Comment estimer la puissance d’une bombe atomique à partir d’une photo ?

explosion bombe atomiqueLe 16 juillet 1945, l’armée américaine fit exploser pour la première fois une bombe atomique dans le désert du Nouveau-Mexique. Quelques années plus tard, le gouvernement décida de publier les photos de l’explosion, montrant le fameux champignon devenu depuis le symbole de l’arme nucléaire.

A part les photos, très peu de détails avaient été donnés sur la bombe, et bien évidemment la puissance de l’explosion relevait du secret défense. Mais pas de bol, un petit malin a montré qu’avec une seule photo et quelques lignes de physique élémentaire, on pouvait recalculer la puissance de la bombe !

La première bombe atomique

Cette histoire est celle d’un programme scientifique incroyablement ambitieux : le projet Manhattan. Au début des années 1940, le gouvernement américain décide de se lancer dans la course à l’arme atomique, afin notamment de contrecarrer les ambitions de l’Allemagne nazie dans ce domaine. Au milieu de 1945, après plusieurs années d’une recherche intense menée par les plus grands cerveaux du moment, ils sont enfin prêts à fait exploser leur premier engin.

GadgetLe premier test, baptisé du nom de code « Trinity« , a lieu dans le désert du Nouveau-Mexique le 16 juillet 1945, et il marque officiellement l’entrée du monde dans l’ère atomique. Ce test (dont on voit l’engin ci-contre) se déroule comme prévu, et on connaît la suite : quelques semaines plus tard, 2 bombes larguées sur Hiroshima et Nagasaki provoquent la reddition du Japon et mettent fin au dernier conflit de la deuxième guerre mondiale.

Quelques années après la fin de la guerre – peut être pour impressionner leur opinion publique – les militaires américains décident de déclassifier les photos du test Trinity, qui se retrouvent donc publiées dans la presse. Mais secret-défense oblige, ils choisissent de ne rien révéler de la puissance de la bombe.

Tout cela est sans compter sur un physicien britannique, Geoffrey Taylor, qui publie un article démontrant que les photos suffisent pour estimer la puissance de la bombe [1] … et pour cela il suffit de faire un peu d’analyse dimensionnelle !

Comme je ne suis pas sûr que cette notion soit enseignée sous ce nom au lycée, avant de parler de la bombe, revenons quelques instants sur cette idée centrale en physique.

Vérifier les unités

Quand j’étais au lycée, notre prof de physique se fâchait tout rouge si l’on osait proposer un résultat dont les unités n’étaient manifestement pas bonnes. Imaginons qu’on vous demande de calculer la vitesse d’un corps qui tombe d’une tour de hauteur h. Vous bidouillez vos calculs, et vous en arrivez à proposer la réponse

v = h \times g

g désigne l’accélération de la pesanteur.

Clairement cette réponse ne peut PAS être juste. La hauteur h s’exprime en mètres, l’accélération g en m/s^2, donc le produit hg ne peut pas être une vitesse (qui doit être en m/s).

Cette idée que « les unités doivent coller » est ce qu’en physique on appelle pompeusement l’analyse dimensionnelle. C’est un moyen de vérifier que la réponse que vous proposez a une chance d’être juste. Attention, ça n’est pas une garantie que la réponse soit effectivement juste ! C’est juste une vérification qui vous permet de détecter les erreurs grossières.

Mais ce qu’il y a de beau, c’est que le principe peut aussi être pris à l’envers, non pas pour vérifier une réponse, mais pour la deviner sans faire les calculs !

L’analyse dimensionnelle

Reprenons la situation précédente : on vous a demandé de calculer la vitesse d’un corps lâché d’une hauteur h, et vous avez la flemme de faire le calcul. Mais vous vous dites que la réponse doit dépendre de h ! De même, vous savez que la gravité intervient et que la réponse doit aussi dépendre de g. Maintenant, sans rien savoir d’autre, essayez de fabriquer une formule qui n’utilise que g et h, et qui ait la bonne unité, c’est-à-dire des mètres par seconde.

Cela peut paraître difficile, mais ça ne l’est pas. Comme on ne peut pas additionner des choux et des carottes, toutes les expressions du genre h+g ou h-g^2 sont disqualifiées. Je vous laisse y réfléchir si vous ne me croyez pas, mais il n’y a qu’une seule manière de fabriquer une vitesse à partir de g et h, et c’est

v = \sqrt{gh}

Donc la réponse que l’on cherche est forcément \sqrt{gh} … ou presque ! En effet, toute formule proportionnelle à celle-ci, comme 2\sqrt{gh} ou \pi\sqrt{gh} fonctionne aussi. En l’occurrence la vraie réponse est \sqrt{2gh}. Donc au final, vous voyez qu’à un facteur \sqrt{2} près, on trouve la bonne réponse sans faire de calculs !

Dans bien des problèmes de physique, cette méthode permet d’avoir une idée assez précise de la réponse que l’on cherche, sans trop se fouler. Et c’est ce que l’on peut faire avec les photos du test Trinity !

L’énergie de l’onde de choc

Trinity testRevenons à notre bombe. L’image ci-contre montre une des photos de l’explosion de Trinity, et l’on y voit très nettement la boule de feu consécutive à l’explosion. L’expansion de la boule de feu est due à un phénomène de propagation des ondes de choc. Ces ondes se produisent sous l’effet de l’énorme quantité de gaz chaud et sous pression qui se trouve libérée lors de l’explosion.

La boule de feu représente donc cette poche de gaz chaud et sous pression au fur et à mesure qu’elle s’étend dans l’atmosphère (elle prend un peu plus tard la fameuse forme de champignon).

Faisons un peu d’analyse dimensionelle pour essayer de trouver comment le rayon de la boule de feu (noté R) augmente au cours du temps.

Geoffrey Taylor, qui connaissait bien les explosions, savait que le rayon R dépend essentiellement du temps t écoulé depuis l’explosion (normal), de la quantité d’énergie E libérée par la bombe (assez intuitif), et de la masse volumique \rho de l’air environnant.

L’énergie s’exprime en kg.m^2/s^2, la masse volumique en kg/m^3, je vous laisse vous convaincre que la seule formule qui colle pour que les unités soient correctes est

R^5 = (E/\rho) t^2.

Bien entendu, rappelez-vous qu’avec cette méthode d’analyse, on obtient une équation qui n’est vraie qu’à une constante numérique prêt ! Si on suppose ici que cette constante est proche de 1, et que l’on prend les renseignements donnés sur la photo ci-dessus (taille de la boule de feu, et temps écoulé), on peut appliquer la formule et déduire l’énergie de la bombe !

C’est ce qu’a fait Geoffrey Taylor, qui a proposé une estimation 71 000 milliards de joules pour la puissance de la bombe Trinity, soit l’équivalent de 17 000 tonnes de TNT. Or la valeur admise plus tard par les militaires est d’environ 20 000 tonnes de TNT. Pas mal pour un calcul de coin de table réalisé à partir d’une photo !

La question de la puissance des bombes

Tout cela est très impressionnant, mais il faut savoir qu’en réalité, le calcul de Geoffrey Taylor était plus qu’un calcul de coin de table ! Comme je le disais c’est un spécialiste du sujet, et dans son article publié en 1949 [1], toute la partie théorique avait déjà été écrite en 1941, plusieurs années avant les premières bombes atomiques ! Mais ses recherches avaient été classés secret-défense. Il faut dire que la question de l’estimation de la puissance d’une bombe atomique n’est pas simple. (Détail d’importance : physiquement parlant, ce qu’on recherche n’est pas une puissance, mais une énergie !)

Pour les bombes classiques au TNT, c’est facile : il suffit de connaître la masse de TNT et on peut calculer l’énergie libérée par sa décomposition. Il y a une valeur conventionnelle mais on considère en gros que toute l’énergie chimique contenue dans le TNT est libérée. Pour les bombes atomiques, c’est plus difficile !

tsar bombaQuand on construit un engin nucléaire, la seule chose dont on soit sûr, c’est de la masse de matériau fissible (uranium ou plutonium) que l’on met. Mais l’énergie finale obtenue dépend du rendement de la réaction, et ça on en sait trop rien ! D’où l’importance d’être capable de la mesurer

Ainsi, on estime que la bombe d’Hiroshima avait une puissance située entre 12 et 18 kilotonnes, et celle de Nagasaki entre 18 et 23 kilotonnes. A titre de comparaison, la plus grosse bombe nucléaire jamais fabriquée, la Tsar Bomba testée par les Russes en 1961, avait une puissance de 57 000 kilotonnes.

Cela représente environ 4000 fois la bombe d’Hiroshima, et son nuage avait atteint 100 km de diamètre ! (photo ci-contre)

Enfin pour relativiser, sachez qu’une explosion de supernova dégage environ 1000 milliards de fois la masse de la Terre en TNT…

Billets reliés, ici ou ailleurs :

* Sur l’analyse dimensionnelle : le LHC peut-il créer un trou noir au CERN ?

* Un secret nucléaire mal gardé, chez « Physique de tous les jours », un billet qui traite aussi la question de Trinity


Pour aller plus loin : les travers de l’analyse dimensionnelle

Le calcul de Georges Taylor que je présente ici peut laisser penser que l’analyse dimensionnelle est un outil infaillible pour résoudre les problèmes physiques. En réalité il y a plusieurs difficultés.

log-log rayon temps bombe atomiqueLa première, c’est qu’il faut avoir correctement identifié TOUS les paramètres physiques pertinents. Et cela a justement été une partie du travail de Taylor que de suffisamment bien dégrossir le problème pour comprendre que seule la masse volumique de l’air avait une importance. Et pour faire ça sur un coin de table dans le cas d’un problème complexe, il faut être un sacré bon physicien ! D’ailleurs Taylor avait vérifié que toutes les photos publiées donnaient le même résultat, c’est-à-dire que le rayon de la boule dépendait bien du temps à la puissance 2/5, comme le montre le graphe ci-contre extrait de sa publication [1]

D’autre part, le calcul numérique n’est précis que si la constante numérique est proche de 1. Et là aussi, Taylor avait effectué un calcul assez savant pour montrer que dans les conditions considérées, le coefficient était très proche de 1. Mais ça n’est pas a priori garanti à l’avance ! Prenons un exemple très simple : la période d’oscillation d’un pendule. L’analyse dimensionnelle nous donne \sqrt{l/g} alors que la bonne réponse est 2\pi \sqrt{l/g}. Une erreur d’un facteur 6 et quelques, ça commence à compter.

Comme nous l’avons vu, l’analyse dimensionnelle c’est bien, mais ça ne marche pas toujours ! D’une part il faut avoir bien identifié les paramètres pertinents, d’autre part s’il y en a trop, vous pouvez commencer à fabriquer des nombres sans dimensions, et là vous êtes cuits car les équations peuvent prendre des formes très complexes ! Si on revient au cas du pendule, vous savez peut être que la période telle que je l’ai donnée ci-dessus n’est valable qu’aux petits angles. Si on suppose que le fait que l’angle soit grand joue un rôle, il faut inclure l’angle maximal \theta_0 dans l’analyse. Et là l’analyse dimensionnelle s’écroule car on peut prendre n’importe quelle fonction mathématique de cet angle. D’ailleurs la bonne réponse pour les grands angles est :

T = 2\pi\sqrt{l/g} \times \frac{2}{\pi} K(\sin(\theta_0/2))

K est la fonction elliptique de Jacobi…et celle-là, vous pouvez toujours vous brosser pour la trouver par analyse dimensionnelle !

Pour finir, je voudrai revenir sur la constante numérique. On peut se dire qu’il est assez rare qu’en physique les constantes soient très exotiques, mais ça arrive quand même ! Mon exemple préféré, c’est celui du calcul de la divergence à deux boucles de la quantification perturbative de la relativité générale. Ca sonne très barbare comme ça, mais c’est en gros le calcul qui montre qu’il est impossible de traiter la gravité d’Einstein de la même manière que les autres forces, quand on veut les considérer dans le cadre de la mécanique quantique (les « quantifier »). La divergence, c’est un terme qui montre que des infinis vont apparaître de manière incurable, et dans le cas que je mentionne, le terme divergent incriminé s’écrit

\frac{209}{737280}\frac{1}{\pi^4} \frac{1}{\epsilon} \int d^4x \sqrt{-g} R^{\mu \nu}_{\rho\sigma}R_{\epsilon\theta}^{\rho\sigma}R^{\epsilon\theta}_{\mu \nu}

Comme vous le voyez, le coefficient numérique est assez improbable ! (et en plus il est très petit) D’ailleurs ce genre de petits coefficients arrivent assez régulièrement en physique des particules à cause des (2\pi)^D qui résultent des normalisations des gaussiennes en D dimensions.

Allez, j’ouvre le concours du préfacteur numérique le plus exotique dans une formule de physique : qui dit mieux que ça ?

Références

[1] Taylor, Geoffrey. « The formation of a blast wave by a very intense explosion. I. Theoretical discussion. » & « II. The atomic explosion of 1945. » Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences 201.1065 (1950): 159-186.

Crédits

18 réflexions sur “Comment estimer la puissance d’une bombe atomique à partir d’une photo ?

  1. Bravo encore pour ce nouvel article ! Je ne pensais pas qu’on pouvait aller aussi loin à partir de photo 😉
    Et pour appuyer ton article, l’analyse dimensionnelle est utilisé dans bien d’autre domaine que la physique ! Je l’utilise moi même au quotidien en biochimie, ça m’évite principalement de retenir les formules : est-ce que je dois diviser ou multiplier par la masse ? ou par le volume ? ^^
    Like it ! 🙂

  2. Loin, comme simple amateur, de la formule de la divergence de la relativité générale que vous mentionnez, je trouve une certaine incongruence dans le calcul de l´Energie de la bombe. E = R^5*d/t^2 = 400^5*1/(0.016)^2 = 4*10^16 (J), en prenant une densité de l´air à 60 º C , de d = 1 kg / m^3.. Cependant, la valeur obtenue de E = 7,1*10^10 (J) nous indiquerait que la densité de l´air utilisée est de d = 1,8* 10^-6 kg / m^3; ç´ est à dire une densité très faible à très haute température; (la température de l´explosion, probablement).
    J´ai donc deux questions à poser.

    1) Me suis-je trompé quelque part dans ce calcul pourtant élémentaire ?
    2) Comment savons nous qualitativement; -pas quantitativement- ; que la densité de l´air doit être prise à très très chaud et pas à froid, avant; -mais à peine 1,6 centièmes de seconde avant- l´explosion.?

    La deuxième question, n´est à mos avis pas si facile que ça à répondre.

    • Bien vu ! C’est moi qui me suis trompé d’un facteur 1000 (une broutille :-))

      Taylor a pris 1.25 kg/m3. Si tu prends un rayon de 125 (tu as pris 400, ce qui est trop !) tu trouves dans les 22 000 kTo

      Calcul ici :

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=125^5%2F1.25%2F%280.016^2%29%2F%284.184e9%29

      Après pour faire l’estimation précise, il faut avoir une excellente mesure de R car ça varie comme la puissance 5. C’est pourquoi il vaut mieux utiliser toutes les images et fiter en log/log comme illustré sur le graphe à la fin.

      Aussi Taylor avait calculé comment la constante dépend de l’indice adiabatique de l’air, voir son second papier dans la ref que je cite.

      • Moi j´avais pris les donnés de la photo que tu as publié. Il se pourrait bien aussi,que ce soit une autre bombe.

        https://oeis.org/A235860

        n such that (2^(2*n+1) -2)/3 + n-1 is prime.
        DATA
        2, 4, 10, 14, 28, 54, 62, 124, 592, 1088, 3154, 3920, 5564

        COMMENTS
        These primes are represented in the numeral system described in A235860 with the digit « 2 » followed to the right with n-1 « 12 » strings.
        EXAMPLE
        For n=2 (2^5 -2)/3 + 1 = 11.

      • Non je pense que la photo est bonne !
        Mais dans ton calcul tu as pris 400 pour le rayon alors que quand on mesure on trouve plutôt autour de 125.

  3. Par ailleurs on obtient pour cette densité de l´air une température énorme de 1,97 * 10^8 ºC. Mais la température dépent, entre autres, de l´énergie E. Et donc, à mon avis, la formule E = R^5*d/t^2, issue de l´analyse des dimensions, n´est pas vraiment -dimensionnellement (qualitativement)- correcte.

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  5. Concernant la météorite qui est tombée l’an dernier en russsie: On nous dit que l explosion a dégagé 30fois plus d ‘énergie que la bombe d’hiroshima. Peut on le vérifier d’après les photos et vidéos?

    • J’imagine que ce calcul est fait à partir de l’énergie cinétique de la bête. Il faut connaître sa vitesse (peut-être jouable avec les vidéos) mais aussi sa masse (donc sa taille).

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  7. David:
    Décidément, je vois très mal. J´avais cru voir le chiffre 400; comme le film de Truffaut. Et j´avais mesuré, estimant à environ -sur mon écran, mais les rapports ne sont que très peu faussés- un rayon de (5,6/5,2)*400 = 1.08*400. J´avais laissé 400, une petite erreur de 50 % ((1,08)^5 = 1,47). Mais bien sìr , si j´avais mal lu !

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  9. Je me rappelle d’avoir fait cet exercice lors d’un de mes premiers TD de physique en première année de fac (en DEUG A, ça date de 1992!). Exercice simple ne reposant que sur l’analyse dimensionnelle et pourtant terriblement efficace … Cet exercice m’a marqué, c’est une bonne idée de lui consacrer un billet.

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