La plus belle démonstration du théorème de Pythagore

pythagore photoLe théorème de Pythagore est certainement le plus connu de toutes les mathématiques. Mais qui sait vraiment le démontrer de but en blanc ? Et pourtant il existerait plusieurs centaines de manières de le faire !

Pour ma part, je n’ai jamais vraiment réussi à retenir une seule démonstration plus de quelques heures … jusqu’à ce que j’en croise une bien particulière, la plus belle de toute à mon goût : une démonstration de physicien, bien sûr, puisqu’elle utilise l’analyse dimensionnelle ! (dont je parlais dans mon précédent billet)

Considérons un triangle rectangle. Il est parfaitement caractérisé par la donnée de son hypoténuse (appelons-là C) et de l’un de ses angles aigus (appelons le \theta). Je vous laisse vous en convaincre sur le dessin suivant : si je vous donne C et \theta, vous pouvez reconstruire ce triangle rectangle sans ambiguïté.

pythagore1

Considérons maintenant l’aire d’un triangle rectangle. Puisqu’un tel triangle est complètement caractérisé par C et \theta, il existe une fonction

{\cal A}(C,\theta)

qui donne la valeur de cette aire. Si je voulais, je pourrais trouver la formule exacte de cette fonction, mais je ne vais pas en avoir besoin.

Faisons un peu d’analyse dimensionnelle : l’aire \cal A est le carré d’une longueur, l’hypothénuse C est une longueur, et \theta est un nombre sans dimension. La seule manière que les unités collent, c’est que la formule qui donne l’aire d’un triangle rectangle ait la forme suivante

{\cal A}(C,\theta) = C^2 f(\theta)

f(.) est une fonction que je n’ai pas besoin de chercher à connaître.

Considérons maintenant le dessin suivant, où je pars d’un triangle rectangle d’hypoténuse C et d’angle aigu \theta. Sur le dessin, j’ai également tracé sa hauteur.

pythagore2Vous voyez que la hauteur partage notre triangle en deux petits triangles rectangles d’hypoténuses respectives A et B, et ayant chacun un angle \theta. Puisque l’aire du grand triangle est égale à la somme de celle des petits, on peut écrire :

C^2 f(\theta) = A^2 f(\theta) + B^2 f(\theta)

Je simplifie par f(\theta) et le tour est joué :

C^2 = A^2 + B^2

Pas mal, non ? Évidemment, les matheux purs et durs vont hurler, mais je m’en fiche !


Pour ceux qui veulent creuser, on peut remarquer que ce qui fait la validité physique du raisonnement, c’est qu’il n’existe pas dans le problème d’autre quantité ayant la dimension d’une longueur. Notez que ça ne marcherait plus en espace courbe, par exemple pour un triangle tracé sur une sphère, laquelle possède une longueur naturelle : son rayon de courbure.

D’ailleurs la formule qui donne l’aire d’un triangle sphérique est d’une grande beauté. Je me souviens avoir cherché à la retrouver (sans la connaître) et quand le résultat est apparu sous mes yeux j’en étais fasciné : sur une sphère de rayon 1, l’aire d’un triangle sphérique est égal à la somme de ses angles (moins \pi) !

Spherical_triangle_3d_opti

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47 réflexions sur “La plus belle démonstration du théorème de Pythagore

  1. sympa…pardonne ma candeur…mais je n’arrive plus à me souvenir pourquoi le fait de tracer la hauteur fait apparaître un angle exactement égal à théta ?

  2. Parce que la somme des angles d’un triangle fait 180°, l’angle formé par les côtés C et A et le même dans le grand triangle que celui du petit triangle, et l’angle que fait la hauteur avec l’hypothénuse est de 90°, c’est à dire pareil que l’angle droit du grand triangle… Donc on retrouve bien l’angle théta !

  3. Pourquoi voudrais-tu que les matheux hurlent !? En dehors des évidences géométriques que l’on admet comme d’habitude (ou que l’on appelle axiome pour faire joli) la preuve tient tout à fait ! Je vois plutôt cela comme de l’homogénéité (tous les triangles rectangles ayant un autre angle valant theta sont images les uns des autres par une homothétie+translation+éventuellement symétrie+éventuellement rotation ; par homogénéité l’aire des ces triangles est donc une fonction de theta multipliée par le carré de l’hypoténuse). En tout cas c’est très joli et je ne connaissais pas !

    Bon évidemment l’approche la plus simple c’est celle voyant le produit scalaire comme une forme bilinéaire symétrique définie positive et définissant tout à partir de là ; mais le contenu intuitif devient moins clair !

    • Les matheux ont le droit de hurler car ça n’est pas une démonstration à proprement parler. Et puis si on veut faire ça formellement, il faut d’abord prouver le théorème « pi » de Buckingham

      http://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_%CF%80_theorem

      qui justifie que l’analyse dimensionnelle tient la route. Et comme le montre l’exemple de la géométrie sphérique, on peut vite se laisser abuser en oubliant qu’il y a des quantités dimensionnées cachées (pour autant qu’on donne un sens à la notion d’unité et de dimensions)

      • OK. Mais si on remplace l’analyse dimensionnelle par l’homogénéité (et ce n’est rien de plus que cela ici en fait) ça devient beaucoup plus élémentaire et plus facile à écrire proprement.

  4. J’adore cette démonstration !

    Une autre démo « à la physicienne » de Pythagore, celle qui utilise le fait qu’une boîte triangulaire remplie d’eau, posée sur une table, ne bouge pas :

    « Considérons une boîte de la forme du triangle rectangle qui nous intéresse (voir la figure 1) de côtés a, b et c, et dont on veut montrer que a2 + b2 = c2. On remplit cette boîte d’eau, et bien sûr, elle reste immobile sur la table : elle ne glisse ni ne tourne !

    La pression exercée sur les parois de la boîte est équivalente à une force perpendiculaire à la paroi, s’exerçant au centre. Cela est vrai des trois parois. Puisque la boîte ne tourne pas autour de l’axe correspondant au point P, c’est que les moments de ces trois forces vis-à-vis de cet axe s’annulent (le moment de la force F par rapport à l’axe X est le produit de la distance du point d’appui de la force par l’intensité de la composante tangentielle de la force).

    Ici il y a trois forces, chacune d’entre elles est proportionnelle à la surface correspondante, elle-même proportionnelle à la longueur du côté du triangle concerné. Les distances des points d’appuis (ramenés à des droites passant par P) sont respectivement a/2, b/2 et c/2. En prenant en compte les directions des forces (les mêmes directions pour a et b qui s’opposent à la direction de c) le fait que les trois forces s’annulent s’écrit : a(a/2) + b(b/2) = c(c/2), soit a2 + b2 = c2.

    Comme l’écrit M. Levi, le théorème de Pythagore est une conséquence de la remarque peu intéressante au premier abord que l’eau tranquille… reste tranquille.»

    (Tiré de http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article-quand-la-physique-demontre-des-theoremes-mathematiques-24233.php )

    • Je ne comprend pas bien. Comment montre-t-on que la boite ne tourne pas ? Et ensuite, n’utilise-t-on pas des choses bien plus sophistiquées que le théorème de Pythagore (il y a sans doute des produits scalaires dans cette histoire par exemple non ?).

  5. « Pour ma part, je n’ai jamais vraiment réussi à retenir une seule démonstration plus de quelques heures … jusqu’à ce que j’en croise une bien particulière, la plus belle de toute à mon goût »

    Il est drôle de penser que c’est le cas de beaucoup de personne en étude scientifique! Pour ma part la seule démonstration que j’avais retenue était celle de l’irrationalité de la racine carrée de deux. Allons savoir pourquoi.. Peut être car c’était la première que je faisais par l’absurde,méthode qui je le pensais était réservée aux physiciens 😉

    En tout cas superbe démonstration, et super blog en général, j’y passe tous les jours pour tenter de découvrir un nouvel article !

    • Oui mais justement pour moi ces deux « démonstrations » ne jouent pas dans la même catégorie.
      Celle avec l’eau est plus une illustration, et on sait que ça peut vite être faux. Il y a cet exemple où on démontre par exemple que 48=49 (je ne sais plus les chiffres exacts) en découpant des formes dans un rectangle et en les réarrangeant pour faire un autre rectangle.

  6. Pingback: La plus belle démonstration du th&eacute...

  7. J’adore ce genre de démonstration ! Pour ce qui qui est de la retenir plus longtemps que les autres, on verra bien dans un mois …
    Merci encore pour tous vos articles.

  8. Bonjour,

    Je trouve la méthode très intéressante, mais je ne suis pas aussi convaincu que par certaines démonstrations géométriques.

    En particulier, c’est la formule pour exprimer l’aire me gène, avec cette fameuse fonction f qui ne dépend que de θ.
    Vous obtenez cette formule par l’analyse dimensionnelle. Mais pourquoi est-ce que dans cette fonction f, on ne pourrait pas retrouver par exemple un facteur (C+k)/(C-k), où k serait une certaine constante (pour l’aire d’un cercle il y a bien une fameuse constante π qui intervient) ? Le résultat serait sans dimension, mais dépendrait de C.

    Donc j’ai l’impression qu’avec cette formule, on suppose déjà des choses, on élimine des possibilités, et c’est un peu caché. Et la démonstration repose sur cette formule. Or, une démonstration doit reposer sur des choses démontrées (ou des axiomes), pas sur des suppositions (encore plus si elles ne sont pas clairement indiquées).

    • @Jérôme : parce que justement si il y avait un terme du genre (C+k)/(C-k), alors k aurait la dimension d’une longueur (sinon on ne pourrait pas l’ajouter à C). (ce qui n’est pas le cas de pi qui est sans dimension)
      Évidemment comme je le dis à la fin, la « démonstration » repose sur l’observation « physique » qu’il n’y a pas d’autre quantité homogène à une longueur dans le problème. Observation qui devient notamment fausse dans le cas sphérique !

      • @Jérôme : ce terme serait négatif quand C est proche de zéro, ce qui serait embêtant pour une aire.

        @David : je ne vois pas quel serait le problème si k avait la dimension d’une longueur.

      • En général k peut très bien avoir la dimension d’une longueur, sauf qu’on fait l’hypothèse que l’on a correctement identifié toutes les grandeurs dimensionnées du problème, et que C est la seule.

    • En fait, en utilisant Thalès ce point est éclairci : il est clair que la surface S est une fonction de C et de T (Theta), soit S=g(C,T), on remarque grâce au théorème de Thalès que le triangle de côtés kA, kB est d’hypoténuse kC (pour k quelconque), et sa surface est k^2.S, donc g(kC,T)=k^2.g(C,T), en particulier g(C,T)=C^2.g(1,T) et g(1,T) ne dépend que de T et peut donc s’écrire f(T). Le reste suit.

  9. Dans le vidéo « pythagorean water demo » nous ne connaisons pas, avec la seule vue de face, les épaisseurs des triangles transparents. On doit donc dire que k1a^2 + k2b^2 = k3c^2 et donc que nous constatons que a^2 + rb^2 = sc^2, dont le théorème dont nous parlons ne serait que le cas partciculier r = s = 1.
    Ce serait le cas d ´aires, dimensionnellement ainsi: A(c,theta) = c^2f(c)f(theta) .

  10. Bonjour,

    pourquoi ne pourrait-on pas envisager A(C,theta) = k.C^(5/6).f(theta)
    où k est une constante homogène à la racine sixième d’une longueur?

    Cordialement

  11. Pingback: Demostrando teorema de Pitágoras cómo lo haría un físico | Ponga un mostrenco en su vida

  12. Bonjour. Les matheux ne hurlent pas, ils utilisent juste un vocabulaire différent : les trois triangles sont semblables, donc leurs aires sont proportionnelles aux carrés de leurs côtés correspondants, et notamment aux carrés de leurs hypoténuses.

    J.-P. Kahane présente cette preuve dans « Leçons de mathématiques d’aujourd’hui. Volume 1. Leçon 1 ». Il pense qu’Euclide avait songé à cette preuve et précise que la figure (découpage du triangle) se trouve dans le livre 6 d’Euclide.

  13. Merci pour l’article !

    Le seul point qui me chagrine dans la démo est la fonction f : pourquoi serait-elle identique pour les 3 triangles ?
    Ca pourrait être f pour le 1er triangle, g pour le 2eme, h pour le 3eme et la démonstration ne tient plus. Et je ne voit pour l’instant aucun argument justifiant l’unicité de f ?

    • Pour comprendre, il faut partir de la fonction \cal A. Celle-ci donne l’aire d’un triangle rectangle en fonction de son hypothénuse et de son angle. Par définition, cette fonction est valable pour TOUS les triangles rectangles. Ensuite on raisonne sur cette fonction-là (pas sur le triangle de hypothénuse c en particulier)

      • Merci pour la réponse ! 🙂
        Je n’avais pas réfléchi au fait que la fonction A donnant l’aire d’un triangle rectangle était forcément la même pour tous les triangles rectangles, ce qui justifie que quelque soit le triangle rectangle, la fonction f(theta) est la même. Merci encore !! 🙂

  14. Salut David,

    je ne pense pas que les matheux vont hurler, car il s’agit ni plus ni moins que d’une version un peu déformée d’une démonstration basée sur les homothéties. En effet sur ton dessin tu as découpé le triangle en deux autres triangles de même angles que le triangle initial. Les trois triangles ainsi trouvés sont semblables ce qui signifie que si les hypothénuses de deux d’entre sont dans un rapport x, leurs aires sont dans un rapport x². Les rapports des longueurs des hypothénuses étant A/C et B/C, les aires des deux petits triangles sont donc (A/C)² et (B/C)² fois l’aire du grand triangle. La somme de leurs aires étant à celle du grand triangle, on trouve (A/C)²+(B/C)²=1 et on en déduit le fameux théorème.

  15. Pingback: Tous les triangles sont équilatéraux ! | Science étonnante

  16. Ne pourrais t-on pas avoir quelque chose du genre :

    A(C,theta) = f(C²)f(theta) (ou (f(C))²f(theta) je sais pas comment il faudrait l’écrire) et là on serait bloquer.
    Par exemple, pourquoi n’aurait on pas :
    A(C,theta) = 4C²f(theta) si C est plus grand que 1 et C²f(theta) si C est plus petit que 1 ?

  17. « Évidemment, les matheux purs et durs vont hurler, mais je m’en fiche ! »
    Le jour où vous raconterez des choses fausses, vous vous en ficherez de la même manière? Ce n’est pas parce que le résultat est bon que la démarche est bonne.

    A = C².f(theta) n’est pas forcément vrai. Peut-être qu’on a A = C².f(théta, C) avec un f qui soit quand même sans dimensions. Si telle est le cas, la simplification n’est pas possible.
    Je savais que la rigueur physicienne n’est pas celle des maths, mais là c’est plus de la physique, c’est de la chimie!

    • Vous vous permettez de juger ce qui est de la physique et ce qui n’en est pas…mais pour dire que l’analyse dimensionnelle est de la chimie, vous n’avez pas manifestement pas du faire beaucoup de physique dans votre vie !

      Et comment vous faite pour avoir une fonction f telle que f(theta,C) qui soit sans dimension sachant que C est une longueur ? Allez-y, donnez moi juste un exemple 🙂

    • Vous avez raison, rien n’est moins sûr à priori. Pour David, prenez un truc de la forme C+constante/C+autre constante, c’est sans dimension. Justement, si on est chimiste on le sait ça !

      Après, si on connait la trigo on peut exprimer f, car sur un triangle ABC, on a Aire = AB/2 = C²sin(théta)cos(théta)/2 donc f ne dépend effectivement que de Théta. Mais bon on tourne en rond car il faudrait pouvoir démontrer les formules de trigo…

      En fait, ce qui fait que là c’est vraiment trop « à l’arrache », c’est que l’auteur montre par analyse dimensionnelle que f est HOMOGENE à un nombre sans dimension, mais il faudrait montrer rigoureusement qu’elle ne dépend pas de C, ce qui n’est pas la même chose.

  18. Vous avez l’intuition de la démonstration mais vous passez comme une évidence son point le plus délicat, à savoir que l’aire du triangle qui est une fonction C et de θ est bien de la forme C²f(θ) (sous prétexte de cohérence des unités, ce qui permet de vérifier la validité à priori de la formule potentielle mais ne constitue pas une démonstration).
    Dans les commentaires précédents, oG a démontré ce résultat de manière plus rigoureuse mais en ayant quand même recours au théorème de Thalès:

    « En fait, en utilisant Thalès ce point est éclairci : il est clair que la surface S est une fonction de C et de T (Theta), soit S=g(C,T), on remarque grâce au théorème de Thalès que le triangle de côtés kA, kB est d’hypoténuse kC (pour k quelconque), et sa surface est k^2.S, donc g(kC,T)=k^2.g(C,T), en particulier g(C,T)=C^2.g(1,T) et g(1,T) ne dépend que de T et peut donc s’écrire f(T). Le reste suit. »

  19. La problème est ici de savoir si veritablement l’aire d’un triangle rectangle est bien le produit de son hypoténuse et d’une constante. Si c’est le cas la constante doit être connue. Cependant là n’est pas le vrai problème à mon sens car il est plutôt mathématique au sens où on ne sait pas vraiment ce que sont les entités A, B et C. Sont elles des nombres réels? La géométrie ne permet pas de se prononcer dans la mesure où elle ne fait pas état de la notion de limite.
    Mohwali Awamar

  20. Je pense que si les nombreuses démonstrations du Théorème de Pythagore ont besoin , d’une manière ou d’une autre d’hypothèses , c’est parce que le coté de tout triangle est déjà une aire .
    Mohwali

    • Bonjour Mohwali,

      j’ai l’impression que vous avez une mauvaise compréhension de ce qu’est une aire. Car
      1. Un segment, comme le côté d’un triangle, a une aire nulle par définition.
      2. Multiplier la longueur de l’hypothénuse par une constante n’a jamais donné une aire.

      On peut mesure l’aire d’une surface avec différentes unités. Prenons par exemple comme unité le pot de peinture, c’est à dire que l’aire recherchée est le nombre de pot de peinture qu’il faut pour peindre la surface en entier. On voit immédiatement que l’aire d’un segment est nulle, car dès qu’on essaie de peindre, on déborde.

      La démonstration de David repose sur le fait que si on multiplie par 2 toutes les longueurs d’une surface, par exemple un triangle, alors il faut 4 fois plus de pots de peinture pour tout peindre. Plus généralement, si on multiplie par x les longueurs, il faut un nombre de pots de peinture x² fois plus grand. Essayez de comprendre pourquoi et tout deviendra limpide.

      • Dans ma première intervention j’ai effectivement fait erreur en écrivant que le produit d’une longueur par une constante etait une aire. J’ai pensé à le rectifier mais j’ai réalisé que quelqu’un le ferait et vous en remercie. S’agissant de la définition d’un segment de droite , je pense qu’il y en a, paradoxalement, deux : l’une est physique et l’autre mathématique, si je puis dire. L’une concerne l’unité de mesure non nulle et l’autre une unité de mesure nulle. Si l’aire d’un càrré de coté non nulle est non nulle c’est parce que l’unité de mesure de longueur est non nulle.Si je considère un coté d’un triangle en tant qu’aire , il s’agit de toute évidence d’une aire infinitésimale.Le parallèle est à faire avec un point extérieur à une droite euclidienne: En effet aussi près que puisse être ce point de la droite, le segment que determine ce point et sa projection orthogonale sur la droite est composé d’un ensemble de points en bijection avec celui des points de doute la droite.Cependant, la longueur du segment demeure indéfiniment non nulle et c’est cette longueur indéfiniment petite qui fait le coté d’un triangle une aire infinitesimale.Si nous considérons la diagonale d’un carré de coté arbitrairement pris pour unité (1) , sa diagonale de longueur √2 a deux significations:
        1) si on considère la diagonale comme un rectangle, quelques décimales suffisent à sa représentation.
        2) Si on considère la diagonale comme un segment de droite euclidienne , une quantité inépuisable de décimales sont indispensables.
        Mohwali Awamar

  21. Bonjour Vincent.
    Il me semble que quelque chose échappe à la démonstration en générale au sens où dans le cas du Théorème de Pythagore ce n’est pas la démonstration en elle même qui pose problème mais celle du système en question. En effet, dans le cas du triangle rectangle puisque c’est de lui qu’il s’agit, on attribue virtuellement , parce que non précise, une pseudo valeur numérique à l’angle droit. La même incertitude se retrouve dans les deux angles complémentaires dont on ne connait que la somme toujours virtuellement.La poussière sous le tapis se retrouve en fait dans l’epaisseur du trait , une epaisseur qui en fait toujours une aire non nulle . La démonstration de David est remarquable dans la mesure où elle fait appel au bon sens physique même si celui-ci est bousculé par les phénomènes quantiques .
    Mohwali Awamar

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