La première conjecture de Hardy-Littlewood

trinity collegeLa semaine dernière, je vous ai parlé de ce qu’on appelle la deuxième conjecture de Hardy-Littlewood, qui affirme qu’il y a toujours plus de nombres premiers entre 0 et N que dans tout autre intervalle de longueur N.

Cette conjecture a de quoi intriguer, car on n’en a jamais trouvé un seul contre-exemple, et pourtant les spécialistes sont convaincus qu’elle est fausse. Mais ils estiment que pour trouver un contre-exemple, il faut aller chercher au-delà de 10^{174} !

Aujourd’hui, nous allons voir ce qui permet de faire cette estimation. Il s’agit d’une autre conjecture proposée au même moment par les mêmes mathématiciens : celle qu’on appelle la première conjecture de Hardy-Littlewood.

Une affaire de contradiction

L’histoire a commencé en 1923, quand G. Hardy et J. Littlewood ont écrit un article [1] dans lequel ils ont proposé deux conjectures. La deuxième est la plus simple, c’est celle dont j’ai parlé la semaine dernière. La première est plus technique et je vais vous la présenter aujourd’hui. Mais avant cela, voyons pourquoi ces deux conjectures sont si particulières.

Quand un mathématicien propose une conjecture, c’est souvent qu’il pense qu’elle est vraie, mais qu’il ne sait pas la démontrer. Dans le cas de Hardy et Littlewood, ils pensaient probablement que leurs deux conjectures étaient correctes : elles avaient l’air parfaitement raisonnables et il n’en existait pas de contre-exemple apparent.

Cinquante ans plus tard, personne n’avait encore pu trouver ni démonstration, ni contre-exemple. Tout le monde continuait donc à penser que les deux conjectures devaient être vraies. Mais pas de bol, en 1974 quelqu’un démontre que ces deux conjectures sont incompatibles : si l’une est vraie, alors l’autre est obligatoirement fausse ! [2]

Or les spécialistes du domaine sont convaincus que la première conjecture est vraie, et donc que la deuxième est fausse. Il faut donc que je vous explique ce que dit cette première conjecture de Hardy-Littlewood ; mais pour cela, on va d’abord s’échauffer avec une autre conjecture plus simple : celle des nombres premiers jumeaux.

La conjecture des nombres premiers jumeaux

Des nombres premiers jumeaux, ce sont deux nombres premiers qui ne sont séparés que de 2 unités. Par exemple 5 et 7, ou 17 et 19. La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme simplement qu’il en existe une infinité. D’ailleurs tant qu’on en cherche, on en trouve : les plus grands nombres premiers jumeaux connus à ce jour sont

3756801695685\times 2^{666669} \pm 1.

On peut généraliser le cas des nombres premiers jumeaux. Par exemple on parle de nombres premiers « cousins » s’ils sont séparés de 4, ou de nombres premiers « sexy » s’ils sont séparés de 6. On peut écrire toutes ces conjectures sous une forme un peu plus générale :

Conjecture (0,K) : il existe une infinité de p tels que (p,p+K) soient premiers.

La conjecture des nombres premiers jumeaux est donc la conjecture (0,2), celle des nombres premiers sexy est la conjecture (0,6), etc. On pense que pour toute valeur de K paire, la conjecture (0,K) est vraie. Mais on ne sait en démontrer aucune !

Il faut d’ailleurs ici mentionner un progrès spectaculaire réalisé il y a peu, et qui a fait grand bruit dans la communauté mathématique. En Avril 2013 un mathématicien nommé Yitang Zhang a démontré qu’il existe au moins une valeur de K pour laquelle la conjecture (0,K) est vraie, et que cette valeur est inférieure à 70 millions. Cette démonstration a doublement fait l’effet d’une bombe : d’une part car le résultat est fondateur; d’autre part, parce qu’il est le fait d’un mathématicien totalement inconnu de la communauté à l’époque. Y. Zhang enseignait les mathématiques dans une petite université du New Hampshire et ne faisait même pas officiellement de la recherche. (Il était ce qu’on appelle lecturer, mais opportunément l’université l’a depuis catapulté full professor !)

Voici donc pour les nombres premiers jumeaux et assimilés, passons maintenant à l’étage supérieur.

Jumeaux, triplés, k-uplets

Si on peut parler de nombres premiers jumeaux, pourquoi pas parler de triplés ? Par exemple :

Conjecture (0,2,6) : il existe une infinité de p tels que (p,p+2,p+6) soient premiers.

Et on peut généraliser ! Prenons n’importe quelle suite croissante de k nombres nombres 0<a_2<a_3<\cdots<a_k. On appelle cela un k-uplet. On peut poser

Conjecture (0,a_2,a_3,\cdots,a_k) : il existe une infinité de p tels que (p,p+a_2,p+a_3,\cdots,p+a_k) soient tous premiers.

Alors attention, toutes ces conjectures ne sont pas vraies ! Certaines sont fausses de manière « évidente », par exemple la conjecture (0,2,4). Si p est premier, alors soit p+2, soit p+4, est forcément un multiple de 3 !

Heureusement, il est assez facile de caractériser les k-uplets pour lesquels la conjecture est « évidemment » fausse. Tous les autres k-uplets sont dits « admissibles », et on pense que pour tous les k-uplets admissibles, la conjecture est vraie.

(Pour les violents, un k-uplet est admissible si pour tout p, il ne contient pas tous les restes possibles modulo p : \forall p\ \exists r\ \forall i\ a_i\not\equiv r [p])

La première conjecture de Hardy-Littlewood

Continuons notre chemin. Prenons un k-uplet admissible (0,a_2,a_3,\cdots,a_k). Le plus grand nombre a_k est appelé le diamètre du k-uplet. Or ce qui est amusant pour un mathématicien, c’est de regarder des k-uplets de plus petit diamètre possible. En effet la conjecture (0,a_2,a_3,\cdots,a_k) associée à ces k-uplets va correspondre à des séquences de nombres premiers aussi proches les uns des autres que possible. Un k-uplet admissible de diamètre minimal est appelé une constellation.

Nous sommes enfin prèts à énoncer la première conjecture de Hardy-Littlewood ! Elle nous dit deux choses : premièrement pour toute constellation (0,a_2,a_3,\cdots,a_k), il existe une infinité de nombres p tels que (p,p+a_2,\cdots,p+a_k) soient tous premiers ; deuxièmement la répartition des nombres p qui marchent n’est pas quelconque, mais suit asymptotiquement une loi imbitable dont je vous épargne l’écriture mais que vous pouvez trouver ici.

Voilà, tout cela vous paraît peut être affreusement abstrait, mais nous allons voir maintenant pourquoi si la première conjecture de Hardy-Littlewood est vraie, alors la deuxième est automatiquement fausse !

Les constellations intéressantes

Revenons à la définition d’une constellation : il s’agit d’un k-uplet de taille minimale. Si la première conjecture de Hardy-Littlewood est vraie, chaque constellation va donner naissance à une infinité de séquences de nombres premiers. Comme les constellations sont aussi petites que possibles, cela correspond donc à des paquets de nombres premiers aussi proches que possible les uns des autres.

Eh bien figurez-vous qu’il existe des constellations comportant K nombres, dont le diamètre D est tel que la quantité de nombres premiers entre 0 est D est inférieure à K : \Phi(D)<K. Ca veut dire que si – comme l’affirme la première conjecture – ces constellations donnent effectivement naissance à ne serait-ce qu’une seule séquence de nombre premiers (p,p+a_2,\cdots,p+a_k), alors cette séquence va violer la deuxième conjecture : elle contiendra plus de nombres premiers que l’intervalle situé entre 0 et D. Vous voyez donc que si la première conjecture est vraie, elle permet de construire des contres-exemples à la deuxième.

Soyons clairs, des constellations intéressantes susceptibles de fournir ces contre-exemples, il n’y en a pas légion ! Une des plus petites comporte 447 nombres et son diamètre est 3159. Or il n’y a que 446 nombres premiers entre 2 et 3159.  Ce qu’il y a d’intéressant, c’est que la première conjecture de Hardy-Littlewood permet d’estimer la répartition des nombres premiers basés sur une constellation donnée. Et pour celle dont je viens de parler, le premier exemple est attendu quelque part entre 10^{174} et 10^{1197} (voir [4]). On n’est probablement pas près de le trouver !

Enfin petite spéculation pour finir : comme la première conjecture de Hardy-Littlewood ne donne qu’une répartition asymptotique des contre-exemples, je me demande si on peut imaginer que cette estimation soit assez fausse pour les petites valeurs, et donc qu’un contre-exemple soit trouvé beaucoup plus tôt qu’attendu ?


Références

[1] Hardy, Godfrey H., and John E. Littlewood. « Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes. » Acta Mathematica 44.1 (1923): 1-70.

[2] Richards, Ian. « On the incompatibility of two conjectures concerning primes; a discussion of the use of computers in attacking a theoretical problem. » Bull. Amer. Math. Soc 80 (1974).

[3] Zhang, Yitang. « Bounded gaps between primes. » Annals of Mathematics (2013).

[4] Le site de Thomas J Engelsma

Credits

Trinity College, Cambridge Dublin (dont Hardy et Littlewood étaient tout les deux fellows — de Cambridge, donc.)

21 réflexions sur “La première conjecture de Hardy-Littlewood

  1. 6 October 2014
    Prime 20-tuplet (NEW WORLD RECORD! And only the second known non-trivial example)
    14374153072440029138813893241 + d, d = 0, 2, 6, 8, 12, 20, 26, 30, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 62, 66, 68, 72, 78, 80 (29 digits, October 6, 2014, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
    Prime Sextuplet (NEW WORLD RECORD!)
    870032513661292713201722972 60820165414512118488760301556398626498188491456463 58277686273968781999872868722459777111857484469717 53983280707629711154231572631053566230084276478860 23227207644547260993660031471135999127435197470213 13524857213838992173535645487774803822922600418333 62039710076475709098424235499491861853827976762822 55224158287242481391522282240117490588685419026728 * 547# + 7187767 + d, d = 0, 4, 6, 10, 12, 16 (600 digits, Oct 2014, Vidar Nakling, PRIMO)
    2 October 2014
    Prime 11-tuplet
    705484555578416 * 150# + 23378471 + d, d = 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 (73 digits, Oct 2014, Norman Luhn)
    Prime 10-tuplet
    1587814371067375 * 150# + 23378471 + d, d = 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 (73 digits, Oct 2014, Norman Luhn)
    1587447530513373 * 150# + 23378471 + d, d = 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 (73 digits, Oct 2014, Norman Luhn)
    1114702802708799 * 150# + 23378471 + d, d = 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 (73 digits, Oct 2014, Norman Luhn)
    1095480220737315 * 150# + 23378471 + d, d = 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 (73 digits, Oct 2014, Norman Luhn)
    30 September 2014
    Prime 12-tuplet (NEW WORLD RECORD!)
    613176722801194*151# + 177321217 + d, d = 0, 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 40, 42 (75 digits, Sep 2014, Michael Stocker, PRIMO)
    Prime 11-tuplet A 75 digits
    446098440707057*151# + 177321217 + d, d = 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 40, 42 (75 digits, Sep 2014, Michael Stocker, PRIMO)
    26 September 2014
    Prime Sextuplet (NEW WORLD RECORD!)
    492103509033322124528105 66004692030919102801408208961819403146196577563745 47612468071120273355418960561478350682547569140488 87521441845768296420138203277151345176983584805931 40810554258883403885165265601751315494217008739561 68222901685046046380856370538924059371410139041704 19238485529931649675829983229294105715547460874970 07967825846220015325654831770578435398632279854720 * 547# + 8061997 + d, d = 0, 4, 6, 10, 12, 16 (597 digits, Sep 2014, Vidar Nakling, PRIMO)
    29 August 2014
    Prime twins
    38529154785 * 2173250 ± 1 (52165 digits, Jul 2014, Serge Batalov, NEWPGEN, LLR)
    27 June 2014
    Prime decuplet (NEW WORLD RECORD!)
    118557188915212 * 260# + 25658441 + d, d = 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 (118 digits, Jun 2014, Norman Luhn)
    24 June 2014
    Prime octuplet (NEW WORLD RECORD!)
    29995576270632 * 550# + 1277 + d, d = 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26 (236 digits, Jun 2014, Norman Luhn)
    Prime 20-tuplet (FIRST EVER NON-TRIVIAL EXAMPLE!!)
    3941119827895253385301920029 + d, d = 0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80 (28 digits, 24 June 2014, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)

    1 June 2014
    Prime quintuplet (Smallest example with 1000 digits)
    10999 + 3554007760224751 + d, d = 0, 2, 6, 8, 12 (1000 digits, Jun 2014, Norman Luhn, PRIMO)

    20 May 2014
    Prime dodecuplet (NEW WORLD RECORD!)
    467756 * 151# + 193828829641176461 + d, d = 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42 (66 digits, May 2014, Roger Thompson)

    23 April 2014
    Prime triplet
    1288726869465789 * 234567 + d, d = −5, −1, +1 (10421 digits, Apr 2014, Peter Kaiser)
    11 March 2014
    Prime 18-tuplet (NEW WORLD RECORD!)
    5867208169546174917450987997 + d, d = 0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66, 70 (28 digits, Mar 2014, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)

  2. La répartition des nombres p qui marchent n’est pas quelconque, mais suit asymptotiquement une loi imbitable dont je vous épargne l’écriture : ouf! J’étais à deux doigts d’être largué… A part l’admissibilité des K-uplets, chapeau une fois de plus pour cet article « mind-expanding » très bien écrit, bien qu’un poil ardu pour moi 😉

    Si tu me considères toujours comme représentatif de ton lectorat, alors voici un petit conseil pour ton prochain article : coller un peu plus à l’actualité peut-être? Au hasard : on reparle pas mal des ordinateurs quantiques en ce moment, et je trouve assez inquiétantes les recherches actuelles de Google (voire même Facebook) autour de l’intelligence artificielle… tout ça me semble bien dans tes cordes (non théoriques), et un petit décryptage (non quantique) ne serait pas de refus 😉

    A contrario, si tu veux un sujet plus léger, un petit article sur les sciences sociales, ou les théories économiques douteuses mais amusantes (hello, wife acceptance factor!)

    A+

  3. k=20 N=80

    The smallest known example of this pattern is 14374153072440029138813893241 + d, d = 0, 2, 6, 8, 12, 20, 26, 30, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 62, 66, 68, 72, 78, 80 (29 digits, October 6, 2014, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)

    Known prime k-tuplets for k = 21, 22, …, 78:

    k=21 N=84 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

    k=22 N=90 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109
    k=22 N=90 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

    k=23 N=94 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

    k=24 N=100 none

    k=25 N=110 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139

    k=26 N=114 none

    k=27 N=120 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139

    k=28 N=126 none

    k=29 N=130 none

  4. Je suis toujours aussi fasciné par les sujets autours des nombres premiers. Il est étonnant que des éléments aussi simples dans leur construction puissent poser autant de problèmes. A+

  5. Merci pour cet intéressant article. Serait-il possible d’exposer aussi les grandes lignes de ce qui fait croire aux spécialistes que la première conjecture est plus vraisemblable que la 2ème?

    • Je me demande si ça n’est pas la répartition asymptotique proposée par Hardy et Littlewood. J’imagine que si numériquement on s’aperçoit qu’elle est correcte (par exemple pour les nombres premiers jumeaux, ou cousins) ça doit apporter du crédit à l’idée.
      Je crois que c’est cette répartition asymptotique (conjecturée) qu’on utilise pour savoir où taper pour trouver des nombres premiers jumeaux.

      • Vous n´avez point mal dit :

        « Je crois que c’est cette répartition asymptotique (conjecturée) qu’on utilise pour savoir où taper pour trouver des nombres premiers jumeaux »

        Je suppose que vous voulez dire de **très grands** nombres premiers jumaux. La réponse est , bien sûr, que non. On utilise d´abord un trés bon software crible très rapide qui ne laisse que trés peu de candidats à tester avec un autre trés bon algorithme utilisant quelque théorème accelerateur du test de primalité genre Pockington (ou autre). Mais on cherche les très grands nombres premiers jumaux (ou bien les nombres k-tuplets premiers) toujours par ***force brute***. On ne saura jamais où ils se trouvent exactement sauf par le moyen d´une recherche systématique mais avec l´utilisation d´une crible **très rapide** d´abord, d´élimination des candidats non premiers divisibles par les petits nombres premiers. On abandonne la crible lorsque son temps de computation devient équivalent à celui du test de primalité.

        http://en.wikipedia.org/wiki/Pocklington_primality_test

    • Bonjour, juste pour vous répondre, ce qui permet de croire en la première conjecture est essentiellement le modèle de Cramér, et le fait que les structures additive et multiplicative des entiers soient jugées « décorrélées »..
      En quelques sortes, les nombres premiers sont les briques élémentaires de la structure multiplicative des entiers : en effet, ils permettent de décomposer chaque entier en un produit unique (à permutation près des facteurs). Par ailleurs les entiers sont munis d’une structure additive (on peut par exemple les additionner). En théorie des nombres, on considère souvent que ces deux structures interagissent très peu. Ce qu’il faut entendre par là, par exemple, c’est que si l’on a une information sur la structure multiplicative de l’entier N, cela ne nous dit quasiment rien sur la structure multiplicative de l’entier N+1, à part « ce qui est évident » (à savoir par exemple que si p divise N, alors p ne divise pas N+1, à moins que p=1). Comme l’a illustré David, la seule information « évidente » que l’on a sur les structures multiplicatives de N, N+2 et N+4, c’est que l’un des trois est divisible par 3 pour tout N. Mais ce n’est plus le cas pour le triplet N,N+4,N+6 par exemple. Par conséquent, il n’y a pas d’obstruction « évidente » au fait que les 3 soient premiers en même temps ! Comme le modèle de Cramér nous dit alors que la densité des entiers N qui vérifient que N,N+4 et N+6 soient premiers en même temps n’est pas trop faible, alors on estime qu’il en existe une infinité, et on pense savoir combien asymptotiquement (cf. le lien vers Wolfram de David).
      Pour calucler cette fameuse densité, on se base sur le modèle de Cramér qui dit -grossièrement- par exemple que pour N et N+2, le fait que l’un soit premier n’augmente ni ne diminue les chance de l’autre d’être premier : on retrouve l’idée d’indépendance des structures additive et multiplicative.
      Avec le modèle de Cramér, on peut s’amuser à conjecturer beaucoup de choses. Le résultat le plus frappant qui va dans le sens de ce modèle (résultat ANTÉRIEUR à ce modèle) est le Théorème des Nombres Premiers en Progression Arithmétique. (Bien entendu, je vous laisse le soin de Googler modèle de Cramér, Théorème des Nombres Premiers en Progressions Arithmétiques…).
      Il faut nuancer le propos en remarquant que le modèle de Cramér a ses limites, qui ont été prouvée par Maier. Il faut cependant noter que l’heuristique que je vous ai développée ci-dessus est vraiment loin des limites exhibées par Maier, et en plein dans le champ d’application réputé valable du modèle. D’où la forte croyance des mathématiciens pour la première conjecture d’Hardy Littlewood. (pour ce que ceci vaut, les simulations numériques semblent effectivement conforter l’opinion générale pour le moment).
      Pour finir, je vous conseille (pour les plus curieux) la lecture suivante, d’un petit écrit du très grand théoricien des nombres Andrew Granville, où il parle du modèle de Cramér.
      https://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf

      Élie.

  6. toujours aussi fascinant ces nombres premiers! une question : a-t-on trouvé un lien entre ces nombres et un phénomène physique quelconque? j’avais entendu parler de qqch avec les niveaux d’énergie de l’hydrogène je crois.. étant donné que notre univers est basé sur des phénomènes discrets (atomes, niveaux d’énergie..) on pourrait penser que les nombres premiers y jouent un rôle, mais je n’ai encore rien vu de précis… vous avez qqch?

  7. Bonjour, si je suis le raisonnement « toujours plus de nombres premiers entre 0 et N que dans tout autre intervalle de longueur N ». Si je prends N=4 (0 à 4), nous avons 2 nombres premiers (2 et 3). Si ensuite, je prends l’intervalle de 2 à 6 (N=4), j’obtiens 3 nombres premiers (2, 3 et 5).

    Pouvez-vous me dire si ceci est un contre-exemple ou si je fais simplement fausse route?

    • Ce sont des intervalles de longueur 5 !
      Donc il y a autant de nombre premiers inférieurs à 5 (inclus) qu’entre 2 et 6 (qui est un intervalle de longueur 5)

  8. THEORIE DES 4 JUMEAUX

    Tout les nombres premiers, à l’exception de 2 et 3, sont situés, soit à 6n-1, soit 6n+1, pour les désigner sans spécifié le rang +1 ou -1, j’utiliserais la notation 6n+-1.
    Tout les nombres, qui ne sont pas de la forme 6n+-1, sont divisibles soit par 2, soit par 3.
    Les 6n+-1, sont de deux sortes :
    il y a ceux qui sont premiers et ceux, qui ne sont pas premiers, car ils sont le produits de la multiplication de deux 6n+-1:
    Liste des 6n+-1 premiers, inférieurs à 100 :
    5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-71-73-79-83-89-97
    Liste des 6n+-1, qui ne sont pas premiers, inférieur à 100:
    25-35-49-55-65-77-85-91-95

    Décomposition des 6n+-1, qui ne sont pas premiers:

    25 = 5 x 5
    35 = 5 x 7
    49 = 7 x 7
    55 = 5 x 11
    65 = 5 x 13
    77 = 7 x 11
    85 = 5 x 17
    91 = 7 x 13
    95 = 5 x 19

    Nous pouvons constater que les 6n+-1 non premiers, sont les produits de la multiplication de deux 6n+-1
    Les uns engendrant les autres, cela fait, qu’il n’y a que des jumeaux, qui peuvent prendre, quatre formes différentes, que j’ai désigné par VFAB:

    V = Les vrai jumeaux : cas ou les deux nombres sont premiers.
    F = Les faux jumeaux : cas ou les deux nombres sont multiples.
    A : Les demi-jumeaux A: le premier nombre, est premier et le second multiple
    B : Les demi-jumeaux B: le premiers nombre, est multiple et le second premiers.

    5-7= V
    11-13=V
    17-19=V
    23-25=A
    29-31=V
    35-37=B
    41-43=V
    47-49=A
    53-55=A
    59-61=V
    65-67=B
    71-73=V
    77-79=B
    83-85=A
    89-91=A
    95-97=B

    Ainsi s’expliquent les écarts variables, séparant les couples de vrais jumeaux, nous ne savons pas encore calculer les 6n+-1 premiers, par-contre nous savons comment calculer les 6n+-1, qui ne sont pas premiers.
    Maintenant comment déterminer les multiples d’un 6n+-1, se situant à 6n+-1, c’est ce que nous allons voir.

    Pour simplifier, je désignerais un nombre premier par la lettre P et les 6n+-1, qui ne sont pas premiers par les lettres Pp,
    Pou déterminer quels sont ses multiples d’un 6n+-1, situés à 6n+-1, il suffit d’appliquer P+(Px4)+(Px2)si ce nombre est premier ou Pp+(Ppx4)+(Ppx2), lorsqu’il s’agit d’un multiple.
    Exemple pour 5:
    5+(5×4)+(5×2)= 5+20+10,
    Cela nous donne cette suite:
    5+20+10+20+10+20+10+20+10……..(n+-1)+20+10…..∞
    les résultats:
    25;35;55;65;85;95;115;125;145;155;175……..∞
    Vous pouvez constater qu’en divisant ces résultats par 5 nous retombons sur les 6n+-1
    25:5=5
    35:5=7
    55:5=11
    65:5=13
    85:5=17
    95:5=19
    115:5=23
    125:5=25
    145:5=29
    155:5=31
    175:5=35

  9. Pingback: Que faire des résultats scientifiques révolutionnaires démontrés par des amateurs incompris ? | Science étonnante

  10. J’ai un problème avec la 2ème conjecture, soit elle n’a aucun sens et relève de l’absurde, soit je ne la comprends pas. En effet, la mécanique d’incrémentation des nombres premiers montre qu’ils sont obligatoirement nombreux proche de 0 et ne peuvent que diminuer ensuite, rendant caduque la conjecture. De plus, la mécanique d’incrémentation des nombres premiers indique qu’il est impossible d’affirmer à 100% qu’un très grand nombre quelconque (disons au delà de 10 puissance 1000, mais à mon humble avis, à 10 exp 100 on est déjà dans la probabilité, à comparer avec l’affirmation d’avoir trouvé des nombres premiers à des puissances 1000 fois supérieures). puisse être ou non premier, quelle que soit la méthode utilisée, sauf à le passer par une grille ! Bref, vous pouvez avoir un taux de probabilité de 99,99% mais pas de 100%, pour cela, il faudra y ajouter… Le coup de chance ! en fait, seul un calculateur quantique pourrait y arriver, car je doute que quelqu’un n’ait jamais vérifié qu’un nombre à 100 chiffres soit réellement premier en dehors de formules mathématiques qui ne peuvent êtres qu’incomplète.

    De toute façon, la nature ne se préoccupe pas de tels défis, pour elle, la limite est le sens, ce que l’humain semble vouloir s’affranchir, alors même que c’est impossible sans tomber dans le néant ou l’absurde.

    PS : je suis en mesure d’argumenter ce que j’avance dans ce commentaire….

  11. Pingback: Répartition des nombres premiers | Automaths

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