0.999999…le nombre qui n’existe pas vraiment

 

De temps en temps, en maths, il y a des bizarreries qui peuvent nous faire des noeuds aux neurones. Parmi mes préférées, il y a le nombre 0.999999…, où les 3 petits points désignent le fait que la suite de chiffres « 9 » se poursuit à l’infini. Voyons un peu ce nombre paradoxal.

(image Wikipédia)

La notation décimale

Comme vous le savez, tout nombre réel peut être écrit sous forme décimale, c’est-à-dire en donnant une suite de chiffres avant et après la virgule. J’ai déjà eu l’occasion de parler de cette notation dans mon billet sur les nombres univers.

Pour les nombres les plus simples, cette suite est finie. Pour d’autres, la séquence des décimales peut être infinie mais en se répétant de manière périodique, par exemple :

22/7 = 3.142857142857142857142857…

Et enfin, pour les nombres les plus capricieux, cette suite est infinie et sans périodicité particulière. Aujourd’hui nous allons nous intéresser à une périodicité simple : un seul chiffre qui se répète.

0.xxxxxx…

Qu’a-t-on comme suite de décimales avec un seul chiffre ? Eh bien c’est facile :

0.111111111…

0.222222222…

0.333333333…

0.999999999…

Les premières ne sont pas très perturbantes. Elles correspondent d’ailleurs à des fractions bien connues, par exemple 1/9=0.111111…  ou 1/3 = 0.333333…

Mais regardez bien la dernière. Quelle différence voyez-vous entre 0.999999… et le nombre 1 ? La réponse est qu’il n’y en a pas. Ces deux nombres sont identiques !

Quelques démonstrations

Pour démontrer l’étrange égalité 0.999999…=1, on a plusieurs voies, plus ou moins rigoureuses. Démonstration intuitive, si on admet que 1/9 = 0.111111… et 1/3 = 0.333333…, alors on est bien obligé de reconnaitre que

0.999999… = 9*0.111111… = 9*(1/9) = 1

ou encore que

0.999999… = 3*0.333333… = 3*(1/3) = 1

Autre possibilité plus rigoureuse (ma préférée), appelons x notre nombre 0.999999…Si on multiplie x par 10, on a l’égalité

10*x = 9.999999… = 9 + 0.999999… = 9 +x

Or si 10x = 9+x, on peut résoudre l’équation et trouver que x=1.

Dernière démonstration, encore un peu plus formelle, en utilisant la définition précise de l’écriture décimale :

x = 9*(1/10) + 9*(1/10)^2 + 9*(1/10)^3 + ...

donc sous forme d’une série infinie on a

x = 9*\sum_{i=1}^{+\infty} (1/10)^i

et ça c’est une belle somme de termes d’une suite géométrique, et de mon temps on apprenait que ça donne

x = 9* \frac{1/10}{1-1/10} = 1.

Aux sources du paradoxe

Alors que je considérais ce nombre 0.999999… comme une simple curiosité de passage, j’ai découvert qu’il existe en fait une certaine littérature à son sujet ! Voir la page Wikipédia par exemple. Notamment des gens se sont intéressés à la pédagogie de l’explication, et à pourquoi il était parfois difficile de faire admettre à certains étudiants que 0.999999…=1.

On y découvre finalement des explications intéressantes. La première c’est que puisque tout nombre réel possède une écriture décimale, on s’attend intuitivement à avoir l’unicité de cette écriture. Or c’est faux, il existe plein de nombres qui possèdent 2 écritures décimales : en fait tout nombre dont l’écriture décimale est finie peut être écrit comme un nombre avec une « queue de 9 ». Par exemple :

42.18745 = 42.18744999999…

Autre source de paradoxe chez les élèves qui découvrent 0.999999…, la difficulté à concevoir que la suite de 9 est véritablement infinie, et pas simplement « très longue ». Enfin dernière subtilité, le fait que les étudiants voient 0.999999…non pas comme un vrai nombre, mais plutôt comme un procédé (« écrire des 9 les uns à la suite des autres »), procédé que l’on doit arrêter un jour ou l’autre. Dans le même genre, on peut s’amuser à se demander combien vaut 1-0.999999… et à le relier à l’inexistence dans R de nombre non-nuls infiniment petits.

D’ailleurs :

– Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule ?

– 0.999999…

Et vous, êtes vous véritablement convaincu que 0.999999…=1 ? Ou est-ce que vous avez encore un petit doute ?

 

49 réflexions sur “0.999999…le nombre qui n’existe pas vraiment

  1. Démonstration encore plus simple : deux nombres sont différents si et seulement si Il existe un troisième nombre, différent des deux premiers, qui soit compris entre les deux. Or il n’existe aucun nombre compris entre 0.999… et 1. Par l’absurde, on répond à la question.

    • On ne doit pas avoir la même définition de « simple ». Je pense que ma mère comprendrait la plupart des « démonstrations » de l’article. La tienne par contre, il y a trop de prérequis derrière.

      • C’est intéressant parce que ça n’est pas la même démonstration. Analysons un peu ce que racontent les 4 démos :

        * celle basée sur 1/3 × 3. On commence par admettre qu’on peut faire les multiplications de gauche à droite sur les développements décimaux – sans doute quitte à « faire remonter » une retenue éventuelle, et là « on voit » qu’il n’y en aura pas. Ensuite on utilise le « fait » que R est un corps.

        Bon, la morale pourrait être qu’on ne peut pas manipuler aussi facilement les développements décimaux (y a-t-il à l’infini une retenue qu’on ne voit pas ?); ou bien que R n’est pas un « vrai corps » – qu’il y faudrait peut-être une relation autre que l’égalité – peut-être précisément celle qu’on appelle en breton appartness (mais je n’ai pas envie de parler de logique intuitionniste, là). Pourquoi, au lieu d’abandonner l’idée que 0,999… < 1, ne pas plutôt abandonner 1/3 = 0,333… ? Il manque peut-être un pouillème à droite du signe égale ! Certes ça a l’air vrai, mais ?! Est-ce qu'ils sont égaux, ou est-ce qu’ils sont juste… pas séparables ?

        * celle basée sur 10 x = 9 + x (sans doute en effet la plus élégante). À nouveau, une manipulation douteuse : une soustraction faite de gauche à droite. Qui sait ce qui se passe à l’infini ? Puis, à nouveau, le fait que R est un corps – mais c’est sûr ça ?

        * celle basée sur la série géométrique. Là on fait quelque chose de conceptuellement un poil plus profond et intéressant : on affirme que l’écriture décimale désigne un être qui existe en-dehors d'elle ; et que cet être est « la limite » de la suite que David a écrite. Pourquoi des guillemets à « la limite » ? Parce que pour que ce genre de chose ait une limite il faut en général avoir « construit » R. Voilà une preuve qui ne convaincra que les gens qui savent que les réels classiques sont des classes d’équivalences de suites de Cauchy de rationnels… Mais bref, c’est quand-même le nœud du problème, les réels ne sont pas des suites de chiffres, ils sont (à la rigueur) désignés par des suites de chiffres. Je dis « à la rigueur » parce que comme je le disais dans mon autre commentaire, on n’a jamais fini de désigner un réel… puisqu’il faut donner une quantité infinie de chiffres pour ce faire.

        * la preuve de Rubisco, qui ne plairait pas à la maman de Brice. Cette preuve nous raconte donc que l'ordre lexicographique induit sur l'ensemble des développements décimaux par 0 < 1 < … < 9 n'est pas dense aux « développements impropres » ; et qu’il faut donc, *si on veut un ordre dense*, identifier les développements impropres aux développements propres bien choisis. Là, comme le dit Brice, il faut avoir quand-même une fameuse familiarité avec les réels classiques pour comprendre cette preuve. Quiconque la comprend n’a plus besoin d’être convaincu depuis longtemps. Quiconque a réellement besoin d’être convaincu demandera à ce qu’on lui explique pourquoi l’ordre est dense.

        Bref, toutes ces « preuves » ne peuvent convaincre que les convertis, ceux qui savent de toute évidence et de toute éternité que le modèle standard existe, que les réels sont un quotient d’un ensemble de suites de rationnels, muni d’une structure de corps et d’un ordre dense, pour les siècles des siècles, amen. Enfin bref, ironie à part, le profane convaincu par ces preuves est à mon avis victime d’une entourloupe, dans laquelle il se jette lui-même avec assez de plaisir : on fait appel en lui à une vision platonicienne des mathématiques ; toutes ces preuves devraient commencer par « bon, admet que les réels existent et sont un corps et que ceci et cela… ».

        Il ne faut pas abdiquer tout esprit critique… Il existe à ma connaissance au moins 2 ou 3 théories alternatives pour l’analyse réelle, où la question posée n’admet peut-être pas une réponse aussi simple (suivant la façon dont on l’interprète) : l’analyse constructive à la Bishop, l’analyse non-standard à la Robinson / Nelson, et l’analyse lisse de Bell (basée sur la théorie des topoi ; peut-être que l’analyse de Bishop en est un cas particulier, je n’entends point les topoi et ne peux en juger…).

  2. Bah moi j’ai un doute… 🙂 En fait ce que je trouve le plus étonnant c’est qu’il soit si facile de faire admettre à tant de gens qu’*un* réel est décrit par une infinité d’informations. Le vrai problème qui se pose, c’est celui de l’égalité en général, pas seulement entre les développements propres et impropres…

    • Pourquoi une infinité d’information ? « Une suite infinie de 9 », finalement, ça n’apporte que très peu d’information… non ?

      • Poup poup ! Eh non !
        Dans ta remarque, il y a un mot clef qui annule ta conclusion : infinité. C’est justement là le coeur du problème : le concept d’infini. Au final, et pour paraphraser H, si tu saisis le concept d’infini, tu est déjà converti. En gros, il faut attendre de déblocage conceptuel, vers l’infini (et au-delà…). C’est justement l’infinité d’information que tu ne peux pas visualiser. Et tant que tu cherches à « voir » le nombre, tu restes bloqué.

  3. A high-level explanation: The Cantor set is not homeomorphic to the interval. So when you take decimal notation (or notation for numbers with any base), there must be some identifications made to get a representation of real numbers.

  4. Un peu plus perturbant: on peut poser que ….9999999999999999999=-1

    Ben oui,
    1+-1=0 et
    ….99999999999999999999+1=000000000000000000000 avec la retenue qui se perd à l’infini.

    C’est exactement ce qui se passe en arithmétique des ordinateurs. En base 16
    -1=FFFFFFFF (sur 64 bits)

    • Je ne suis pas du tout convaincu par cela. Une « retenue qui se perd à l’infini » ne disparaît pas. Elle est vue comme un overflow dans les architectures informatiques et un flag est activé dans ce cas.

      De plus, -1=FFFFFFFF n’est que le résultat de la méthode du complément à deux… Elle permet de formaliser informatiquement l’écriture des nombres négatifs et de faciliter les calculs en prenant notamment le bit de poids fort comme indicateur de signe.

      Aucun concept mathématique fondamental à mon sens (peut-être que je passe à côté mais je vois pas…).

      • Une retenue à l’infini n’entraine pas forcément d’overflow. Exemple: -1+-1=-2 sans overflow. Pourtant
        -1=FFFF et FFFF+FFFF=1FFFE = FFFE + un bit de retenue.

        Sinon, d’un point de vue plus mathématique, quand on considère 0,9999… et qu’on écrit que 0,9999…=3*0,3333…, ce qu’on fait, c’est qu’on manipule des séries formelles.

        Sur ces séries formelles, on définit des opérations (+ et *) et on se donne une fonction f qui prend une série formelle et qui rend un réel. Coup de bol, si u_n et v_n sont deux séries formelles, f(u_n+v_n)=f(u_n)+f(v_n) et f(u_n*v_n)=f(u_n)*f(v_n). On a donc très envie:
        1. d’identifier u_n et f(u_n) ;
        2. de généraliser d’autres opérations qui marchent bien sur les réels aux séries formelles.

        Le 1. foire parce que deux suites différentes peuvent avoir la même image par f (par exemple f(1,0000…)=f(0,9999…)) ;
        Le 2. foire parce que la division ne s’étend pas aux séries: 1/1=1,0000… mais 1/1=0,9999…

        Ma remarque précédente, c’est qu’on peut très bien définir une addition et une multiplication sur des séries formelles indexées par les entiers relatifs. Dans ce cas là, la fonction g qui associe un réel à une telle série marche moins bien. Mais sur ces séries formelles, …9999+1=…0000. Donc tout ce passe comme si …9999=-1. Et c’est ce qui se passe sur les ordinateurs.

  5. Pingback: Podcast Science 74 – L’infini : quand il n’y en a plus, il y a Cantor

    • Si j’ai bien lu un précedent article le nombre PI contient certainement à un endroit de la liste des chiffres qui le composent une suite infinie de 9, alors …
      Bon je sais qu’il y a des infinités qui sont plus infinies que d’autres infinités…

      • Ah tu as mal lu le billet sur Pi (ou je l’ai mal expliqué…) : les décimales des nombres univers contiennent n’importe quelle suite FINIE. Donc il y a un endroit dans Pi avec une suite de 198204812859 fois le nombre 9, mais il n’y a pas la place pour une suite infinie !

        Quant aux infinis plus infinis que d’autre, il n’y en a pas tant que ça. Il y a un nombre infini d’entiers, et un nombre infini de réels. Il y a clairement « plus » de réels que d’entiers, mais il semble qu’il n’y ait pas d’infini plus infini que les entiers mais moins infini que les réels…sujet d’un futur billet !

      • « Quant aux infinis plus infinis que d’autre, il n’y en a pas tant que ça. »

        Je pensais que si justement. Cantor donne une méthode pour en créer autant qu’on veut.
        Si on part de l’ensemble des entiers naturels, par exemple, l’ensemble de ses parties est un infini « supérieur » car non dénombrable avec N.
        Mais ensuite, l’ensemble des parties de l’ensemble des parties de N est encore au delà.

        Cantor a prouvé par l’absurde que les parties sont plus infinies que l’ensemble. Pour cela, il s’est appuyé sur le paradoxe du barbier qui ne rase que ceux qui ne se rasent pas eux-même.

  6. Science étonnante:
    «Il y a clairement “plus” de réels que d’entiers, mais il semble qu’il n’y ait pas d’infini plus infini que les entiers mais moins infini que les réels…sujet d’un futur billet !»
    En fait, ce n’est pas tout èa fait exact, la réponse, c’est que c’est comme on veut. Le fait qu’il n’existe pas un infini compris strictement entre les naturels et les réels s’appelle l’hypothèse du continu et Cohen a démontré en 1963 que cette affirmation était indépendante des autres axiomes de la théorie des ensembles de ZF. C’est donc un énoncé indécidable, mais je ne voudrai pas gâcher le punch de votre prochain billet…

  7. Pingback: A voir | Pearltrees

  8. Pour ma part, je suis entièrement convaincu, et tu as presque quasiment modifier ma façon de concevoir les nombres ^^ J’ai cependant une question : 0,999999… à l’infini fois 10. Vu que la suite de 9 est infini, peut-on vraiment décalé l’infini d’un faction dix ? (question bête mais mes connaissances en maths sont bien limitée ^^)

    • > Vu que la suite de 9 est infini, peut-on vraiment décalé l’infini d’un faction dix ?

      C’est plus facile de décaler la virgule d’un cran vers la droite 😉

  9. Avec mes sabots de mécanicien: je trouve ici une petite confusion entre l’égalité « mathématique » ou identité et égalité physique qui est le résultat d’une opération ; en maths si on écrit a=b c’est que a et b sont la même chose et en physique on peut écrire pi=3,14159 ; et 1/3 vaut 0,333.. mais n’est pas identique à 0,333..
    Sur la même lancée on pourrait dire que 1/infini=0=2/infini , mais en maths 1/infini n’est pas identique à 2/infini , en physique , les 2 expressions ont le même résultat

  10. Tout d’abord merci pour cet article que je découvre (très) tardivement.
    Une autre manière devoir les choses est de changer de base (nous sommes souvent scotchés à la base 10): passons en base neuf!
    (1/9)b9=> 0,1 [n.b. la représentation numérique correspond exactement à la valeur cette fois ci] multiplions par 9 en base 9 i.e. (10)b9 et nous avons en base 9: 0,1×10= 1 il n’y a plus de problème de retenue et les égalités sont de véritables égalités et pas besoin de sommes infinies…

  11. Bonjour,
    C’est assez drôle que je lise cet article, car la première qu’on m’avait parlé de cette « bizarrerie mathématique » (si on peut l’appeler ainsi), je n’y avait pas cru et m’étais dit qu’il y avait quelque chose de plus compliqué caché derrière, que je n’avais pas compris sur le moment. C’est plus d’un an après que je lu la preuve la « plus simple », sur le site du zéro (maintenant OpenClassroom). Il utilisait la droite des réels et « zooms », pour montrer que si on fait tendre les décimales vers l’infini, on atteint le nombre 1.
    Mais maintenant une question vient de me traverser l’esprit, et je n’arrive pas à savoir si cela est vrai ou faux:
    On sait tous que 1 est un nombre naturel, comme tous les nombres entiers positifs, mais un entiers n’est pas donc pas, par définition, un nombre sans décimales ? Or, si on dit que 1=0.99999…, on dit alors que 0.9999.. est un entier naturel, non ?
    Après, l’explication que j’ai trouvé est que le résultat est vrai seulement si on se place dans les réels.. Mais cela ne me convient qu’à moitié, car ‘j’ai un peu l’impression de tourner le dos au problème..
    Donc si quelqu’un a une idée, je suis tout ouïe ! 😉
    Bonne journée.

    • > mais un entiers n’est pas donc pas, par définition, un nombre sans décimales ?

      Ben non : tu peux toujours écrire 1 comme ceci : 1,0. Ou même 1,00000… 😉

      Un entier, on a pas besoin d’écrire ses décimales.

  12. On retrouve cette confusion (des physiciens) entre l’identité et l’égalité du signe = ; il y a très longtemps en algèbre linéaire , mon prof m’avait fait découvrir que si on écrit A=B , ce n’est pas que la chose A vaut la chose B , mais A et B sont la même chose ,donc que 0.999.. est identique à 1-1/infini et que 1-0.999… est identique à 1/infini et que si on ajoute une infinité de fois (1-0.999…) on obtient comme résultat 1 qui n’est pas zéro et que donc 1 n’est pas identique à 0.999…, même si le résultat de 1/infini est égal à zéro

  13. Non, mais on peut dire que 0,98999999999 = 0,99
    En gros dès qu’on a une suite infinie de décimales « 9 », on peut la supprimer et augmenter la dernière décimale « non-9 » d’une unité.

    • Merci pour votre réponse! Je lis votre blogue avec engouement et j’admire votre manière à la fois simple, mais pas enfantine et trop vulgarisée d’expliquer des faits de science qui m’étaient jusqu’alors inconnus. 🙂

  14. Pingback: Et si tu n’existais pas… | L'Endormitoire

  15. Je ne suis pas tout à fait d’accord avec ces démonstrations qui, à mon sens, néglige une nuance importante.

    Elles seraient vraies seulement si 1/9=0.1111111…, 1/3=0.3333333… Or ce n’est pas le cas, 0.11111.. et 0.33333 sont des approximations qu’oblige le système décimal en base 10.

    Ce que traduisent ces notations, ce sont deux limites dont les valeurs d’adhérence sont respectivement 1/9 et 1/3 et du coup, il en est de même pour 0.9999999…, c’est une suite dont la valeur d’adhérence est 1.

    Mais si l’on est rigoureux, il est obligatoire d’admettre qu’une limite N’est PAS sa valeur d’adhérence, et ce même à l’infini, car par définition, la suite n’atteint jamais cette valeur tout en s’en approchant indéfiniment.

    Il en va de même pour les asymptotes en analyse, et pour tout ce qui touche de près ou de loin à l’infini. Je pense qu’il faut distinguer une suite ou une fonction convergente de la valeur vers laquelle elle converge, et admettre ainsi qu’il existe des nombre infiniment petit, des infinitésimaux, sans quoi l’analyse se heurte à des paradoxes innombrables de ce type.

    Ceci étant évidemment un argument théorique et plutôt axé sur les fondements des mathématiques que sur leur pratique courante, car la pratique ne s’encombre pas de telles considérations et fonctionne très bien sans.

    • > il en est de même pour 0.9999999…, c’est une suite dont la valeur d’adhérence est 1.

      Dans 0,9999… On a pas d’information sur la longueur de la suite, on sais juste qu’elle est infinie (mais lequel?).

      Comme il y a une infinité d’infinis, je ne trouve pas choquant que 0.9999… = 1. Le plus grand des infinis est l’absurde, alors en toute rigueur…

      • Vu que c’est une suite, chaque terme est indicé par une valeur naturelle (dans N), c’est donc de l’infini dénombrable qu’il s’agit, et c’est vrai pour toutes les suites.

        L’argument selon lequel une infinité d’infinis impliquerait que 0.999999… =1 est donc mis à mal. Mais au delà de ça, si les valeurs d’une fonction tendent vers un point sans jamais l’atteindre (dans le cas d’une asymptote par exemple), le nombre de valeurs qui tendent vers ce nombre sera infini indénombrable mais malgré ça, la valeur ne sera jamais atteinte. (indénombrable c’est à dire, un infini qu’on ne sait même pas indicé par des valeurs de N, il est tellement « dense » que si on essaye de l’indicer par des valeurs de N, on peut toujours trouver une nouvelle valeur qui ne soit pas indicée, c’est l’infini des nombres réels ou l’infini continu.) Ceci montre que même si un nombre infini indénombrable de termes tendent vers une valeur, il est possible de ne pas atteindre cette valeur.

        Et je ne comprends pas bien ce que tu veux dire par le fait que le plus grand des infinis est absurde.

  16. Je reviens en simplifiant mon précédent commentaire : 0.9999.. est égal à « (infini-1)divisé par infini » ; 1 est égal à « infini divisé par infini  » ; les 2 « expressions » ne sont pas identiques , même si elles sont égales en valeur

  17. Pingback: Les fractions continues | Science étonnante

  18. Pingback: Les fractions continues Actualités

  19. Cet article me choque un peu. Sans explication, l’auteur nous annonce que 1/3 = 0.333333… et base tout l’article sur ce postulat. 3 x 1/3 = 1 et c’est vrai. Mais 1/3 est surtout égal à 0.333333 + epsilon. Epsilon c’est le signe des trois petits points. On ne peut pas l’ignorer comme cela par magie. De là il est impossible d’annoncer que 0.99999… = 1 parce que parait-il 3 x 0.3333333… = 1. Vous ne connaissez pas Epsilon, et vous ne pouvez pas l’annuler.
    Epsilon, ce pouième est différent pour chaque nombre décimal périodique.

    0.99999… C’est une asymptote. Ce nombre ne sera jamais 1. Mais aucun autre nombre ne peut en être plus proche.

    Aparté: Toute surface peut être divisée en deux parties égales.
    Mais ne peut être divisée en trois parties égales.
    On ne peut diviser en parties égales une surface que lorsque l’inverse d’epsilon est une valeur finie ou nulle.
    Pour 1/2, epsilon égale 0. Pour 1/3, epsilon est décimalement infini. Dans l’infiniment petit, un tiers de quelque chose est une approximation. Dans notre langage nous avons donné un nom à cette part mais elle ne reflète pas la réalité mathématique de l’entièreté divisée par trois.
    Du reste, si je devais sommer mes tiers, je ne reconstituerai jamais l’entièreté. Car je ne peux posséder epsilon. 0.999999… est différent de 1. Mais en temps qu’être humain, je peux admettre que c’est égal à 1. Je n’ai pas le pouvoir divin de courir après le 1 – 0.999999999… qui manque.

    • Je crois comprendre ce que vous voulez dire. Mais il faut faire attention à ne pas confondre le nombre en lui-même, et sa ou ses représentations. Le nombre existe indépendamment de tout système de numération et les symboles que nous utilisons pour l’écrire ne sont pas le nombre.

  20. On peut décider de façon arbitraire que 0.333333… = 1/3 et trouver des équivalences magique.
    Mais on peut aussi décider que le signe « … » n’a aucun sens dans le système numéraire.
    Dans ce cas nous affirmerons par exemple que :
    1 = 1
    1/3 = 1/3
    0.9 = 0.9
    0.999999 = 0.999999
    0.9999999999999999 = 0.9999999999999999
    Et nous serons d’accord avec l’affirmation « 0.999999… le nombre qui n’existe pas vraiment » ; nous dirons même : « 0.999999… le nombre qui n’existe pas ».

    • Je crois que c’est la meilleure réponse ; on peut en effet parler à l’infini des choses qui n’existent pas et en exemple , j’affirme que les martiens n’ont pas la peau verte …personne ne pourra prouver que c’est faux

  21. La démonstration préférée de David contient toujours, à l’instar des autres, un biais. En effet:
    10x n’egale pas 9+x mais 9x+x
    Mohwali Awamar

  22. Oui, donc, en clair, il y a pleins (une infinité) de nombres qui n’existent « pas vraiment »… 0,99999…. qui représente le nombre 1 mais aussi 1,999999…. (qui représente le nombre 2, puisque 2 peut s’écrire 1+1 ou 1+0,99999… = 1,999999…) et aussi 3 et 4 et … tous les entiers strictement positifs… par contre mon raisonnement ne marche pas pour les négatifs ou 0, mais est-ce qu’on peut le démontrer (que -1 = -0,9999999… ?) et pour 0 ??

    • 0,999… est une valeur par défaut de l’unité (1). Il est assujetti au « quel que soit , il existe » . 0,001… est ce qui manque à 0,999… pour valoir l’unité(1). En vérité, le un (1) comme le zéro (0), est ce qui n’existe pas vraiment.En somme , le couple (0,1) est en réalité (zéro, infini).
      Mohwali Awamar

      • En fait, je me pose la question parce que si effectivement les entiers négatifs et zéro sont représentables par des « nombres avec des queues de 9 qui n’existent pas », alors j’ai une bijection (tous les entiers, sans parties décimales se complètent avec une queue de 9 et comme dit plus haut : 0,5 peut s’écrire 0,4999999 et 0,567 peut s’écrire 0,56699999… etc. Idem pour tout nombre réel positif) entre les nombres réels finis et les nombres réels finis avec une queue de 9. Du coup, il existe une infinité non dénombrable de réels avec une queue de 9 (qui n’existent pas vraiment). Mais avec les négatifs je pense que ça ne marche pas on aurait comme équivalent négatif une infinité de 0 suivi d’un 1 (exemple -5,0000…1 = -5… et ça marche moins bien !)

      • Ah oui, ça y’est. Je prenais l’approche des entiers négatifs du mauvais côté. En fait, si 0,9999… est une autre façon d’écrire 1, alors -1 peut s’écrire -1*1 ou -1*0,99999… = -0,999999… et de là -2 peut s’écrire (-1)-1 ou (-0,9999…)-1 = -1,9999… et idem pour -3, -4, et tous les autres négatifs. Reste le cas du zéro… qu’on l’approche par la « gauche » ou par la « droite », il n’y a pas de « queue de neufs » à exploiter… sinon, je crois que le fait que je peux établir une bijection entre les réels « finis » (i.e. avec un nombre finis de chiffres après la virgule) et leurs équivalents avec queues de 9, en font un ensemble infini mais dénombrables (puisque je ne suis plus dans un domaine « continu » si je ne garde que les réels avec un nombre finis de décimales). …Reste le cas du zéro. Comment prouve-t-on qu’il n’existe pas de nombres (positifs ou négatifs) infiniment proches de 0 ?

  23. Plus on se rapproche de zéro , selon qu’on le fait par valeurs négatives ou positives on est dans l’infiniment grand ou l’infiniment petit. C’est pourquoi l’infiniment grand et l’infiniment petit sont si proches. Ce qui veut dire que la distinction entre zéro et l’infini est instantanée, à la limite de la superposion.
    Mohwali Awamar

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s