La localisation d’Anderson

Il y a quelques mois, au cours d’un dîner consacré à Votons pour la Science, je discutais avec mes comparses blogueurs Xochipilli et Jean-Michel Courty. La conversation portait notamment sur le buzz associé à l’inévitable boson de Higgs.

Jean-Michel a alors fait remarquer qu’à son avis, il existait d’autres résultats très importants, et dont injustement on ne parlait pas assez.

« - Ah bon ? Quoi ?

- La localisation d’Anderson, par exemple ».

Je dois avouer qu’à ce moment là, je n’avais pas une idée très claire de ce qu’était la localisation d’Anderson, même si ça me rappelait vaguement des conversations de machine à café avec certains de mes collègues de labo.

Pour réparer l’injustice soulevée par Jean-Michel, j’ai décidé de relever le défi et de vous parler aujourd’hui de la localisation d’Anderson, qui a valu à son auteur le prix Nobel en 1977. Pour vous mettre l’eau à la bouche, vous allez découvrir un effet que l’on peut rapprocher de la supra-conductivité, mais à l’envers ! Une sorte de supra-résistivité, donc…

Deux modes de transport

Pour aborder le phénomène de localisation d’Anderson, il nous faut d’abord comprendre comment se propage le courant électrique. En physique, quand un phénomène se propage, il peut généralement le faire de deux manières assez différentes.

La première nous est bien connue, c’est un déplacement en ligne droite, avec une vitesse V bien définie. On appelle cela le transport balistique, par analogie avec un projectile. Dans le transport balistique, le temps de parcours T et la distance parcourue D sont reliés par la simple relation D = V*T, ou encore T = D/V, c’est-à-dire que le temps de parcours est proportionnel à la distance. Tout cela est très simple, mais malheureusement ça n’est pas comme ça que fonctionne le courant électrique !

Il existe en effet un autre mode de transport appelé la diffusion. Prenez par exemple une goutte d’encre et déposez là dans une bassine d’eau : l’encre progresse dans l’eau, mais elle semble le faire de plus en plus lentement : elle diffuse. La diffusion se produit quand l’objet qui se déplace ne le fait pas en ligne droite, mais subit de nombreuses collisions qui modifient sa trajectoire. Le schéma ci-contre compare le transport balistique et le transport diffusif.

Une grosse différence entre la diffusion et le cas balistique, c’est que le temps de parcours n’est plus proportionnel à la distance, mais à son carré ! On note généralement T = D^2/S, S est appelé le coefficient de diffusion. Plus celui-ci est élevé, plus le temps de parcours est faible.

Un exemple bien connu de transport par diffusion, c’est la chaleur. Et comme preuve que le temps de diffusion est proportionnel au carré de la distance, on peut facilement vérifier que si vous doublez l’épaisseur d’un mur, le temps que met la chaleur à le traverser est multiplié par 4.

Le courant électrique : un phénomène diffusif

Vous le savez peut être déjà, il existe beaucoup d’analogies entre la chaleur et l’électricité, et le transport du courant électrique est lui aussi un phénomène diffusif. Le coefficient de diffusion du courant dans un matériau est proportionnel à sa conductivité électrique.

Un des premiers modèles pour comprendre le courant électrique a été proposé en 1900 par Paul Drude. Il a supposé (correctement) que le courant électrique était dû au déplacement des électrons, et que le choc de ces derniers contre les atomes du métal provoquait un comportement de diffusion. Il a alors proposé que le coefficient de diffusion (donc la conductivité électrique) soit lié à une quantité appelée libre parcours moyen, et qui reflète la distance moyenne que parcourt un électron entre deux chocs.

Le modèle de Drude a depuis été remplacé, mais il fonctionne assez bien pour beaucoup de matériaux. Un seul détail est à corriger : les électrons subissent effectivement des chocs dans le métal, mais pas à cause des atomes, uniquement à cause des défauts : c’est-à-dire les atomes mal placés, manquants, ou les impuretés dans le métal. C’est ce que représente le schéma ci-contre.

Un électron qui se promène dans un métal ne subit donc pas une collision à chaque atome qu’il croise, uniquement lorsqu’il s’agit d’une impureté. Ainsi typiquement dans un métal classique, un électron parcours une centaines de nanomètres entre deux collisions. C’est son libre parcours moyen.

La prophétie d’Anderson

Bien des années plus tard, en 1958, notre connaissance de la conduction électrique s’était beaucoup améliorée, notamment grâce à l’avènement de la mécanique quantique. Paul Anderson, alors chercheur aux Bell Labs, propose un petit calcul étonnant, passé assez inaperçu lors de sa publication.

En principe, plus un métal contient d’impuretés, plus le libre parcours moyen diminue, plus la conductivité baisse. On s’attend donc une diminution progressive de la conductivité quand la quantité d’impureté augmente. Mais Anderson suggère que si on augmente trop le nombre d’impuretés, il se produit une transition assez violente et un métal peut devenir soudainement très isolant !

Pour comprendre l’origine de l’argument d’Anderson, il faut vous souvenir d’un des ingrédients clés de la mécanique quantique : la dualité onde/corpuscule. Ce principe nous dit que la matière est comme la lumière, elle se comporte tantôt comme une particule, tantôt comme une onde. Les électrons n’échappent pas à cette loi, et peuvent eux aussi se représenter par une onde. On peut même calculer la longueur d’onde associée aux électrons d’un métal, grâce à la relation dite de De Broglie : je vous passe le détail mais on trouve une valeur de l’ordre d’un nanomètre.

Si on voit un électron comme une onde, son parcours dans un métal ressemble donc à celui du schéma ci-contre : l’onde se propage en ligne droite, et elle change de direction quand elle rencontre une impureté.

Si vous êtes observateurs, vous remarquerez que mon dessin n’est pas trop à l’échelle. Je vous ai dit que dans un métal normal, le libre parcours moyen était d’une centaine de nanomètres, et la longueur d’onde d’environ un nanomètre. Sur mon dessin, le libre parcours moyen n’est que de 3 ou 4 fois la longueur d’onde. Mon schéma, correspondrait donc à un cas où il y a vraiment beaucoup d’impuretés ou de défauts.

Maintenant imaginez qu’on augmente encore le nombre de ces impuretés ou de ces défauts, on peut se retrouver dans une situation où le libre parcours moyen de l’électron devient inférieur à la longueur d’onde : après chaque collision l’onde n’a même plus le temps de se développer qu’elle rencontre une nouvelle impureté qui la diffuse !

Nous voici alors dans ce qui s’appelle la localisation d’Anderson : les ondes associés aux électrons sont tellement perturbées par les impuretés que le transport du courant par diffusion se trouve totalement inhibé, les ondes sont confinées (on parle donc de localisation) et la conductivité électrique tombe soudainement à zéro ! C’est ce qu’on appelle une  « transition métal/isolant induite par le désordre ».

Des preuves expérimentales

Le calcul d’Anderson, raffiné ensuite par lui et d’autres physiciens, est évidemment une théorie qui demande des confirmations expérimentales. Et ça n’est pas si facile que ça, car l’annulation de la conductivité prévue par Anderson se produit à une température nulle, c’est à dire au zéro absolu (-273.15°C). Si on est à température non-nulle, le métal peut retrouver un peu de conductivité thermique car les électrons sont agités par la température, et peuvent s’échapper du piège de la localisation.

Pour mettre en évidence l’effet, on utilise un métal (du silicium par exemple) dans lequel on introduit artificiellement des impuretés (sous la forme d’atomes de phosphore qui prennent la place de certains atomes de silicium).

Si on mesure la conductivité électrique en fonction de la température pour différents niveaux d’impuretés, on obtient des courbes comme celles schématisées ci-contre.

On observe donc qu’en dessous d’un certain seuil critique d’impuretés, la conductivité à température proche de zéro augmente (on a un métal), alors qu’au dessus de ce seuil elle diminue (on a un isolant). On a bien une transition métal/isolant en fonction de la quantité d’impuretés !

Alors la localisation d’Anderson, aussi sexy que la supraconductivité ou le boson de Higgs ?

Pour aller plus loin : la localisation d’Anderson, une véritable industrie

Les recherches sur la localisation d’Anderson occupent pas mal de chercheurs depuis 50 ans : des théoriciens, des expérimentateurs, et beaucoup d’expérimentateurs "numériques" qui réalisent des simulations. Le terme d’"industrie" n’est pas de moi, il vient de la communauté des spécialistes du sujet ! Mais j’ai pu constater après quelques recherches biblio qu’en moyenne, il sort un papier par jour ayant trait de près ou de loin à la localisation d’Anderson. Et ce depuis au moins 20 ans. C’est moins que la supraconductivité, mais c’est quand même pas mal ! D’ailleurs il y a beaucoup d’analogies entre les deux sujets : les deux concernent des transitions de phase liés à des effets quantiques dans la matière condensée.

Pour comprendre ce sur quoi théoriciens, numériciens et expérimentateurs s’arrachent les cheveux, il faut revenir sur cette idée de transition de phase. On peut montrer que la transition métal/isolant induite par le désordre est du second ordre (c’est-à-dire "continue"), et qu’elle obéit à une loi du genre

\sigma(T=0) \propto (n-n_C)^{\mu},

\sigma est la conductivité thermique, n_C désigne la densité critique d’impuretés, et \mu est l’exposant critique associé à la transition. Toute la question est : combien vaut cet exposant ? Les simulations actuelles semblent pointer vers une valeur légèrement supérieure à 1.5, mais dans les expériences on est souvent en dessous de 1.

Il faut dire qu’expérimentalement, il n’est pas facile d’aller chercher cet exposant ! Il faut en effet extrapoler des conductivités à température nulle, et s’assurer qu’on s’affranchit bien de tous les effets perturbateurs.

C’est pourquoi depuis pas mal d’années, des physiciens ont cherché à observer la localisation d’Anderson dans d’autres systèmes que les électrons d’un métal. En effet le phénomène est tout à fait général, et l’argument d’Anderson vaut pour n’importe quelle situation où une onde se propage dans un milieu très désordonné : il peut s’agir d’une onde lumineuse, de micro-ondes ou même d’ondes acoustiques, comme l’a démontré une équipe issue notamment de l’Université Joseph Fourier de Grenoble. Au moins aussi fort, une autre équipe française conduite par Alain Aspect a démontré la même année l’existence de la localisation d’Anderson dans les ondes de matières.

Parmi les autres thèmes de recherche, on peut citer le cas des systèmes de dimension 1 et 2. En effet Anderson a montré que dans les cristaux 3D, les impuretés détruisent la diffusion au delà d’une certaine concentration, mais en 1D ou 2D, son calcul montre que la localisation est inévitable : la moindre petite impureté détruit la conduction électrique. Et pourtant il semble que dans le graphène et d’autres systèmes bidimensionnels, la conduction existe bien. Pour totalement résoudre ce mystère, il faut prendre en compte un aspect qu’avait négligé Anderson, les interactions entre les différents électrons du matériau. Ce petit détail est justement le même que celui qui rend la supraconductivité si difficile à percer. La recherche en physique de la matière condensée à encore de beaux jours devant elle !

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8 réponses à La localisation d’Anderson

  1. Brice dit :

    Typo "Une grosse différence entre la diffusion est le cas balistique" -> "et" au lieu de "est"

  2. Gyom dit :

    Si je ne me trompe, pour clarifier, remplacer "la conductivité à température augmente" par "la conductivité diminue quand la température augmente (on a un métal)"

  3. Brice et Gyom : merci pour les corrections ! Il y en a surement d’autres, j’ai un peu eu du mal à accoucher du billet hier soir, et la relecture n’a pas été performante !

  4. Alex dit :

    Bonjour,
    Effectivement, je n’avais jamais entendu parler de la localisation d’Anderson, et le lien avec la longueur d’onde compton de l’electron fait bien sens dans la description du phénomène.
    Par contre, la presentation du phenomene general de conduction laisse entendre que la nature du courant électrique dans un métal est purement diffusif. Il y a tout de meme un mouvement d’ensemble des électrons, provoqué par un champ electrique, qui fait que globalement la vitesse moyenne (moyenne au sens vectoriel) n’est pas nulle. Pour quelqu’un de la partie, la précision n’est pas nécessaire, mais pour le néophyte ( et à fortiori, le lycéen) , il me semble important de faire la distinction, et au moins préciser la cause du deplacement conductif.
    Je chipotte un peu, mais je suis prof de physique en lycée justement, et j’imagine assez les confusions qui pourraient émerger chez nos chers petits :)
    Sinon, très interresant, comme d’habitude: je te lis avec plaisir chaque semaine!

    • Mince, tu as raison ! Je n’avais pas réalisé que ça pouvait semer le trouble. J’espère que les lycéens liront le billet jusqu’à ton commentaire !
      Du coup je me pose des questions sur la bonne manière de présenter. Une fois introduit le libre parcours moyen, on peut parler de "tau" le temps moyen entre deux collisions et introduire un terme de friction comme dans le modèle de Drude, où on a une force de frottement en m.v/tau ?

      • Alex dit :

        Oh, je ne pensais aller si loin dans.la desçription du modèle de Drude, juste préciser qu’il faut une cause au deplacement d’ensemble, pour ne pas laisser s’installler l’idée qu cylindre de cuivre livré à lui même pourrait être le siège d’un courant électrique. L’origine du transfert diffusif est implicitement présente dans ton billet, quand tu compares avec la chaleur. Là, c’est suffisament proche de l’expérience quotidienne pour qu’il n’y ait pas d’ambiguité : on imagine bien qu’il ne risque pas d’y avoir de transport global s’il n’y a pas de différence de température. Mais pour le passage au courant électrique, on risque peut être de se poser la question. On peut évoquer la différence de potentiel, mais je ne suis pas certain que soit plus parlant pour les élèves. E revanche, les premières S renouent avec le champ électrique, et on va en reparler cette année en terminale en méca ( alors que la notion de champ avait disparu du précedent programme), donc mentionner cette cause là me parait judicieux. Après, libre à toi d’aller plus loin, mais je ne pense pas que cela soit nécessaire à ton propos, qui est de décrire le déplacement d’ensemble de ce gaz d’électrons et d’expliquer l’origine de la résistance.

  5. Xochipilli dit :

    Super intéressant comme d’hab! Ca me rappelle les phénomènes de "percolation" avec effet de seuil, où la création d’un front continu change brutalement les propriétés du matériau (magnétique par exemple). Un truc que je ne comprends pas: pourquoi la température joue-t-elle un rôle dans la conductivité?

    • Oui effectivement, on peut rapprocher ça de la percolation dans le sens où c’est une transition de phase. Mais du point de vue du mécanisme, on peut aussi rapprocher des phénomènes de diffraction/interférences : il se produit quelque chose car la longueur d’onde ne peut pas être considérée comme "grande" devant les autres longueurs en jeu. D’ailleurs une des explications données pour expliquer l’annulation de la diffusion dans la localisation d’Anderson, c’est justement un phénomène d’interférences destructives.

      Pour le rôle de la température, et le fait qu’elle favorise la conduction d’un matériau qui serait structurellement isolant, il faut penser à la structure de bande des solides : si on a un semi conducteur "parfait", à température nulle la bande de valence est totalement remplie et la bande de conduction vide. Le semi-conducteur est isolant. Mais dès que la température est non-nulle, des électrons peuvent être thermiquement excités, et sauter dans la bande de conduction, et ils conduisent l’électricité.

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