La théorie de la relativité de … Galilée !

L’actualité scientifique de ces derniers jours a fait beaucoup de références à la théorie de la relativité restreinte. A cette occasion, j’ai pensé que c’était une bonne idée de rappeler que l’idée de relativité ne date pas d’Einstein, mais trouve son origine dans les travaux de Galilée.

On peut même considérer que la relativité restreinte d’Einstein n’est qu’une altération simple, mais lourde de conséquence, de la relativité de Galilée.

Mon idée dans ce billet sera donc de vous présenter cette relativité galiléenne d’une manière qui, je l’espère, rendra plus limpide la relativité restreinte à ceux qui l’ont apprise, ou à ceux qui souhaitent la découvrir bientôt.

Le principe de relativité

Il s’agit d’une expérience que nous avons tous vécue : lorsque l’on se trouve dans un train qui roule à côté d’un autre train immobile, il est parfois difficile de deviner lequel des deux se déplace véritablement. Cette sensation bizarre n’est qu’une des manifestations d’un phénomène plus général que Galilée fut le premier à comprendre, l’idée de relativité.

Considérons deux trains (ou deux bateaux, comme le fit Galilée), l’un à l’arrêt, et l’autre se déplaçant en ligne droite à vitesse V constante. Imaginons qu’à l’intérieur de chacun des deux trains, vous et un complice réalisiez chacun des expériences de mécanique en utilisant des billes, un pendule, des ressorts, tout le matériel qu’il vous plaira ! Ce que Galilée a réalisé le premier, c’est que ces expériences menées dans chacun des deux trains donneront toujours des résultats identiques, et c’est pour cela que nous sommes incapables de deviner lequel roule vraiment.

Cette constatation s’appelle le principe de relativité : les mêmes expériences de mécanique menées dans deux référentiels en translation rectiligne uniforme l’un par rapport à l’autre donnent exactement les mêmes résultats. J’insiste sur un point concernant cet énoncé: il ne s’agit pas d’un principe mathématique abstrait et encore moins d’un postulat, il s’agit d’un fait expérimental issu de l’observation ! Vous pouvez d’ailleurs aller lire l’excellent texte initial de Galilée sur le sujet : « Enfermez vous avec un ami dans la plus grande cabine sous le pont d’un grand navire…« 

Notez que ce principe n’est plus valable si on abandonne le mouvement rectiligne uniforme. Si votre train se met à freiner, à tourner, ou à avoir des à-coups, vous allez ressentir une force vous entraînant d’un côté ou d’un autre : vous pouvez donc savoir que vous êtes dans le train en mouvement. De même des expériences réalisées dans un manège immobile et dans un manège en rotation donneront des résultats différents : par exemple si vous posez une bille sur le sol d’un manège en rotation, la bille roulera vers l’extérieur à cause de la force centrifuge, alors que si le manège est à l’arrêt, elle restera immobile.

Le principe de relativité n’est donc vérifié que pour des référentiels en translation rectiligne uniforme l’un par rapport à l’autre, on appelle d’ailleurs ces référentiels des référentiels galiléens.

Les référentiels d’espace-temps

Pour aller plus loin avec le principe de relativité, précisons cette notion de référentiel. En mécanique, on cherche à étudier le mouvement des objets; et pour parler de la position ou de la vitesse d’un objet, nous avons besoin d’un référentiel qui nous dise comment mesurer l’espace et le temps. On peut voir un référentiel d’espace-temps comme une sorte de grille munie d’une horloge, qui va permettre de repérer les évènements en leur associant des coordonnées (x,t).

Il existe tout un tas de manières de choisir son référentiel. La figure ci-contre montre comment un même point peut être représenté par des coordonnées différentes dans deux référentiels différents.

En pratique, pour faire des calculs ou comparer des observations, on peut avoir besoin de changer de référentiel. Pour passer d’un référentiel R à un référentiel R’, il faut connaître l’opération mathématique qui permet de transformer (x,t), les coordonnées d’un évènement dans R, en (x’,t’) ses coordonnées dans R’.

La forme de cette transformation mathématique dépend des référentiels. Quand les référentiels sont fixes l’un par rapport à l’autre, c’est assez simple. Mais quand ils sont en mouvement relatif, trouver la transformation qui permet de passer de (x,t) à (x’,t’) devient plus compliqué.

Dans la suite, on va se limiter au cas qui nous intéresse pour appliquer le principe de relativité, celui des référentiels galiléens. Nous allons donc chercher la transformation mathématique qui permet de passer de (x,t) à (x’,t’) entre deux référentiels galiléens.

La transformation de Galilée

Si on suppose deux référentiels en mouvement relatif à vitesse V, et qui coïncident à l’origine, la solution la plus évidente à la question que nous nous posons est la suivante :

t'=t

x' = x - Vt

Cette opération simple s’appelle la transformation de Galilée. Elle suppose que le temps est absolu, et donc que la mesure du temps est identique dans les deux référentiels (t=t’). La transformation de Galilée possède plusieurs propriétés qu’il est bon de souligner.

De manière évidente, puisque le temps est absolu, elle conserve les intervalles de temps entre les évènements. En particulier si deux évènements sont simultanés dans R, alors il le seront aussi dans R’. La transformation de Galilée préserve la simultanéité. De la même manière, la transformation préserve les mesures de longueur : si à un instant donné on mesure la longueur d’un objet dans R, on trouvera une réponse identique si on réalise la mesure dans R’. Ces deux propriétés sont bien pratiques : elles signifient que deux observateurs dans deux référentiels galiléens seront toujours d’accord sur les mesures de longueur ou de temps.

Et enfin troisième conséquence, les vitesses se composent en s’additionnant : puisque x’ = x- Vt, on a dx/dt = dx’/dt’ + V. Pour connaître la vitesse d’un objet dans R, il suffit de connaître celle dans R’ et d’ajouter V. Là encore ça parait naturel : si vous lancez une balle à 5 km/h dans un train roulant à 100 km/h par rapport au sol, la balle ira à 105 km/h par rapport au sol !

La préservation de la loi de Newton

Une des conséquences cruciales de la transformation de Galilée nous vient du principe de relativité : les mêmes expériences de mécanique menées dans deux référentiels galiléens donnent des résultats identiques. Une manière plus abstraite de le dire, c’est d’affirmer que les lois de la physique sont identiques dans les deux référentiels, car si elles étaient différentes, on obtiendrait des résultats différents avec nos expériences !

Affirmer qu’une loi est la même dans deux référentiels, c’est affirmer que si on lui applique la transformation de changement de référentiel, elle ne doit pas être modifiée. Voyons si ça fonctionne avec la loi la plus importante de la mécanique classique, la loi de Newton qui nous dit que F=ma.

Cette loi appliquée dans le référentiel R s’écrit :

F=m\frac{d^2x}{dt^2}.

Si on transforme les coordonnées pour passer dans R’, on a t'=t et x' = x-Vt d’où on tire

m\frac{d^2x'}{dt'^2} = m\frac{d^2x}{dt^2}.

La loi de Newton est donc bien identique dans R’.

Nous venons de démontrer que la loi de Newton est préservée par transformation galiléenne, donc elle respecte le principe de relativité ! J’insiste sur le fait que ceci n’a rien d’évident a priori. La transformation de Galilée et la loi de Newton forment un ensemble cohérent. Si on avait imaginé une loi différente, par exemple F = m (dx/dt), on aurait trouvé que dans R’ F= m (dx'/dt')+V. Cette loi n’aurait pas été compatible avec le principe de relativité.

On voit qu’une fois on connait la transformation de Galilée, la compatibilité avec le principe de relativité impose une restriction sur les lois physiques possibles. C’est un point extrêmement fort, car il nous permet de faire le tri entre des lois physiques qui ont une chance d’être correctes, et celles qui ne peuvent pas l’être, car elles violeraient le principe de relativité.

La relativité restreinte en 3 minutes

Maintenant que vous savez tout sur la relativité de Galilée, nous allons voir en un mot comment la transformer en relativité restreinte.

La différence entre les deux se résume à un seul point : en relativité restreinte, la transformation de Galilée est remplacée par une autre transformation mathématique, la transformation de Lorentz. C’est tout ! Le génie d’Einstein, et des savants qui ont contribué à cette révolution, est d’avoir compris que bien que la transformation de Galilée soit LE choix évident, ça n’est pas le seul, et pas le bon !

Pour les curieux, la transformation de Lorentz permet de passer de (x,t) à (x’,t’) en appliquant les opérations suivantes :

t'=\frac{t-Vx/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}

x' = \frac{x - Vt}{\sqrt{1-V^2/c^2}}

où c est bien sûr la vitesse de la lumière. Oui je sais, c’est un peu lourd, on excuse Galilée de ne pas y avoir pensé. Évidemment, si on remplace la transformation de Galilée par celle Lorentz, toute les conséquences que je viens d’énoncer se modifient. En particulier, deux référentiels en translation rectiligne uniforme ne vont plus mesurer les mêmes intervalles de temps ou les mêmes distances, et les vitesses ne vont plus s’additionner normalement. C’est d’ailleurs cette nouvelle loi de composition des vitesses qui permet de rendre compte du fait que la lumière voyage à une vitesse identique dans tous les référentiels galiléens.

Et à cause du principe de relativité, même les lois de la mécanique vont changer. En effet notre bon vieux F=ma n’est pas préservé par la transformation de Lorentz, il va donc falloir le modifier un peu, mais c’est une autre histoire…

Pour aller plus loin…

Un point important pour les curieux : j’ai balancé sans explications la forme mathématique des transformations de Galilée et de Lorentz. D’où sortent-elles et qu’est-ce qui prouve qu’il n’y en a pas des tas d’autres possibles ? En fait, si on impose que les transformations sont linéaires et forment un groupe, on peut démontrer que les transformations de Galilée et de Lorentz sont les deux seuls choix possibles. Pas d’autre alternative ! La démonstration est assez facile, voir ici sur Wikipédia ou sur ce billet du Webinet des curiosités.

Einstein avait compris que la loi de Newton était invariante par la transformation de Galilée mais que les équations de Maxwell l’étaient par celle de Lorentz. Il fallait résoudre ce paradoxe, il l’a fait en montrant que Lorentz était le bon choix, et que la loi de Newton devait être modifiée, pour prendre une forme compatible.

15 réflexions sur “La théorie de la relativité de … Galilée !

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  2. J’avoue que je n’ai pas trop compris, mais je n’ai lu ce billet qu’une fois, je le relirai pour mieux le saisir, et j’ai seulement 16 ans, donc ce n’est pas si impressionnant. Mais je me pose quand même des questions : Si j’ai bien compris, pour que ces calculs soient justes, on supose que la vitesse de la lumière est constante dans le vide, et que l’espace est homogène.
    Or, il y a le vide, et la matière noire qui se trouve dans l’espace, et qui accélère les particules se trouvant à l’intérieur (ce qui fait que l’expension de l’univers s’accélère), donc, je me demandais de quoi on parlait exactement quand on parlait « du vide ». Puis, comme vous l’avez montré dans un de vos billets, les corps massifs peuvent dévier la lumière, et j’ai aussi entendu, mais je n’ai pas de sources fiables, que quand on approchait d’un trou noir, le temps ralentissait ; donc, l’espace n’est pas homogène, non ?
    Ce qui fait que cette théorie, même si elle a été vérifié a de nombreuses reprises, n’est pas tout à fait fiable, je me trompe ?
    Comme je l’ai dit précedemment, je suis encore jeune, j’ai pas tout compris, donc je peux me tromper ou avoir confondu plusieures choses, mais si vous pouviez m’éclairer sur ces petites questions, j’en serais reconaissante. Merci d’avance.

    P.S : Désolée s’il y a quelques fautes d’orthographes, ou si je n’ai pas employé les bons termes phisiques et/ou mathématiques. Et aussi, tel que je me connais, je risque de poser d’autres questions.

    • Oui il faut préciser le cadre de la théorie de la relativité restreinte : pas de gravité (donc pas de problème de trous noirs, matière noire, etc.) et pas de mécanique quantique (donc pas de fluctuations d’énergie du vide ou autres trucs de ce genre).
      Donc effectivement, espace homogène, isotrope, vide !

  3. Bonjour,

    Deux petites précisions à propos de :
    > En fait, si on impose que les transformations sont linéaires et forment un groupe, on peut démontrer que les transformations de Galilée et de Lorentz sont les deux seuls choix possibles.
    Premièrement, outre les transformations linéaires formant un groupe, il faut supposer l’espace-temps homogène et isotrope (c’est d’ailleurs, si je ne m’abuse, ce qui implique la linéarité des transformations).
    Deuxièmement, on démontre en fait que la transformation de Lorentz est le seul choix possible (pas de transformation plus générale), la transformation de Galilée n’en étant qu’un cas particulier (en posant 1/c=0).
    À noter au passage que cette valeur, nulle ou non, de 1/c joue un grand rôle dans l’« espace des théories » établi par Veneziano : http://fr.wikipedia.org/wiki/Gabriele_Veneziano#La_le.C3.A7on_inaugurale + note de bas de page 😉

    • C’est juste ! Je n’ai effectivement pas souligné que la transformation de Galilée n’est qu’un cas limite de la transformation de Lorentz. C’est d’ailleurs ce qui fait que pour tous les cas pratiques à vitesse faible, Galilée fonctionne quand même puisque dans la vie de tous les jours 1/c est presque nul !

      Quant à l’espace des théories, il ne date pas de la leçon inaugurale de Veneziano en 2005, puisque j’en parle déjà dans l’intro de ma thèse en 2004 🙂 Plus sérieusement, je ne sais plus de qui vient l’idée, mais elle est effectivement très chouette pour expliquer le paysage de la physique théorique !

  4. Le référentiel sert uniquement de balise, de point d’ancrage, pour étudier un mouvement. Il donne un cadre de validité à un ensemble d’équations vectorielles. Puisqu’un mouvement n’a de sens que considéré par rapport à un point de repère, ce référentiel est le premier préalable à toute étude en mécanique.

    Ensuite, dans un second temps, il faut pouvoir repérer les points dans ce référentiel, et projeter les vecteurs (forces, positions, vitesses, accélérations, …). C’est pour cela que l’on choisit un repère (au sens mathématique du terme), avec une origine, des axes orientés, des coordonnées et des unités.

    Petite précision sémantique donc, pour ne pas égarer les élèves de Terminale S (à qui l’on dit souvent : « premièrement on choisit un référentiel, deuxièmement, on choisit un repère… »), qui suivent votre blog : dans votre article le mot « référentiel » recouvre les deux sens des mots « référentiel » et « repère » tels que rappelés ci-dessus.

    En tout cas bel effort de vulgarisation, je me suis senti pendant un moment einstein-intelligent 🙂

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