La rotondité de la Terre et les voiles des bateaux

Gustav_Adolf_Closs_-_Die_Schiffe_des_Columbus_-_1892Il y a quelques jours, ma fille m’a posé des questions sur la rotondité de la Terre. Je lui ai alors servi l’histoire habituelle, selon laquelle les Anciens avaient déjà remarqué que les voiles des bateaux étaient visibles avant leur coque, ce qui confirmait que la Terre était ronde.

Et puis je me suis demandé : est-ce bien raisonnable ? Est-ce que vraiment on pourrait ne voir que les voiles des bateaux ? Ou est-ce que l’effet est négligeable pour être vu à l’oeil nu ?

Eh bien faisons le calcul !

Un peu de géométrie

Le problème est assez simple. Imaginons un grand mât, situé à une distance de disons quelques kilomètres. A cause de la courbure de la Terre, la partie inférieure de ce mât ne sera pas visible. La question est : quelle est la taille de cette partie obstruée ? Si c’est quelques centimètres, peu de chances qu’on le remarque. Si c’est plusieurs mètres, ça commence à devenir crédible.

rotonditéFaisons un peu de géométrie. J’ai tracé un schéma ci-contre, où j’ai évidemment exagéré les dimensions pour les besoins de la cause. Le rayon de la Terre est r, le mat est située à une distance c (mesurée en ligne droite) de l’observateur A. Quelle est la taille de la partie obstruée ?

Le premier rayon lumineux obstrué par la rotondité de la Terre (AB, dessiné en rouge) est juste tangent à la courbure de la Terre. On voit que la longueur obstruée L est égale à la distance OB - r. En faisant un peu de géométrie dans le triangle rectangle OAB, on peut écrire que

OB = \frac{r}{\cos \theta}

Il nous faut ensuite trouver l’angle \theta. Heureusement il existe une relation facile à démontrer entre le rayon r d’un cercle, l’angle \theta et la longueur de la corde c sous-tendue par cet angle. On a :

c = 2r \sin(\theta/2)

On a donc

\theta = 2 \arcsin (c/2r)

Vous voyez qu’on va devoir prendre le cosinus de cet angle et avoir un truc qui a l’air compliqué.

Heureusement, il y a là aussi une formule de trigo toute prête qui nous sauve, on a de manière générale pour tout x

\cos (2\arcsin x) = 1 - 2x^2

Si on regroupe tout, on a donc que la longueur obstruée est égale à

L=\frac{r}{1-2(c/2r)^2} - r

Après un petit choc de simplification, on a alors

L = \frac{c^2 r}{2r^2-c^2}

Application numérique

Dans tous les cas pratiques, on a c <<R, puisque le rayon de la Terre est d’environ 6400 km, et que l’on va considérer des bateaux à une distance de quelques kilomètres. On se ramène donc à une expression très simple qui est

L \sim \frac{c^2}{2r}

qu’on aurait certainement pu trouver directement en prenant dès le début une approximation « petit angle » pour \theta.

Avec une distance de 10 km, et on trouve pour la partie obstruée une distance d’environ 8 mètres. Suffisant pour obstruer la coque du bateau mais laisser les voiles visibles. Voilà qui paraît tout à fait raisonnable !

Petite vérification, une distance de 8 mètres vues sous 10km représente un angle de 0.044 degrés, soit 2,7 minutes d’arc. On estime que le pouvoir de résolution de l’oeil est d’environ 1 minute d’arc, donc ça peut presque coller même à l’oeil nu. Avec une longue vue, encore plus simple. Bien sûr il faut un temps clair, pas de vagues, etc.

Si quelqu’un veut offrir une belle photo qui montre le phénomène avec un joli bateau à voiles, je suis preneur !

mv_rena_hull_down

Billets reliés

Crédits

44 réflexions sur “La rotondité de la Terre et les voiles des bateaux

  1. A cela, il faut rajouter un « effet mirage » dû aux couches d’air, un peu comme ce qui se passe lors du fameux rayon vert. Donc le bateau est encore visible un laps de temps en plus après avoir passé l’horizon.

    • Ceci est faux et ne tient pas la route. Cette théorie de « l’effet mirage » a été prouvé nulle. Le mirage ne peut renvoyer qu’une image à l’envers (principe de la réfraction) et avec un puissant zoom, on voit pertinemment bien l’image réel. On peut voir la cathédrale d’Amiens ou de Chartres depuis la Tour Eiffel (+ de 100km) par temps clair et bien dégagé. Idem pour les Alpes depuis le Puy de Dome (300km) ou tout le Canigou depuis Marseille (265 km). Donc il y a un problème avec la courbure terrestre….

  2. Maintenant, application inverse :
    Quelle est le diamètre de la planète de Olive et Tom pour que seule la moitié haute des buts d’un terrain de foot apparaisse du milieu de terrain ? Problème : il nous manque la longueur du terrain – on sait qu’elle est très très longue puisqu’il faut quand même pas mal de temps pour le parcourir en courant aussi vite que possible.

  3. Puisqu’il est question de voile, une petite énigme sympathique et théorique que j’ai experimenté mais qui demanderait à être vérifié par calcul :
    – En voile, pourquoi va-t-on toujours plus vite tribord amure( Quand on prend le vent de la droite ) que bâbord amure( Quand on prend le vent de la gauche) dans l’hémisphère nord( Et inversement pour l’hémisphère sud) ?

  4. Une autre observation très ancienne, qui ne pouvait être expliquée que par la rotondité de la terre, est le changement d’inclinaison du croissant de lune, quand on change de latitude.
    Les grecs anciens lui ont d’abord attribué une forme de bouclier, puis de sphère (d’après l’ombre de la terre sur la lune, lors d’une éclipse).

    • A propos, cette observation donne plus d’information que la disparition du bateau.
      Comme dirait un membre de forum que j’ai rencontré : « Quand mes amis descendent mon escalier, les pieds disparaissent avant ma tête, dois-je conclure que mon escalier est sphérique ? ». 😉

    • en réponse à daaveed 23 juin 2014 à 10:46 :
      parce que tribord amure, on est prioritaire. :o)
      Mais c’est aussi valable dans l’hémisphère sud, donc ça ne répond pas parfaitement à votre question.

      Si on veut une réponse scientifique avec inversion selon les hemisphères, il faut chercher dans Coriolis, je suppose mais je n’ai pas la réponse.

  5. Pingback: La rotondité de la Terre et les voiles d...

  6. Sympa la photo à la fin pour la preuve. Par contre attention dans le billet, aucun des symboles et formules n’apparaissent pour moi (juste le logo *image)

  7. Hello, fort intéressant, j’avais fait un calcul analogue pour réfuter un commentaire du commandant Cousteau qui s’offusquait de la pollution en affirmant qu' »avant », on pouvait voir le Mont Blanc du haut de la Tour Eiffel.

    On peut également considérer que c est la longueur de l’arc et non celle de la corde,
    ce qui donne c=rθ, ou θ=c/r
    avec un développement limité à l’ordre 2, cos θ ≈ 1 – (θ²/2)
    et avec un deuxième DL à l’ordre 1 cette fois, OB = r/cosθ ≈ r/(1 – (θ²/2)) ≈ r (1 + (θ²/2))

    Donc h = OB-r ≈ rθ²/2 ≈ c²/2r (comme ce que tu trouvais, pour peu que tu me permettes le tutoiement).
    (Je mets h plutôt que L)
    L’erreur est en o((c/r)³) ce qui ne prouve pas grand chose, puisque tendre vers 0 n’est pas un vain mot,
    mais c’est quand même un cube et c/r est de l’ordre de 10⁻³ (si c est autour de 6,4 km, soit 3,5 NM).

    Si on inverse la formule, c ≈ V(2rh)

    Concernant la Tour Eiffel, si on est au sommet (à h₁= 324 m = 0,324 km),
    on peut donc voir à c₁ ≈ V(2x6400x0,324) ≈ 64,4 km

    Et le sommet du Mont Blanc (h₂ ≈ 4,81 km)
    voit l’horizon à c₂ ≈ V(2x6400x4,81) ≈ 248,1 km

    La distance entre le Mont Blanc et la Tour Eiffel étant largement au-delà de 248,1 + 64,4 km,
    le Commandant Cousteau avait certainement présumé de ses connaissances sur le monde du non-silence.

    JC

  8. A voir, une autre démonstration présentée dans le cadre du débat public sur le champ éolien au large de St Nazaire http://www.debatpublic-eolienmer-saint-nazaire.org/DOCS/DOCUMENTS_MAITRE_OUVRAGE/ST_NAZAIRE_NOTE_COURBURE_TERRES.PDF
    Et au lieu d’une belle photo de voilier émergeant de l’horizon, on peut découvrir dans le dossier du débat des montages photographiques de l’apparence du parc éolien observé à partir de différents points de la côte, et à différents moments de la journée.
    http://www.debatpublic-eolienmer-saint-nazaire.org/photomontage/02.html
    Une note méthodologique accompagne ces présentations
    http://www.debatpublic-eolienmer-saint-nazaire.org/DOCS/DOCUMENTS_MAITRE_OUVRAGE/ST_NAZAIRE_METHODOLOGIE_PHOTOMO.PDF
    Evidemment, ces résultats ont donné lieu à de nombreuses commentaires…

  9. Je ne penserai pas pouvoir dire ça un jour vu l’étendu du web et tout les trucs inintéressants sur lesquels on peut tomber, mais je viens de tomber sur CE QUE JE RECHERCHAIS! Ton Blog est pleins d’articles intéressants sur la science, et je suis heureuse d’avoir pu le découvrir!

    Air Laine Meilleur

  10. En fait, quelqu’un a refait votre démonstration avec les bateaux, et il s’est rendu compte du contraire, à savoir qu’il n’y a pas de courbure terrestre (ce qui est assez logique en fait) :

    • « Si quelqu’un veut offrir une belle photo qui montre le phénomène avec un joli bateau à voiles, je suis preneur ! »
      – J’ai comme le pressentiment qu’on ne verra jamais cette photo…

      Effectivement Bonjourchezvous il n’y a pas de courbure. ^o^
      C’est bien de faire des calculs théoriques, mais il serait encore mieux d’ouvrir ses yeux.

      • Regarde ça en entier mon ami !

        Tu vas halluciné, j’ai mal dormi après cette vidéo, la vérité va bientôt éclater !
        Les gens vont se révolter !

  11. Bon pour les trolls platistes…
    Un phare que j’ai photographié de plus ou moins loin (Gif il faut laisser le temps à l’animation de se charger)

    Démarche pour réaliser ces clichés

    C’est pas un bateau qui s’éloigne mais c’est moi, autant dire que ça revient au même. Maintenant SVP, fermez la.

    • oui à 25 KM le phare s’enfonce de 40 m cela est normal pour une rotondité d’un cercle de 6370 KM DE RAYON:
      H= 6370 – SIN(invCOS (Longueur / 6370)
      la baisse est exponentielle , à 1KM elle est de 8 cm , à 10 km elle est de 8 m ,à 100 elle est de 0,8 km, à 1000 km elle sera de 80 km , de 322 km à 2000 KM etc .Une personne debout sur la plage voit la ligne de l’horizon qu’à 4 ou 5 km . ha c’est sur ça baisse pas beaucoup

    • La conclusion c’est qu’à 23 kms , on ne devrait plus voir la pointe du phare , puisqu’il est sensé être « penché » , comme on le voi sur ta représentation , mais qu’on ne voi plus sur la petite fenêtre en haut à gauche , alors qu’il devrait pencher…nouvelle conclusion , quand tu arrives à 23 kms , prend un optique deux fois plus puissant que celui que tu as dans les mains et je te pense que tu feras d’autres conclusions à ton tour..Namaste.

  12. Pingback: Edito 10.16 / L’Infâme Jé | La Faquinade

  13. Pingback: Prouver la rotondité de la terre selon les Anciens | La question du latin

  14. salut , je pense que si c’etait du fait de la courbure , les immeubles sur la photo devraient se pencher un peu ver l’avant non ? vous en pensez quoi ?

  15. Pingback: Prouver la rotondité de la terre selon les Anciens | La question du latin

  16. le phare est incliné vers l avant ..
    Mais a 25 km de distance, l ‘inclinaison est imperceptible a l oeil nu, car elle est trés faible. 0,22 degrés!!!(a peu pres)
    tu ne pourra pas voir d inclinaison.

    mais il y en a une quand meme.

  17. prends un bâton dans ta main.tends le bras de facon a le voir vertical devant toi en le plaçant exactement au centre de ta vision
    tourne ton pogné pour le pencher vers l avant d’environ 30°.
    et tu verras que ton bâton paraîtra plus petit et il paraitra toujours droit.(evidement il faut laisser le baton au centre de ta vision.)
    et c ‘est normal car le baton est droit.
    c ‘est comme pour le phare.

  18. Réflechis nestaa!!
    le phare tu pourras jamais le voir penché vers l avant. car il est dans ton axe de vision!!
    la perspective s écrase.

  19. oui exact.Mais en avant ou en arriere.tout depend .de la façon dont tu consideres l avant de l arriere.
    c ‘est comme la droite et la gauche selon comment on est tourné ,ca chance tout.

  20. Franchement les doux allumés…
    Ça vous fait si peur de vivre dans un environnement ouvert sur une infinitude d’étoiles, de galaxies, d’espace et de beauté, qu’il faille que vous vous inventiez un monde sclérosé et enfermé dans une sorte de boîte à chaussures pour vous rassurer ?
    Vous êtes sujet au vertige des grands espaces ou quoi ?…un peu/beaucoup agoraphobes aussi ?
    De plus, aucune mais alors aucune de vos soi disant « preuves » que vous avancez péremptoirement, ne résiste à la moindre introspection/démonstration scientifique digne de ce nom.
    Et voilà qu’une poignée de fêlés, sous prétexte d’avoir été « initiés » par leurs gourous au « grand secret caché », prétendent en remontrer à des millions de scientifiques de tous bords, au cursus universitaire autrement plus étoffé en études et dans le temps, que la consultation de vidéos youtubesque, toutes merveilleusement « saucissonnées » avec la bonne musique qui va avec…
    Ils ont bon dos de critiquer la NASA tiens ! 🙂

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s