Le théorème des 4 couleurs

Une nouvelle vidéo, consacrée au théorème des 4 couleurs, qui dit qu’on peut toujours colorier n’importe quelle carte géographique avec seulement 4 couleurs !

Pour ceux qui aiment les coloriages et les maths, mais qui veulent du plus lourd, allez donc voir mon billet sur les courbes remplissantes, qui explique pourquoi on peut toujours colorier un carré avec un crayon infiniment fin.

25 réflexions sur “Le théorème des 4 couleurs

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  3. Le théorème a d’autant moins d’intérêt en pratique qu’il est très facile de montrer qu’on peut toujours colorier une carte avec 6 couleurs. En effet, si on calcule le nombre moyen de voisin d’un pays, on montre que celui-ci est strictement inférieur à 6 (pour régler le problème des pays qui se touchent en un point unique, on considère que pour être voisin, il faut avoir au moins 1 cm de frontière commune). Conclusion, il y a toujours au moins un pays avec au plus 5 voisins. Donc de deux choses l’une:
    – la carte à moins de 6 pays et alors, il est clair que 6 couleurs suffisent;
    – sinon, on retire un pays qui à au plus 5 voisins. On obtient une carte plus petite qu’on peut colorier par récurrence. Et quand on rajoute le pays, ses voisins utilisent au plus 5 couleurs. Et comme on a 6 couleurs à disposition, on peut toujours colorier ce pays.

    Il y a aussi deux très très jolies preuves courtes que 5 couleurs suffisent.

  4. Effectivement, ça fait partie des choses auxquelles on pense jamais.
    Tout comme ma prof de maths un jour m’a expliqué que la stabilité d’un corps est plus solide sur 3 points et non pas sur 4. Encore aujourd’hui j’ai du mal à le concevoir, mais il paraît que notamment les avions sont plus stables en atterrissage sur 3 point, plutôt que sur 4.
    Il reste à se demander pourquoi les voitures en ont 4 ..?

  5. Bonjour,

    Je suis un grand fan de votre blog et le suis avec beaucoup d’attention. Je commencerais donc par vous féliciter pour votre travail.

    J’ai surement une remarque idiote qui ne dois pas respecter les règles mais s’il y a un gros pays entouré de disons 10 pays. Il n’existe aucun points avec plus de trois pays et aucun pays n’est en deux parties et pourtant il faudrait chaque pays d’une couleur différentes non?

    • Evidemment c’est une fois avoir posté cela que je me suis rendu compte de l’absurdité de ma remarque… Le gros pays peut être jaune et tous les autres rouge et bleu alternés.

      Très surprenant ce théorème, j’aime beaucoup!

      • D’ailleurs dans beaucoup de cas pratiques on s’en sort avec seulement 3 couleurs. On est forcés d’aller à 4 notamment quand un pays est complètement bordé par exactement 3 autres. Car on a alors une situation où les 4 pays se touchent tous les uns les autres.

  6. Soit 4 points A,B,C,D,
    on peut relier avec un crayon sur une feuille de papier
    A et B, A et C, A et D, B et C, B et D, C et D
    sans que les liaisons ne se coupent.
    Avec 5 points, une liaison en coupera forcément une autre ; impossible de faire autrement pour relier tous les points.
    Reste à savoir quel outil mathématique pourrait démontrer cela pour un plan.
    Une solution est de faire un pont, mais alors on est en 3D.

  7. « Les méthodes associées à ces graphes permettent de résoudre des problèmes comme l’énigme des trois maisons et d’autres plus difficiles comme le théorème des quatre couleurs. » Wiki

    Merci Pierre pour l’info. Je ne connaissais pas ces études des graphes planaires et c’est très intéressant de voir comment les mathématiques s’y prennent pour traiter le problème.

  8. Un bel exemple de complexité de frontières (interieures) vient des Emirats Arabes Unis. Plusieurs émirats sont en petits morceaux de ci de la. Mais le plus beau, dans les EAU, il y a une enclave du sultanat d’Oman, et dans cette enclave, une enclave d’un des EAU. Là, faut faire marcher les crayons de couleur !

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