La mystérieuse équation de Navier-Stokes

Jet turbulentL’équation de Navier-Stokes est l’une des plus importantes de toute la physique. Si elle n’a pas la chance d’être aussi connue que E=mc2, elle nous sert pourtant à prédire la météo, simuler les océans, optimiser les ailes des avions et même améliorer le réalisme des jeux vidéos.

Bien qu’elle fut établie au XIXème siècle, elle continue de fasciner les ingénieurs, les physiciens et même les mathématiciens. Il faut dire qu’on a promis 1 million de dollars à celui qui percerait les mystères de l’équation de Navier-Stokes. Un exploit récemment revendiqué par un mathématicien kazakh, et dont on verra ce qu’il faut en penser.

Comment décrire le mouvement des fluides ?

Puisque ce billet parle de l’équation de Navier-Stokes, je vais évidemment vous l’écrire. Mais ça n’est pas là le plus important ! Elle peut paraître un peu cryptique et je voudrais surtout vous faire comprendre d’où elle vient et à quoi elle sert.

Le principal objectif de cette équation, c’est de décrire le mouvement des fluides. Puisqu’un fluide, ça peut être un liquide ou un gaz, on comprend que l’équation de Navier-Stokes concerne tout un tas de choses qui nous entourent. On peut l’utiliser par exemple pour comprendre les mouvements des courants dans les océans, ainsi que ceux des grandes masses d’air dans l’atmosphère. On s’en sert également pour étudier la circulation du sang dans nos artères, et simuler la trajectoire de l’air autour d’une aile d’avion ou d’une carrosserie de voiture. Cette équation est même utilisée dans les jeux vidéos pour améliorer le réalisme de certaines scènes [1]. L’équation de Navier-Stokes est donc un must pour les ingénieurs de tous domaines.

Pour décrire correctement un fluide en mouvement, il faut connaître sa vitesse en tout point de l’espace. C’est ce qu’on appelle son champ de vitesse. L’image ci-dessous montre un exemple de champ de vitesse dans un fluide autour d’une aile d’avion, champ que l’on représente traditionnellement avec des petites flèches plus ou moins longues, proportionnelles à la vitesse et orientées dans le sens de l’écoulement (ici dans le référentiel du sol)

champ vitesse

L’équation de Navier-Stokes, établie au XIXème siècle par le français Navier et le britannique Stokes, c’est une équation qui permet de décrire le champ de vitesse d’un fluide. Plus précisément, il s’agit d’une équation différentielle dont le champ de vitesse est l’inconnue.

A quoi ressemble l’équation ?

Pour les non-initiés, la forme de l’équation est un peu rebutante, mais l’important est de comprendre en gros ce qu’elle représente. En mécanique, quand on étudie le mouvement des skieurs, des ressorts ou des boulets de canons, on écrit la loi de Newton « Somme des forces = ma »m est la masse et a l’accélération. L’équation de Navier-Stokes ne dit pas autre chose que « Somme des forces = ma », mais comme on parle du champ de vitesse d’un fluide, la forme est un peu plus compliquée que pour un boulet de canon.

Dans un fluide, on va considérer deux types de forces : les forces de pression et les forces visqueuses. Les forces de pression, ce sont celles qui viennent du fait qu’un petit morceau du fluide se fait pousser par tout le reste du fluide qui l’entoure. Les forces visqueuses, ce sont l’équivalent des forces de frottement pour un skieur. Quand un morceau de fluide glisse sur un autre, il y a un frottement qui le freine et qui est d’autant plus important que le fluide est visqueux. Dans l’équation, on verra donc apparaître un paramètre \mu qui représente la viscosité du fluide.

Voici donc l’équation de Navier-Stokes, et en quoi elle est l’analogue de « Somme des forces = m a » pour un fluide :

Equation navier stokes

Ici v est le champ de vitesse, p est la pression, \rho la masse volumique du fluide et \mu sa viscosité. Encore une fois, vous n’êtes pas obligés de piger les détails de l’équation, mais nous allons considérer globalement ses propriétés, et voir ce qu’on peut en dire.

[Petite remarque pour ceux qui connaissent les EDP : la pression est aussi une inconnue de l’équation. Comme le champ de vitesse a 3 composantes, cela fait 4 inconnues pour 3 équations. Il manque donc une équation ! Si on suppose le fluide incompressible, il faut ajouter une condition qui est que le champ de vitesse est de divergence nulle – ce qui traduit aussi la conservation de la masse]

Pourquoi l’équation est-elle si compliquée ?

Il y a deux manières de comprendre pourquoi l’équation de Navier-Stokes est compliquée : la vision mathématique et la vision physique. Pour le mathématicien, l’équation est compliquée parce que c’est une équation différentielle non-linéaire. Si vous la comparez à l’équation qui décrit le mouvement d’un ressort (ou même, pour ceux qui connaissent, à l’équation de Maxwell ou à celle de la chaleur), la complication vient du terme v \cdot \nabla v. Ce terme varie comme le carré du champ de vitesse, et c’est lui qui rend l’équation mathématiquement inextricable. En maths, la non-linéarité complique les choses, mais en physique aussi ! Car ce terme non-linéaire a sa traduction dans la complexité des phénomènes physiques décrits. Voyons en quoi.

avion turbulenceJe vous l’ai dit, l’équation de Navier-Stokes sert à décrire le mouvement des fluides. Ça veut dire qu’elle s’applique aussi bien au mouvement de l’huile d’olive versée d’une bouteille, qu’à celui de l’air au passage d’un avion. Or vous pouvez facilement imaginer que les deux situations n’ont rien à voir !

Dans le cas de la bouteille d’huile, le mouvement du fluide est tout ce qu’il y a de plus tranquille et régulier. Dans le cas de l’air au passage de l’avion, c’est le chaos total. C’est ce que montre l’image ci-contre, qui permet de visualiser à l’aide de fumée colorée le genre de mouvements de l’air qui se produit au décollage d’un petit avion.

Ce comportement chaotique, c’est ce qu’on appelle la turbulence. Et cette turbulence est le pendant physique de la non-linéarité de l’équation de Navier-Stokes.

turbulence leonard de vinciLa turbulence

Il existe de nombreuses anecdotes au sujet du problème de la turbulence. Léonard de Vinci avait déjà été intrigué par le problème, comme en témoignent ses magnifiques croquis que l’on voit ci-contre. Le physicien Richard Feynman considérait qu’il s’agissait du plus grand problème de la physique classique, quant au mathématicien Horace Lamb, il aurait affirmé que ce serait la première question qu’il poserait à Dieu en arrivant au paradis.

Comme nous l’avons dit, dans certaines situations (l’huile dans la bouteille), l’écoulement des fluides se fait de manière tranquille. C’est ce qu’on appelle le régime « laminaire ». Il se produit quand les fluides sont visqueux, lents et plutôt confinés.

A l’opposé, quand les fluides sont peu visqueux, rapides et se déplacent sur de grandes distances, les écoulements se produisent de manière chaotique et présentent de nombreux tourbillons : c’est ce qu’on appelle le régime turbulent. La transition entre les deux peut être assez soudaine (voir mon billet sur le nombre de Reynolds) et expérimentalement, pour un écoulement donné, on sait assez bien dire si l’on sera laminaire ou turbulent.

Mais mathématiquement, on n’en a aucune idée ! On aurait très envie d’être capables de démontrer rigoureusement que pour certaines valeurs de vitesse ou de viscosité, les solutions de l’équation de Navier-Stokes seront turbulentes, et pour d’autres elles seront laminaires. Mais personne ne sait établir ce lien explicitement. Pour traiter la turbulence, les physiciens en sont donc réduits à oublier l’équation de Navier-Stokes et à envisager le problème de manière statistique. Comprendre la physique de la turbulence est un sujet de recherche extrêmement actif aujourd’hui ! Mais revenons un peu aux maths…

Un prix à 1 million de dollars

Vous connaissez peut-être l’histoire, la fondation Clay a décidé en l’an 2000 de choisir 7 problèmes mathématiques « du millénaire », et de promettre 1 million de dollar à quiconque en résoudrait un. L’un de ces problèmes (la conjecture de Poincaré) a déjà été résolu par un mathématicien russe Grigori Perelman (qui a d’ailleurs refusé de toucher le prix et même de recevoir la médaille Fields; voilà qui ne va pas améliorer l’image des matheux, heureusement qu’on a Cédric Villani).

Pour comprendre sur quoi porte le problème à 100 patates de l’équation de Navier-Stokes, considérons le cas plus simple de l’équation qui régit le mouvement d’une masse m au bout d’un ressort de raideur k. Si on écrit toujours « Somme des forces = ma », on obtient l’équation différentielle suivante sur la position de la masse

m \frac{d^2x}{dt^2} = -k x

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre dont l’inconnue est x(t). Pour la résoudre, il faut spécifier les conditions initiales que sont la position x(0) et la vitesse dx/dt(0). Si ces conditions initiales sont données, on peut montrer qu’il existe une unique solution à l’équation, que cette solution est bien définie pour tout temps t allant de 0 à l’infini. On peut même calculer explicitement cette solution (programme de Terminale S j’imagine).

Dans le cas de Navier-Stokes, on n’est sûrs de rien ! Trouver une solution explicite est certainement totalement inaccessible. Mais même sans cela, si on se donne une condition initiale — c’est-à-dire le champ de vitesse à l’instant initial v(0) — on ne sait même pas montrer qu’il existe bien une unique solution bien définie pour tout temps t ! Vous vous rendez compte, cette équation est utilisée tous les jours par des ingénieurs pour calculer des trucs, et on ne sait même pas montrer qu’elle a effectivement des solutions !

Alors si vous voulez aider, et que vous ambitionnez de réclamer le million de dollars, il vous faudra faire l’une des deux choses suivantes :

  • Démontrer que pour toute condition initiale, il existe une solution régulière et globalement définie (c’est-à-dire définie pour tout t de 0 à l’infini)
  • OU Trouver un contre-exemple, c’est-à-dire une condition initiale v(0) telle que vous démontriez qu’il n’existe PAS de solution régulière globalement définie.

Où en est-on dans le problème ?

Quand le problème a été posé par la fondation Clay, on savait déjà plusieurs choses au sujet de l’équation. D’une part, en deux dimensions, on sait démontrer qu’il existe toujours une solution. C’est bien, mais le problème en 2D est beaucoup moins compliqué qu’en 3D. On sait également que si le champ de vitesse initial est suffisamment petit, il existe toujours une solution régulière globalement définie. Physiquement, cela correspond aux régimes où on est sûrs que l’écoulement sera laminaire et pas turbulent, et donc on évite l’influence forte des non-linéarités.

Plus subtil, on sait démontrer que pour toute condition initiale il existe une solution, et que cette solution est définie au moins pendant une durée finie [0;T], où la valeur de T dépend de la condition initiale. Ce qu’il « reste » à faire pour toucher les patates, c’est de montrer qu’une solution est toujours définie au-delà de T et ce jusqu’à l’infini.

Si vous voulez vous attaquer à la question, je vous recommande les quelques billets du génial Terry Tao sur le sujet, il y détaille notamment les types de stratégies envisageables. Il existe notamment une stratégie analogue à ce que qu’a fait Grigori Perelman pour la conjecture de Poincaré. Certains pensent aujourd’hui que ce dernier travaillerait d’ailleurs sur les équations de Navier-Stokes, histoire d’ajouter un second problème à 1 million à son tableau de chasse.

Pour finir, venons-en à la question de Mukhtarbay Otelbaev. Il s’agit de ce mathématicien kazakh prétendant avoir résolu le problème, et déclenchant ainsi pas mal de commentaires dans la presse (notamment la presse kazakhe) à la gloire du Kazakhstan, qui ne serait ainsi pas seulement la patrie de Borat.

L’article d’Otelbaev fait 100 pages et est écrit en russe [2]. Bon j’avoue même en français je n’y aurai rien compris. Mais Terry Tao a publié il y a quelques jours un article [3] qui semble mettre fin aux espoirs kazakhs. Si j’ai bien compris, il ne cite jamais explicitement Otelbaev, mais il démontre que son approche ne peut pas fonctionner.

Alors, Otelbaev, Perelman ou Tao. L’un des 3 parviendra-t-il à faire tomber le problème ? Affaire à suivre !

otelbaev tao perelman


Billets reliés, ici ou ailleurs

Références

[1] Jos Stam, « Real-time fluid dynamics for games. » Proceedings of the game developer conference. Vol. 18. 2003.

[2] Le papier d’Otelbaev (en russe, vous êtes prévenus !)

[3] Tao, Terence. « Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation. » arXiv preprint arXiv:1402.0290 (2014).

Crédits

32 réflexions sur “La mystérieuse équation de Navier-Stokes

  1. Pingback: La mystérieuse équation de Navier...

  2. Super article ! J’ai lu que plusieurs problèmes avaient été trouvés dans la preuve d’Otelbaev. Par ailleurs, Terence Tao semble avoir découvert une nouvelle approche ingénieuse pour démontrer l’absence de solution pour tout temps :
    https://www.simonsfoundation.org/quanta/20140224-a-fluid-new-path-in-grand-math-challenge/
    http://terrytao.wordpress.com/2014/02/04/finite-time-blowup-for-an-averaged-three-dimensional-navier-stokes-equation/
    En gros, de ce que j’ai compris, Tao cherche à déterminer des processus qui se répliquent de plus en plus vite. Et, apparemment, ça démarche consiste à reconstituer une machine de Turing à partir de ces processus au sein du fluide.

    • L’équation qui figure dans l’article ci-dessus est celle dite de NAVIER et elle gouverne l’écoulement des fluides incompressible satisfaisant à l’équation div v = 0 ! Cette équation de Navier est une dégénérescence du système des équations dit NSF de Navier-Stokes- Fourier régissant les fluides compressibles, visqueux et conducteurs de chaleur- lorsque le nombre de Mach
      caractérisant la compressibilité tend vers zéro!!
      L’UN DES PARADOXES DE LA DYNAMIQUE DES FLUDES est intimement lié au fait que le système fondamental complet NSF – du fait de sa complexité – est trés difficile à utiliser, aussi bien dans la recherche théorique que numérique et… dans les applications ce sont des équations modèles de NSF qui sont utilisées dans les ouvrages d’enseignements et les travaux de recherches!! Un des problèmes qui se pose est le lien entre NSF et ces équations modèles – problème qui est celui de l’ORIGINE et de la CLASSIFICATION des équations de la Dynamique des Fluides!
      Il y a un POSTULAT qui dit : pour qu’un modèle d’équations soit consistant – non-contradictoire – significatif,
      il faut qu’il puisse être obtenu à l’aide d’une théorie constructive de NSF!
      Cette théorie existe – c’est la RAM approche = RATIONNELLE fondée sur l’ASYMPTOTIQUE et la MODELISATION
      via la Déconstruction de NSF!

      R. Kh. Zeytounian 16 octobre 2016

  3. Pingback: La mystérieuse équation de Navier...

    • Le raccord joue un rôle fondamental dans la théorie des modèles approximatifs de la dynamique des fluides, émergeant de NSF par déconstruction!
      à suivre… – à demain peut-être!
      R; Kh; Zeytounian
      26/ O5/2016
      23h33

      • Je reviens au raccord – qui introduit le problème de <> et qui permet d’obtenir  » LA BONNE CONDITION INITIIALE pour l’équation de NAVIER!
        Ce problème – de <> permettant d’afficher une condition initiale pour le vecteur vitesse de Navier – compatible avec les conditions initiales imposées à NSF!
        Cette question est complétement ignoré par les Mathématiciens !
        D’ailleurs les Matheux, bien souvent, ignore ces conditions initiales et aussi la condition d’adhérence du fluide visqueux incompressible sur la paroi d’un obstacle en mouvement!?
        Même si ils (les Mathématiciens) aiment souvent parler de problème à la Hadamard!
        Un dernier point qui mérite d’être mentionné, concerne le fait que: ne donne aucune indication concernant les conditions (et les restrictions!) sous lesquelles l – existence et – unicité – sont satisfaites?
        Un second point à signaler … qui sont bien souvent loin d’être réjouissante! L’une des causes est liées justement à <> – lors de la prévision du temps qu’il doit faire aujourd’hui – du temps qu’il a fait hier – via les conditions initiales de prévision pour aujourd’hui

        Radyadour Kh Zeytounian
        27/05/2016
        10H 19

  4. Je pige pas la figure « champ de vitesse autour d’une aile d’avion », ou peut-être ses conditions initiales… Si l’aile avance par rapport à l’air, les vitesses sur – et sous l’aile devraient avoir à peu près la même direction… Est-ce que tu n’aurais pas plutôt représenté la « circulation » du flux ?

  5. Pour rire un peu, un article sur une situation applicable qui fait mal aux dents aussi, mettez un fluide sous tension dans un récipient rond et il va spontanément produire une circulation spiralée tant qu’il assez d’énergie pour repasser en mouvement brownien pur une fois un certain niveau d’énergie atteint.
    Et c’est une expérience parfaitement reproductible, j’ai mis les paramètres.
    Article:http://www.thethermograpiclibrary.org/index.php?title=Vue_thermographique_du_fa%C3%AFen%C3%A7age_de_l%27eau
    Vidéo: http://www.youtube.com/watch?v=0XAQtd8XYo0&feature=youtu.be

    Ca c’est quand on force une 3D en 2D, c’est il me semble un bon exemple du casse-tête quand on laisse cela en libre en 3D.

  6. Pingback: Semaine 10 | PerrUche en Automne

  7. Pingback: Comment les insectes font-ils pour voler ? | Science étonnante

      • Non, plus d’équa diff, d’électricité, d’intégration par partie… En physique, j’ai vu une seule fois l’expression de raideur d’un ressort ( si c’est bien de cela dont vous parlez).
        L’intégration par partie est désormais proposée dans les exos « vers le supérieur » (p221 ex 150 de déclic, des éd hachettes éducations).
        L’équation harmonique : jamais vu.

        Un TS 2014/2015

  8. Pingback: Navier - Stokes | Pearltrees

  9. Si j ai bien comprit le problème dans tous ce charabia ,lorsque un vortex est crée dans de l eau par exemple au fond du vortex il ce peu crée une énergie infinie ,soyons pragmatique ,on sans fou des formules ,vous prenez plusieurs nanotube de carbone que vous mettez dans le vortex si vous en retrouver un écraser vous aurez déjà un début de solution , ensuite dans votre nanotube ,vous y mettez de quoi créer une fusion nucléaire ,si elle se produit ce sera la preuve ,empirique qu il y a bien une énergie infinie .Désoler pour les matheux ,mais comme explication ,je vous donne la mienne :Mandebrot a travailler sur la relativité d échelle ,Nottale astrophysicien,pense que l univers est fractal ,tous cela pour dire que a chaque changement de niveau Echelle dans un vortex l énergie de base reste la même mais ce concentre a chaque niveau inférieure atteint.

  10. Les Dynamiciens des Fluides qui s’intéresse à la modélisation ont une approche des équations de Navier-Stokes et Fourier (NSF – cas d’un écoulement d’un fluide compressible, visqueux et conducteur de la chaleur) réaliste qui consiste, tout d’abord , à mettre en évidence les paramètres sans dimensions qui caractérise les divers effets physiques au niveau de NSF! En particulier, dans le cas de l’aérodynamique:
    Compressibilité (nombre de Mach, M), Viscosité (nombre de Reynolds, Re), conduction thermique (nombre de Prandtl, Pr), gravité (nombre de Froude, Fr).
    Sous cette forme – NSF peut-être  » déconstruite » – en particulier- dans le cas des: faibles nombre de Mach et grands nombre de Reynolds! , ce qui permet de retrouver les équations (dites) de Navier pour un fluide incompressible mais visqueux et aussi celles d’Euler pour un fluide (dit  »idéal ») non visqueux et non conducteur de la chaleur!
    Malheureusement il y a un problème qui apparaît lors de cette déconstruction: d’une part? du fait que l’équation dynamique de Navier est singulière au voisinage du temps t = o (où les conditions initiales pour NSF sont imposées!) et aussi, d’autre part? que les équations d’Euler sont singulière au voisinage de la paroi d’un obstacle en mouvement!
    Dans la région proche de t = 0? apparaissent alors les équations de l’acoustique et pour le voisinage proche de la paroi de l’obstacle en mouvement – il faut tenir compte des équations de Prandtl de la couche limite!

    Ainsi NSF déconstruite en 4 équations beaucoup plus simple qui peuvent faire l’objet d’une analyse et d’un calcul numérique!
    Mais si l’on veut retrouver une approximation globale de NSF il faut avoir recours à une opération de raccord!! en particulier de : Navier avec acoustique et d’Euler avec Prandtl !

    Pour en savoir… un peu plus…. on pourra consulter mon nouveau livre – à paraître en juillet 2016 chez
    SPINGER à Heidelberg- sous le titre: <>!

    R; Kh; Zeytounian
    26/ O5/2016
    ———————————————————————————————————————————————–

    • Mon livre: ne sera publié qu’à la fin de cette année 2016 chez SPRINGER – VERLAG à Heidelberg ! La cause de ce retard est liée au fait que mon en anglais (en Word) a été relu par un et doit ensuite être publié en LaTeX par Springer!

  11. l’equation de N-STOCKES aprés toutes les solutions applicables menu (math-physique..) donnrent des resultat non preciser sinifier eclairement deux choses 1-reviser certain equations de pesenteur ou 2- il existe une autre phenomene en physique inconnu

  12. Une approche permettant de COMPRENDRE la complexité – insupportable (!) – du système des fameuses équations de Navier-Stokes-Fourier- NSF- est de le Déconstruire (?) – cela est possible – mais il faut d’abord tirer profit de l’adimensionnalisation, qui permet de faire apparaître un système NSF équivalent – sans dimension – mais dans lequel divers termes de ce système sont
    doté d’ un coefficient constant – un nombre/paramètre sans dimension!
    Ce système NSF équivalent est bien adapté pour la Déconstruction!
    Concernant les nombres/paramètres sans dimension il s’agit – par exemple dans le cas de l’aéro- hydro-dynamique des nombres de: MACH (effet de la compressibilité ), REYNOLDS (effet de la viscosité), PRANDTL (effet de la conduction de la chaleur), Froude (effet de la gravité)…. On notera que la Dynamique des fluides est une discipline très riche en nombres/paramètres sans dimensions, en fonction du mouvement du liquide ou du gaz considéré!!

    La Déconstruction de NSF équivalent est effectué en faisant une hypothèse fondamentale?! Cette hypothèse, permettant d’obtenir du NSF équivalent- unsystème d’équations plus simple – mais significatif et consistant – lorsque l’on admet que certain – un ou plusieurs des paramètres/nombres – dans le NSF équivalent – sans dimension – est PETIT ou GRAND devant l’unité.

    à suivre!
    R. Kh. Zeytounian – 23 octobre 2016
    __________________________________________________________________________________________________

  13. Quelques lignes en plus!
    Une fois que l’on a fait le choix d’un petit paramètre dans le système NSF équivalent sans dimension:
    Disons nombre De MACH petit M<< 1 ce qui veut dire que l'on s'intéresse au cas d'un écoulement FAIBLEMENT COMPRESSIBLE – ce QUI EST LE CAS de l'atmosphère et permet, en principe, de prévoir le temps qu'il fera demain?
    Pour cela il faut associer des conditions initiales à un temps fixé où le temps- celui d'hier- est connu!
    On constate, malheureusement, que la prévision du temps pour demain… est loin d'être parfaite! ?
    Malgré le calcul des Météorologues (à Toulouse!) qui ont à l'heure disposition des ordinateurs super -puissants avec des mémoires de très très GRANDE Capacités?

    Il y a une cause à cela – qui est liée au fait que le Météorologue avec sont super– puissant ordinateur et son calcul à partir
    d'équations modèles simplifiés – liés au fait que le mouvement de l'atmosphère est = M<<1! – n'est pas en mesure de prendre en compte les conditions initiales – le temps qu'il a fait hier! Il s'avère que modèle simplifié à M<< 1 qui émerge du
    NSF équivalent sans dimension… tombe en défaut au voisinage du temps où les conditions initiales doivent être prisent en compte?? C'est dans ce voisinage de temps que les ondes acoustiques apparaissent!
    En réalité, la Déconstruction conduit à deux systèmes d'équations: celui dont il a été question ci-dessus, et un second
    système qui lui est justement valable pour le voisinage du temps où les conditions initiales doivent être prisent en compte!
    Pour avoir un outil de calcule du temps qu'il fera demain – cohérent – il faut tirer profit de ces deux systèmes en les
    RACCORDANT!
    Cette notion de RACCORD est assez subtile et elle est une composante fondamentale de la théorie
    ASYMPTOTIQUE qui permet d'obtenir les BONNES conditions initiales pour le modèle simplifié à M<< 1 qui émerge du
    NSF équivalent sans dimension. à partir du raccord avec le modèle (avec l'acoustique) valable pour le voisinage du temps où les conditions initiales doivent être prisent en compte!

    Les Météorologues n'ignore pas cette possibilité,qui est connu depuis les années 1980! Voir ma monography :
    [Meteorological Fluid Dynamics – édité bchez Springer-Verlag en1991 -dans la série LNP vol. m5.

    à suivre!
    R. Kh. Zeytounian – 23 octobre 2016 – 22H

    • d’aprés toutes les tentatives physique et mathématique pour resoudres cette équation .jamais de rentre des coefficients empirique pour la solution obtenu .enfin l’equation de nature et de vie (fluides) comme toutes de cénétique de l’univers doit etre de courage scientifique (il existe des sciences plus que nous (dit le coran)) du réviser qlq parametres physique (accélération …)

  14. jamais impose des facteurs empirique dans les phénomene abstraire de la nature (la dynamique de l’unvers est précise n’accepete pas les aleatoires ) parceque l’equation (N-STOCKES) du basse de milieu permenant ou non permanent dans une liason entre les ecoulements des fluides- pésenteur- densité de l’air ……..ce sont une masse collectif travailler avec eux et à une grande precise sans des incertitde

  15. Il semble que le système des équations dites de Navier-Stokes et Fourier (N-S-F) pour le cas de fluides visqueux compressibles et conducteurs de la chaleur soit la clef pour comprendre l’Origine des diverses et nombreuses équations modèles de la Dynamique des Fluides newtoniens en écoulement. En fait… non seulement l’Origine.. mais la Classification ?
    Chemin faisant – cette connaissance – conduit aussi à mettre en place une approche rationnelle: via la l’Analyse dimensionnelle; la Déconstruction de N-S-F adimensionné relativement à divers paramètres de références Mach, Reynolds, Prandtl, Froude, etc…
    et divers passages à la limite en supposant que ces paramètres de références sont petits ou grands devant l’unité!
    Les modèles simplifiés émergeant ainsi de NSF – dits – étant alors significatifs et peuvent servir au Numéricien pour obtenir , à l’aide d’un ordinateur très performant ayant un grande mémoire, des solutions valables – non ad-hoc – de divers problèmes technologiques et géophysiques !
    On notera que – si nécessaire – il est possible – dans de nombreux cas d’obtenir des modèles simplifiés tenant compte de certains termes négligés au niveau d’un modèle !!

    Le Lecteur curieux pourra trouver dans mon <> à paraître au mois d’août 2017 chez Springer
    divers exemples.
    R. Kh. Zeytounian

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