La mesure de la circonférence de la Terre par Eratosthène

On a souvent tendance à penser qu’il a fallu attendre la Renaissance pour que l’humanité découvre que la Terre n’était pas plate. C’est une fausse croyance, car l’idée que la Terre soit ronde date de l’Antiquité, et était partagée par de nombreux savants comme Platon ou Aristote.

D’ailleurs en 200 avant J.C., Eratosthène a même réussi l’exploit de calculer la circonférence de la Terre à quelques centaines de kilomètres près, puisqu’il l’estima à 39 375 km, alors que la valeur actuellement admise est autour de 40 070 km !

Voyons ensemble comment il a procédé.

Le soleil au fond des puits

A la fin du IIIème siècle en Egypte, sous le règne du pharaon Ptolémée III, le grec Erathostène était un savant réputé. Il dirigeait notamment la grande Bibliothèque d’Alexandrie, et fut le précepteur du futur pharaon Ptolémée IV.

Fort de ses connaissances d’astronomie et de géographie, il mis au point une méthode purement géométrique pour estimer la circonférence de la Terre. Pour cela, il partit de la constatation suivante : « Dans la ville de Syène, à midi le jour du solstice d’été, le soleil éclaire le fond des puits ».

Que signifie cette phrase énigmatique ? Tout simplement qu’à Syène, le 21 juin à midi, le soleil est exactement à la verticale du sol (et que ses rayons peuvent donc atteindre le fond des puits.)

Du point de vue géographique, avoir le Soleil à la verticale au solstice d’été signifie que l’on se trouve sur le tropique du Cancer. C’est ce qu’illustre la figure ci-contre, qui rappelle l’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre, et montre la position de Syène, située sur le lieu de l’actuelle ville d’Assouan, non loin du tropique.

A l’ombre du phare

Si le 21 juin à Syène, le Soleil est à la verticale du sol, c’est que la trajectoire de ses rayons à cet endroit passe par le centre de la Terre. Pour déterminer la circonférence de la Terre, Erathostène a alors réalisé une deuxième mesure.

Le 21 juin, mais cette fois à Alexandrie, il observa l’ombre du Phare, et mesura l’angle qu’elle formait avec son sommet (bon, pour certains, il ne s’agissait pas de l’ombre du Phare d’Alexandrie, mais de celle d’un simple morceau de bois).

Que ce soit un phare ou un bout de bois, le résultat est le même, Eratosthène observa que l’angle formé valait 1/50ème de cercle, soit 360°/50 = 7.2°. C’est ce qu’illustre le dessin ci-contre, dont j’ai exagéré l’angle pour que ce soit plus facile à visualiser.

Après avoir mesuré cet angle, Eratosthène fit ce qu’aurait fait tout bon élève de 5ème, il fit une figure et invoqua un théorème de géométrie.

La figure ci-dessous montre la surface de la Terre, et la manière dont les rayons du Soleil viennent la frapper le 21 juin à Syène (point A) et à Alexandrie (point B). D’après le théorème des angles alternes-internes, les deux angles en rouge sur la figure sont égaux.

L’angle au sommet du phare est donc égal à l’angle qui sépare les deux villes à la surface de la Terre. D’ailleurs le 7.2° que nous avons trouvé correspond à peu près à leur différence de latitude (31°12′ et 24°05′).

Puisque la mesure de cet angle par Erathostène à Alexandrie donne 1/50ème de cercle, la distance entre Syène et Alexandrie vaut 1/50ème de la circonférence de la Terre. Et pour calculer celle-ci, il ne nous reste plus qu’à connaître la distance de Syène à Alexandrie…et c’est là que le chameau entre en jeu.

A dos de chameau

Pour mesurer les distances, on sait qu’un chameau met environ 50 jours pour aller d’Alexandrie à Syène, et qu’en un jour il parcours une distance de 100 stades (le stade étant l’unité de distance en vigueur à ce moment là). La distance entre les deux villes est donc d’environ 5000 stades. Et puisque cette distance vaut 1/50ème de la circonférence de la Terre, c’est que cette dernière mesure environ 250 000 stades.

Euh, mais ça vaut combien un stade ? Apparemment, chez les Egyptiens, le stade valait 157.5 mètres. Ce qui nous donne comme estimation de la circonférence de la Terre 39 375 km. Pas mal quand on sait que la véritable valeur est environ de 40 000km !

Quelques éléments sur la validité de la mesure

Le calcul fait par Erathostène repose sur quelques suppositions que l’on peut mentionner et discuter.

La première, c’est bien sûr que la Terre est ronde ! Or on sait aujourd’hui qu’il s’agit plutôt d’une sphère légèrement applatie au niveau des pôles. Ce qui fait que la circonférence de l’équateur mesure environ 70km de plus que la circonférence qui passe par les pôles.

La deuxième supposition, c’est que les rayons du Soleil qui frappent la Terre sont bien parallèles entre eux. Cela revient à supposer que le Soleil est situé suffisament loin, ce qui en l’espèce est une approximation tout à fait raisonnable.

Enfin la dernière hypothèse faite par Eratosthène, c’est que Syène et Alexandrie sont situées sur le même méridien. C’est en effet une supposition implicite quand on réalise la figure qui nous a permis de conclure. Bien que les deux villes soient toutes les deux situées sur le cours du Nil, elle ne sont pas strictement sur le même médirien, comme le montre la carte ci-contre. Heureusement, Eratosthène commis une autre erreur qui compensa celle-ci : par la technique du chameau il sous-estima légèrement la distance entre les deux villes (il devait avoir des chameaux de compétition…)

A vous de jouer !

Pour reproduire le calcul d’Eratosthène, nul besoin d’aller en Egypte, ni d’attendre le solstice d’été pour s’y balader à dos de chameau. On peut utiliser deux villes quelconques, du moment qu’elle sont bien situées sur le même méridien. Pour cela il faut adapter un peu la mesure.

Supposons que vous viviez à Nancy, et que vous ayez un ami habitant Toulon. Le même jour, à midi au soleil, plantez un bâton bien vertical dans le sol, repérez l’ombre formée et mesurez chacun l’angle au sommet. Avec un tout petit peu de géométrie du triangle (voir ci-contre), vous pouvez vous convaincre que l’angle C est la différence entre l’angle B à Nancy et l’angle A à Toulon.

Il ne vous reste plus qu’à connaître la distance entre Nancy et Toulon, et vous retrouvez la circonférence de la Terre ! Bien sûr dans ce calcul, il y a aussi une hypothèse forte, celle qu’on puisse trouver du soleil à Nancy…

42 réflexions sur “La mesure de la circonférence de la Terre par Eratosthène

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  2. Je pense que l’on peut rajouter une hypothèse à ta liste, qui est évoquée implicitement dans l’article : la distance est basée sur une distance journalière parcourue par le chameau à la fois constante et bien connue (100 stades).

    Mais la température, la fatigue du chameau, la qualité de la route peuvent être autant de facteurs rendant cette distance journalière variable, et j’imagine que les 100 stades et les 50 jours sont plus un ordre de grandeur qu’une estimation précise. On devrait donc s’attendre à une marge d’erreur sur la distance assez forte, typiquement 20%.

    La bonne précision évoquée relève donc à mon sens du coup de bol. A moins que la méthode de mesure de la distance soit différente (la mesure de la longitude n’a été résolue complètement qu’au XVIIIe siècle par les Britanniques).

    • Tu as parfaitement raison, c’est cet effet que je mentionne à la fin en disant que les erreurs de distance et de longitude se compensent.

      D’après la fonction de mesure de distance à vol d’oiseau de Google Maps, la distance entre Alexandrie et Assouan est de 842 kilomètres, soit 5346 stades. Le coup de bol d’Eratosthène, c’est que les deux villes ne sont pas sur le même méridien, mais que cette sous-estimation de la distance lui a permis de retomber quand même sur la bonne valeur.

      Ca n’enlève rien à l’exploit, même s’il s’était trompé de 10000 kilomètres sur les 40000 km, j’aurai considéré ça comme une mesure vachement précise pour l’époque ! (encore qu’apparemment Aristote avait proposé 400 000 stades, mais je ne sais pas sur la base de quoi…)

  3. Je ne suis pas convaincu par la preuve.

    Il se pourrait très bien que la terre soit plate et que le soleil pas si loin que ça de la terre.
    À la louche, l’angle mesuré est environ de alpha=2pi/50=.125.
    Notons d la distance Alexandrie-Syène et D la distance terre-soleil.
    Dans mon hypothèse, on a tan(alpha)=d/D D’où, avec l’approx « quivabien » alpha=tan(alpha), D=d/alpha=40000 stades=6300km.

    Cette distance me paraît largement assez grande pour être crédible.

    L’explication que j’ai lue quelque part est qu’Eratosthène s’était dit que si la lune et le soleil était rond, il n’y avait pas de raison de penser que la terre était plate. De plus, on peut supposer que c’est l’ombre portée de la terre sur la lune qui cause les phases de la lune et l’observation de ces phases est beaucoup plus compatible avec une terre ronde qu’une terre plate.

    • Tu as bien raison de ne pas être convaincu par la « preuve », puisque ça n’en est pas une ! Eratosthène ne démontre pas que la Terre est ronde !

      Comme je l’ai écrit, il suppose que la Terre est ronde et le Soleil infiniment loin, et sous ces hypothèses se propose d’estimer sa circonférence. Et tu as parfaitement raison, une hypothèse alternative est que la Terre est plate et le Soleil « pas si loin que ça ». On doit même pouvoir forger pour le fun tout un tas d’hypothèses intermédiaires avec une Terre de courbure non-constante🙂

      • Dans ces écrits, il justifie que la Terre est ronde par le phénomène de disparition des bateau : en effet, quand les bateaux s’éloignent vers l’horizon, on les voit « disparaître », alors que ce ne serait pas possible avec un disque plat.
        Mais je dois avouer que c’est extraordinaire cette méthode pour l’époque, vue par les lycées en seconde (un petit calcul de tangente et hop, le tour est joué)

      • Eratosthène supposait la Terre sphérique parce que c’était une conviction établie, depuis deux siècles, parmi les philosophes et savants grecs, notamment les Pythagoriciens.
        Son calcul a apporté une confirmation supplémentaire que « la Terre est ronde », et une précision remarquable qui servira de base aux discussions jusqu’à l’époque de Christophe Colomb et de Magellan ! Strabon s’en servit, dans l’empire romain, pour expliquer qu’un bateau qui partirait d’Espagne et naviguerait vers l’Ouest atteindrait l’Inde après avoir franchi environ 180.000 stades. Les savants occidentaux ne l’oublieront jamais.

    • Un premier petit commentaire : l’ombre des phases de la Lune est celle de la Lune elle même, donc la Lune n’est pas un disque mais une sphère. En revanche, lors d’une éclipse de lune, il s’agit cette fois de l’ombre de la terre projetée sur la lune, ombre ronde … La Terre peut être ronde elle aussi.

      Un second commentaire : nul besoin d’être sur le même méridien, il suffit de mesurer l’ombre la plus petite, celle du midi local, puis de connaitre la distance séparant les deux parallèles : seulement la partie Nord-Sud.

    • « …De plus, on peut supposer que c’est l’ombre portée de la terre sur la lune qui cause les phases de la lune et l’observation de ces phases est beaucoup plus compatible avec une terre ronde qu’une terre plate. »
      Non, les phases n’ont rien à voir avec l’ombre de la terre, mais les éclipses de la lune par la terre oui !

  4. bonjour est ce que vous pouvez m’aidez car je dois trouvez la circonférence de la terre en km qui fait 39375 km mais ses pour un devoir maison mais je ne sais pas comment l’expliquer aidez-moi svp

  5. Pingback: Anonyme

  6. J’ai reçu d’un excellent ami épris de physique un livre épatant qui raconte la mesure de la grandeur de la terre par Eratosthène. Je viens de terminer la lecture de ce roman attachant de Denis Guedj « Les cheveux de Bérénice » Editions du Seuil. Je vous en recommande la lecture.
    Michel R.M.

    • Je confirme… C’est un livre absolument passionnant racontant jour après jour le voyage à dos de chameau (mulet) des assistants d’Ératosthène qui comptent les pas des animaux toute la journée et font des moyennes le soir à la veillée… On et bien loin des calculs mathématiques et des théorèmes arides…

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  11. la terre est ronde car le coeficient du caree de la somme prouve par a + b que la terre est ronde . Des satelittes aussi le prouvent surtout les satelites russe .le calcul de la circonference de la terre Erathosthene la casiment trouver a 1650 km pres . A vous de juger cela .

  12. je suis surpris par votre raisonnement selon lequel les deux villes ne sont pas sur le même méridien!!! si j’estime que la terre est une sphère, deux points pris au hazard définissent automatiquement un méridien, de même que deux autres points pris eux aussi au hazard définissent eux aussi un autre un méridien absolument égal au premier même s’il font un angle entre eux et ainsi de suite. Ne faites vous pas un anachronisme avec l’introduction d’un pôle et de méridiens passant strictement par ce pôle?

    • Je pense que vous confondez avec la notion de « grand cercle ».

      Je cite mon encyclopédie préférée :

      En géographie, un méridien est un demi cercle imaginaire tracé sur le globe terrestre reliant les pôles géographiques.

  13. Je n’ai jamais vu de mes yeux un satellite.
    13 000 en orbite + des millions de débris. Jamais vu ! Sur aucune photo.
    Hormis les schémas et les images de synthèse sur internet, et les prototypes au sol, je ne vois aucune preuve.
    Certains me diront qu’ils les voient dans le ciel. Ca reste une loupiote qui clignote. Pourquoi pas un avion en haute ou très haute altitude ?
    Même Google utilise des avions pour Google maps.

    Pour Eratosthène tout le monde l’aura compris, il part simplement de l’hypothèse que la Terre est ronde. Il n’a rien démontré, mais tout théorisé. Vous le savez, un raisonnement a beau être juste, si l’hypothèse est fausse, alors TOUT est faux.
    Lui comme tant d’autres ont théorisé sur du faux si la Terre s’avère plate (Einstein Newton Kepler etc.). Dramatique la taille du mensonge !

    Il ne reste plus que l’horizon éventuellement comme matière à discuter…
    Selon moi, il n’y a que dans Olive et Tom ou autres films que les objets disparaissent à distance.
    On peut voir la Corse en entier depuis Nice (180km) c’est normal ? « Un mirage » diront-ils. De cette qualité, bien sûr !

    Ce n’est plus qu’une question de croyance.Dans la Torah la Bible et le Coran, ou alors dans la NASA et les sciences modernes, qui sont justes mais peut-être bâties sur du Faux.

    • Cher Hugo,
      As-tu déjà trouvé par toi-même une pépite d’or, depuis que tu es né ? pourtant tu vois de l’or (alliances, dents en or, dorures, etc.) un peu partout et tu en utilises dans ton téléphone ou dans ton ordinateur tous les jours. Quel argument !
      Il suffit de regarder le ciel par une nuit sombre et sans nuage, même pas besoin de lunette, à l’œil nu et tu en verras des satellites… ça file à une vitesse impressionnante, et très régulière. Tu en verras beaucoup plus que des étoiles filantes par exemple. Ah oui, j’oubliais, les étoiles filantes ça n’existe pas de toute façon…
      La Terre tourne : le pendule de Foucault est là pour le prouver de manière INCONTESTABLE

      (ou bien achète un giroscope : tu te verras tourner autour !)
      La Terre est ronde, le calcul d’al Biruni est là pour le prouver de manière INCONTESTABLE
      https://owlcation.com/stem/How-to-Determin-the-Radius-of-the-Earth-Al-Birunis-Classic-Experiment

      Maintenant, il y a une autre certitude universelle : les ânes pensent que la Terre est plate et rien ne pourra les faire changer d’avis, ça c’est aussi incontestable.

    • Hugo, regarde ces 3 photos de la lune, la 1iere prise dans l’hémisphère nord, la seconde à l’équateur et la dernière dans l’hémisphère sud. Regarde bien les détails de la lune qui changent suivant la latitude de l’observateur. Crois tu pouvoir expliquer cela en partant de l’hypothèse de la terre plate?
      Alors qu’avec un globe, c’est simple, la verticale de l’observateur change en fonction de sa latitude, tout simplement…

  14. Pingback: Islamophobie - oliverstarc | Pearltrees

  15. En revanche je serais intéressé par des précisions sur son calcul de l’obliquité de la Terre. C’est l’histoire des angles alternes-internes ? Je précise que je ne suis pas mathématicien…

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  19. je vois beaucoup de photos des rayons du soleil qui arrivent de façon dispersée en sortant des nuages sur google.à mon humble avis les rayons du soleil ne nous viennent pas parallèle.donc j’ai un gros doute sur tout ça.

  20. Et pourquoi ne pas faire vos expériences et mesurer le rayon de la terre, sans aller à l’équateur, chez vous et seulement:
     » – Un chronomètre
    – Un manche à balai marqué de deux repères: B près de son œil quand on est debout, le manche à balai étant posé verticalement. Et A, près du sol, accessible quand on est accroupi ou couché… »
    Voir :
    http://l.facebook.com/l.php?u=http%3A%2F%2Fphilippe.boeuf.pagesperso-orange.fr%2Frobert%2Fastronomie%2Frayonterre.htm&h=EAQFoOpyg

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