèle simplifié des segments articulés (« ideal chain »), les segments n’interagissent pas et l’énergie est constante, indépendante de la configuration.

  2. Article très intéressant !
    Mais est-ce que ça veut dire que si on considère que la gravité est la résultante « entropique » de phénomènes microscopiques, alors un « champs gravitationnel » est en fait, un peu comme un gaz, une soupe de particules ?
    Lesquelles ? En particulier un espace « vide » (sans matière ni ondes electromagnétiques) serait toujours plein alors ?

    • Très bonne remarque. Pour que l’argument fonctionne, il faut effectivement qu’il y ait quelque chose, et ce quelque chose dans le cas le plus général est « des degrés de liberté ». On n’a pas besoin d’en spécifier la nature (particules, ondes, spins, que sais-je), l’important c’est qu’ils soient des degrés de libertés microscopique, dont les multiples configurations puissent engendrer de l’entropie.

      Ce qu’il y a de très beau dans ces forces émergentes, c’est qu’elles émergent justement de manière indépendante de la nature précise des degrés de liberté. On sait qu’au niveau microscopique la pression est engendrée par des particules qui ont une vitesse et qui cognent la paroi, mais on n’a pas besoin de ça pour trouver la force de pression. Il suffit de supposer qu’il y a des degrés de liberté microscopique et que (c’est le point important) leur entropie augmente proportionnellement au volume.

      C’est le point le plus intéressant de l’argument de Verlinde, il est valable qu’elle que soit la nature détaillée des degrés de liberté microscopiques, l’important est qu’il y en ait et que leur entropie croisse comme la surface (surface de quoi, je ne sais pas trop :-)) Dans le cas d’un trou noir, les méthodes récentes de quantification (loop quantum gravity ou théorie des cordes) tombent bien sur un nombre d’états quantiques proportionnel à leur surface, dans le cas général de particules, la construction me parait assez spéculative.

  3. Je me demande si l’auteur ne livre pas lui même le « secret » de sa « démonstration » dans le dernier paragraphe de la page 9. Dimensionnellement, on ne pouvait pas trouver autre chose que la loi de Newton, à un facteur numérique près ; du coup, le « gloubiboulga » n’a pour objectif que de faire de « pifométrer » le bon facteur. Et je ne suis pas persuadé qu’un autre « gloubiboulga » n’aurait pas conduit à un autre facteur !

  4. Pingback: Que se passe-t-il quand on tombe dans un trou noir ? (ou le problème du firewall) | Science étonnante

  5. Einstein a bien montré que la gravité n’était pas une force(RG),l’attirance est due à la courbure de l’espace temps par un objet massif,et les objets moins massifs ne suivent que leur géodésique;de plus les théories d’unifications(cordes, supercordes….susy) ne sont elles même pas unifiées quant à la quantification de la gravité.La force entropique pourrait elle remplacer la gravité? puisque elle s’applique au micro et au macro et en mesure le désordre du système dynamique isolé correspondant.L’univers étant un système dynamique isolé.

  6. Bonjour!
    Je suis un étudiant en informatique tout juste sorti du bac et j’ai pas bien cerné cerné ce qu’était l’entropie, quelqu’un pourrait-il m’expliquer?
    Merci d’avance.

  7. Bonjour, je voulais intervenir sur ce sujet, nous savons que le champ magnétique terrestre est généré par le noyau terrestre suivant les liquides ferreux et si la présence du champ rentrait comme un paramètre pour reproduire la gravité sur la lune subsiste t il un noyau ? L inversement des polarités Nord Sud de la terre aura t elle une influence sur la gravité y a t il des variations de valeur sur la terre?

  8. le champ magnétique terrestre est bien sûr lié à la gravité,l’inversion des pôles fait varier la gravité localement ,ce qui veut dire qu’il y a une brisure de symétrie au lieu de variation.

  9. Bel article pour ouvrir une nouvelle boite de Pandore. L’homme n’en finit pas de decentrer ses certitudes, après lui-meme au centre de l’univers, la terre, le soleil, … voici la notion de poids>masse>entropie. Ca me plait bien, car pour tout que se tienne dans ce monde, je ne vois que l’entropie, l’intrication quantique, la décohérence… pour imposer des forces d’interaction, qu’elles soient microscopiques ou macro et bien sur méga.
    Avec la découverte du boson de Higgs, la masse ne semble plus une caractéristique fondamentale de la matière, mais une grandeur résultant de l’interaction de la matière avec un champ (non sensible). Alors pas étonnant si la force de gravité ne dépend pas vraiment de la masse, donnée à laquelle nous sommes tant attachés bien que chimérique, mais plutot d’autres grandeurs, intensives (la pression, ?l’entropie) et extensives (le volume, l’enthalpie).
    Si je comprends bien, PV=n.R.T devient F = dS / dX . T ; mais ca utilise encore une donnée microscopique, la distance X. N’y aurait il pas moyen de la remplacer par une donnée macroscopique?… par un gloubiglouba utilisant les équations d’entropie et enthalpie (car je pressens qu’ S et H sont 2 facettes essentielles de tout objet, systeme,… possiblement l’equation de l’enthalpy-entropy compensation ( ΔH = α + βΔSi ) « which exhibit a linear relationship between one of the following kinetic or thermodynamic parameters »

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  11. Salut David,

    les arguments de Verlinde sont assez peu crédibles, mais il existe une façon plus physique d’arriver à la même température, pour un trou noir. Pour cela on part du principe qu’un trou noir est un objet de masse M dont on ne sait rien d’autre. C’est donc, pour une masse M donnée, l’objet physique de plus grande entropie possible. Son énergie intrinsèque est donnée par la relation E=Mc²=TS, car toute l’énergie est entropique.
    De cela on déduit en utilisant les travaux de Bekenstein et Hawking, qu’il y a une température du trou noir inversement proportionnelle à sa masse et son expression correspond à celle trouvée par Verlinde.
    (obtenue avec un raisonnement moins fumeux). Cette « température » T est en fait celle du rayonnement du trou noir telle que calculée par Hawking. Elle est bien semble-t-il bien vérifiée pour une grande masse, mais devient fausse pour une petite masse : les effets quantiques interdisent à un trou noir de s’évaporer complètement, heureusement d’ailleurs car la puissance rayonnée par la disparition totale d’un trou noir serait considérable !

    La suite de son travail se base sur des arguments discutables. La force de gravitation qu’il obtient s’applique en principe aux seuls trous noirs, la matière ordinaire ayant une nature et une organisation bien définies et donc une entropie bien moindre que l’entropie de Hawking du trou noir. Alors de là à en conclure la fin de la gravitation comme interaction fondamentale, c’est assez ridicule, à mon avis.

    • Oui dès le début ça ne me paraissait pas hyper convaincant, mais j’avais trouvé que c’était une bonne occasion pour introduire l’idée des forces entropiques qui est assez jolie…
      D’ailleurs je ne crois pas que son idée ait « pris » dans la communauté. C’est vraiment parce que c’était Verlinde, sinon le truc serait passé pour du pipotage !

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  13. Bonjour David,
    on sait que qu’une roue tourne par rapport à la route, on sait que la terre tourne par rapport au système solaire…
    _ si on imagine que l’univers tourne sur lui même, peut on le savoir? et de la même façon, peut il tourner sur lui même?
    _ s’il peut tourner sur lui même y-a-t’il un repère invisible fixe ou figé qui sert de référentiel?
    _ si ce repère est apparu après le big-bang ce serait un repère qui s’étire ou se construit? si c’est le cas la matière en expansion perd-t’elle de l’énergie?
    _ et enfin, si on fait tourner l’univers tout entier autour de moi à la vitesse d’au moins deux tours par seconde, ai-je la tête qui tourne ^^ ?
    Merciiiii

      • Lire peut-être le livre de Brian Green « la magie du cosmos » toutes les digressions sur « l’eau et le seau » dans le cadre des différentes théories de la gravitation.

        Si j’ai bien compris, selon la Relativité Générale, l’eau tournerait selon les « gµnu » c’est-à-dire la métrique.

      • Merci pour le lien, je reste quand même sur ma fin…
        je me pose du coup une autre question:
        Si la masse totale de l’univers est le « repère » de l’univers et que l’on transforme de la matière en énergie en un instant, il y a moins de masse dans l’univers, cette information circulerait à quelle vitesse? Est-ce qu’à l’autre bout de l’univers, à ce même instant, on perdrait du poids?
        Si cette information circule à la vitesse de la lumière il y aurait un phénomène de réfraction, comment réagirait un photon qui surferait sur cette onde étant donné qu’un champs gravitationnel détourne la lumière?
        De la même façon le temps s’écoulerait plus lentement pour le photon qui précède l’onde (puisqu’il est soumis à un champs plus fort), et plus vite pour celui qui suit l’onde?…
        Merciiiiiii ^^

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  19. Bonjour à tous! (allusion 😉

    Merci David pour ce billet intéressant que je découvre bien tard suite à la dernière vidéo (matière noire).
    Les commentaires sont intéressants aussi, par exemple Manu avec l’argument de type homogénéité des dimensions.

    L’essentiel de ce billet répond aux questions de toulgaot avec un grand intérêt pour toute réaction de David.

    Courage, ce qui suit parle de physique de la rotation et se termine avec un lien très sérieux vers une vidéo de chat qui tombe et qui est pile dans le sujet…

    ## Une vitesse (linéaire) n’est pas absolue, mais une rotation (vitesse angulaire), si.

    Considérons une grandeur mécanique X (scalaire ou vecteur) et demandons-nous s’il existe une situation dans l’univers où il est naturel de considérer que X vaut zéro, à cause d’expériences de physique ayant un résultat particulier dans cette situation. Notons que j’ai écrit « situation », pas « lieu ». Si une telle situation existe appelons-là « situation de X nul ».

    Alors il n’y a dans l’univers aucun « situation de position nulle » (mécanique classique, traditionnellement associé à Galilée, etc) car aucun point de l’espace n’a de rôle particulier universel.

    De même il n’y a dans l’univers aucun « situation de vitesse nulle » : quelle que soit la vitesse à laquelle je me déplace, je n’ai jamais l’impression d’être spécifiquement immobile par rapport à un repère universel.

    En revanche, il existe un « une situation d’accélération nulle », c’est la situation de chute libre comme la vivent en ce moment Thomas Pesquet et ses collaborateurs. Et un simple pendule ou une peluche suspendue (cf. https://spacetux.org/cpamoa/2016/03/soyouz-tma-20m-lexpedition-47-complet-a-bord-de-liss/ ) aide à le comprendre : il existe une situation où votre corps flotte. On peut la vivre très brièvement en plongeant dans une piscine. Dans tous les autres cas, vous percevez une accélération avec un vecteur non nul.

    Venons-en maintenant à la rotation.

    Quiconque a tourné enfant sur un tourniquet sait que la rotation cause une sensation d’accélération centrifuge. Similairement, l’expérience du pendule de Foucault montre que la rotation de la terre peut être mise en évidence sans faire référence à des masses lointaines.

    Le principe de fonctionnement des gyromètres (dans nos téléphones mobiles par exemple) https://www.google.fr/search?q=gyrom%C3%A8tre montre bien qu’on peut mesurer une vitesse angulaire de rotation directement. Traditionnellement avec des systèmes masse-ressort qui s’étirent quand l’objet tourne, plus récemment avec des interférences lumineuses dues à la différence de marche proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation.

    Bref, alors qu’on dit qu’on mesure une *vitesse angulaire* de rotation, elle a des propriétés similaires à une accélération.

    ## Questions de toulgoat

    * si on imagine que l’univers tourne sur lui même, peut on le savoir? et de la même façon, peut il tourner sur lui même?

    Pour moi, un gyromètre (qu’il soit de ressorts, lumière, tourniquet de square) peut déterminer la situation de rotation nulle. Partant de cette situation, si l’univers tourne, oui on peut le savoir.

    * s’il peut tourner sur lui même y-a-t’il un repère invisible fixe ou figé qui sert de référentiel?

    Oui puisque l’expérience physique du gyromètre (quels que soient les choix d’implémentation du dit gyromètre) peut le dire.

    * si ce repère est apparu après le big-bang ce serait un repère qui s’étire ou se construit? si c’est le cas la matière en expansion perd-t’elle de l’énergie?

    Je ne sais pas.

    * et enfin, si on fait tourner l’univers tout entier autour de moi à la vitesse d’au moins deux tours par seconde, ai-je la tête qui tourne ^^ ?

    Si seulement l’univers tourne mais qu’on s’est placé en situation de rotation nulle les yeux fermés, on n’aura pas la tête qui tourne.

    Je suis surpris de lire dans https://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_Mach que « parler d’accélération ou de rotation par rapport à un espace absolu n’a aucun sens ». Il me semble que la question (dont le seau) était abordée dans le livre de Gell-Mann « Le quark et le jaguar » mais j’ai prêté mon exemplaire. Elle est aussi abordée dans « les mondes engloutis » pour ceux qui s’en souviennent.

    Pour moi, si l’univers était vidé immédiatement, à part une personne dans un scaphandre autonome, cette personne percevrait deux choses :

    (1) elle est en impesanteur
    (2) elle peut toujours utiliser un gyromètre pour déterminer la situation de rotation nulle, même si elle n’a pas forcément de moyen de rejoindre cette situation. Un SAFER peut l’aider. https://fr.wikipedia.org/wiki/Simplified_Aid_for_EVA_Rescue

    Quelqu’un veut essayer ?

    Notez en passant qu’on peut changer son orientation sans s’appuyer sur aucun objet ni éjecter de matière, en faisant une sorte de danse du ventre comme les chats : https://plus.google.com/+StéphaneGourichon/posts/jQpvFYESFju

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