Cosmologie 2 : forme et destin de l’Univers

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Après une petite interruption, je continue ma série de billets consacrés aux bases théoriques de la cosmologie.

Résumé de l’épisode précédent : Si vous avez lu mon premier billet sur le Big-Bang, vous savez déjà que l’équation d’Einstein appliquée au cas d’un Univers isotrope et homogène se réduit à une équation différentielle assez simple, l’équation de Friedmann.

\left(\frac{da}{dt}\right)^2=\frac{8\pi G\rho_0}{3}\frac{1}{a(t)}

Cette équation permet en particulier de décrire le fait que l’Univers est en expansion, ce que l’on constate en observant les galaxies s’éloigner de nous. Grâce aux mesures expérimentales de son taux d’expansion actuel, il est possible de rembobiner l’équation de Friedman pour reconstituer la jeunesse de l’Univers. Et c’est ainsi qu’on en arrive à l’idée du Big Bang, cette période dense et chaude où l’Univers était extraordinairement courbé.

Aujourd’hui nous allons nous intéresser non pas au passé mais à l’avenir de notre Univers, et voir en quoi son destin est irrémédiablement lié à sa forme. Et pour ça, il faut d’abord vous avouer que je vous ai menti sur l’équation de Friedmann. La version que je vous ai donnée est en réalité incomplète, et voici pourquoi.

La courbure de l’Univers

Je vous ai dit dans l’épisode précédent que si l’Univers est homogène et isotrope, on peut se contenter de le décrire en spécifiant son facteur d’échelle a(t), qui mesure de combien l’Univers est dilaté ou contracté par rapport au temps présent. Mais j’ai caché quelque chose sous le tapis : il existe un paramètre supplémentaire à considérer.

En effet si on suppose un Univers homogène et isotrope, cela implique notamment que la courbure de l’Univers est nécessairement la même en tout point de l’espace (sinon il ne serait pas homogène !). Mais cela n’oblige pas à ce que cette courbure soit nulle.

Pour décrire l’état de l’Univers à un instant donné, cela laisse trois possibilités :

  • Une courbure spatiale homogène positive : on dit que l’Univers est sphérique ;
  • Une courbure spatiale homogène négative : l’Univers est dit hyperbolique ;
  • Une courbure nulle partout : l’Univers est plat.

Il n’est pas très facile de se représenter ce que sont ces espaces tridimensionnels, alors on utilise souvent des images de leurs analogues en 2 dimensions. Un espace sphérique est comme la surface d’une sphère, un espace hyperbolique ressemble plutôt à une selle de cheval infinie.courbures

 

Notez que dans le cas sphérique, l’Univers est nécessairement de taille finie (mais sans bords !) tandis que dans les deux autres, il est forcément de taille infinie.

(PS 1 : j’en profite pour glisser qu’il est parfaitement possible en mathématiques de décrire des espaces courbes sans forcément faire appel à une dimension supplémentaire ! Dire que l’Univers se décrit comme un espace courbe n’implique pas qu’il existe une dimension dans laquelle il serait courbé !)

(PS 2 : en maths il me semble qu’on décrit souvent ces espaces comme étant « à courbure constante », mais comme en physique le terme constant signifie souvent « constant dans le temps », je préfère dire « homogène » pour dire « constant dans l’espace ». Par ailleurs ici, je néglige les cas associés aux topologies non-triviales, comme par exemple le le tore ou le dodécahèdre)

Sans le dire, dans le billet précédent, j’ai implicitement adopté la troisième hypothèse (espace plat). Dans le cas le plus général, il faut donc ajouter un paramètre supplémentaire dans notre description de l’Univers qui est R_0, son rayon de courbure au moment présent.

Muni de ce petit changement, si l’on remouline l’équation d’Einstein, on trouve la véritable équation de Friedmann complète

\left(\frac{da}{dt}\right)^2=\frac{8\pi G\rho_0}{3}\frac{1}{a(t)} \pm \frac{c^2}{R_0^2}

Ou le – est pour le cas sphérique et le + pour le cas hyperbolique.

Si l’on veut connaître le destin de l’Univers à partir de cette équation, on peut la résoudre comme un bourrin. Sinon, on peut lancer des cailloux.

Lancer de cailloux

Faisons un petit détour par un problème en apparence beaucoup plus simple que le destin de l’Univers  : celui d’une pierre qu’on lancerait en l’air verticalement depuis la surface de la Terre. Une manière de décrire ce problème, c’est de considérer les énergies qui interviennent : l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de pesanteur

Si x(t) désigne la distance entre la pierre et le centre de la Terre au temps t, l’énergie potentielle de pesanteur est égale à

-\frac{mMG}{x(t)},

où m est la masse de la pierre, M celle de la Terre et G la constante de gravitation universelle. De son côté, l’énergie cinétique est simplement égale à

\frac12 m v^2 = \frac12 m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2

En mécanique l’énergie totale est conservée, donc si on écrit que la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle de gravité est égale à une constante C, on obtient

\frac12 m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 - \frac{mMG}{x(t)} = C

que l’on peut récrire

 \frac12 m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 = \frac{mMG}{x(t)} + C

Vous ne trouvez pas qu’il y a une très forte similitude avec l’équation de Friedmann qui régit l’évolution du facteur d’échelle ?

Eh bien si, remplacez a(t) par x(t) et c’est en gros la même ! Donc interpréter l’équation de Friedmann n’est pas différent d’interpréter l’équation qui régit le mouvement d’un caillou jeté en l’air.

Destin de l’Univers

Pour savoir ce que sera le destin de l’Univers, on peut se référer à ce qu’il peut se passer pour notre pierre. Si vous la lancez initialement avec une force modérée, elle va s’élever, atteindre une hauteur maximum puis retomber. Cela correspond au cas où la constance C est négative. Au contraire si vous la lancez fabuleusement fort, elle pourra s’arracher à l’attraction terrestre et s’en aller dans l’espace, c’est le cas où la constante C est positive. Enfin on peut aussi envisager le cas C=0, qui est celui où vous balancez votre pierre avec juste la force nécessaire pour l’arracher de la surface.

pierre

Si on revient à l’équation qui décrit l’évolution du facteur d’échelle, on voit qu’il se passe la même chose, sauf que c’est la courbure de l’Univers qui joue le rôle de la constante C. Si l’espace est sphérique, la constante est négative. Le facteur d’échelle a(t) atteindra alors un maximum et l’Univers finira par se recontracter sur lui-même et finir dans ce qu’on appelle un Big Crunch. Tandis que si l’espace est hyperbolique, la constante sera positive et l’Univers partira en expansion éternelle : c’est le Big Chill (grand refroidissement).

univers

Ce qui est fascinant dans cette histoire, c’est que le destin de l’Univers est intimement lié à sa forme : si l’Univers est sphérique et fini, il finira en Big Crunch ; s’il est hyperbolique et infini, il s’étendra pour toujours et finira en Big Chill.

Je trouve ça incroyable que ces deux questions fondamentales sur l’Univers (est il fini ou infini ? / comment finira-t-il ?) ne soient en fait qu’une seule et même question. Pour ma part, j’ai toujours du mal à l’admettre !

Et dans le prochain billet, nous verrons pourquoi tout cela a volé en éclat en 1998…

Photo : http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Milky_Way_Arch.jpg

31 réflexions sur “Cosmologie 2 : forme et destin de l’Univers

  1. « j’en profite pour glisser qu’il est parfaitement possible en mathématiques de décrire des espaces courbes sans forcément faire appel à une dimension supplémentaire ! » justement, en mathématiques! Mais la réalité est autre chose et ces mathématiques font ensuite abstraction d’un espace de plongement fictif dont elles se sont servies auparavant pour se construire.
    Si on refuse la dimension supplémentaire, on devrait alors plus humblement et simplement annoncer qu’un rayon de lumière supposé voyager à l’infini, suivrait un trajet ayant l’allure globale d’une droite (courbure nulle), d’une parabole ou d’une hyperbole (courbure inférieure à zéro) ou d’un cercle recouvrant ses points d’arrivée et de départ (courbure supérieure à zéro), sans déranger pour cela la notion d’espace dans son entièreté dans le monde réel. Bien sûr, après il faudra ajouter que nul espace se courbe mais que : ou c’est le rayon à être courbé ou le milieu (éther) dans lequel il voyage à être courbé… dans l’espace classique comme axiome le désigne.

  2. Bonjour et merci pour ce billet.
    N’est-il pas possible d’avoir un univers « plat » mais fini en supposant qu’il ait la forme d’un tore?

    • Tout juste ! C’est pour ça que dans un des PS je précise qu’on va se contenter de regarder les topologies triviales. Il y a eu aussi une proposition assez sérieuse selon laquelle l’Univers pouvait être un dodécaèdre, ce qui donne une courbure assez légèrement positive, qui semble compatible avec ce qu’on observe.

  3. C’est peut-être une question stupide mais l’énergie potentielle de pesanteur c’est pas mg*x(t) plutôt?

    • Non ça n’est pas une question stupide !

      La véritable expression de l’énergie potentielle de pesanteur, c’est celle que je donne, où x désigne la distance au centre de la Terre.

      Si on approxime cette expression pour des petites altitudes h proches de la surface, on obtient mGM/(R+h) où R est le rayon de la Terre. Maintenant comme c’est de l’énergie, on peut toujours choisir de changer de point de référence et de prendre h=0 (la surface) plutôt que l’infini, et soustraire mGM/R
      On obtient alors
      mGM/(R+h) – mGM/R
      et si on mouline ça et qu’on pose que g=GM/R, on obtient l’expression habituelle mgh.

      • Je ne comprends pas trop car si on approxime pour h proche de 0 je trouve mGM/(R+h) – mGM/R=mGM/(R(1+h/R))-mGM/R=(mGM/R)(1-h/R)-mGM/R=-(mGM/R)*(h/R)= -(mGM/R²) et je trouve g=-mGM/R². Peut etre que je me trompe dans le calcul ?

  4. « Ce qui est fascinant dans cette histoire, c’est que le destin de l’Univers est intimement lié à sa forme : si l’Univers est sphérique et fini, il finira en Big Crunch ; s’il est hyperbolique et infini, il s’étendra pour toujours et finira en Big Chill. »

    Et s’il est plat, alors ? Il ne finira jamais ?

  5. Très intéressant comme d’habitude… Par contre j’ai du mal à comprendre pourquoi l’univers DOIT nécessairement avoir une courbure (même nulle). Localement, soit ! J’ai bien compris l’image de la bille sur le drap tendu. Mais pourquoi une courbure globale? Le drap n’est pas tendu finalement?

  6. Pingback: Cosmologie 2 : forme et destin de l’Unive...

  7. Si vous lus mon premier billet sur le …

    Il manque clairement un mot entre « vous » et « lus »

    En passant l’article est tres passionnant,j’aime!

    [Corrigé, merci ! – D.]

  8. « ces deux questions fondamentales sur l’Univers est il fini ou infini ? »
    Une courbure nulle espace plan (Univers plat) soit un Univers infini. Je trouve que le terme infini dans ce cas porte vraiment à confusion, il me semble que le terme POTENTIELLEMENT INFINI est plus judicieux. Si on parle d’Univers vraiment infini, il n’y a pas de début d’Univers, il a toujours existé, pas de big bang ! De ce fait fini ou infini ? C’est un peu la même chose, dans un Univers en expansion l’infini c’est du fini qui gonfle indéfiniment. Mais ce n’est surtout pas l’infini de l’Univers statique d’Einstein (au début de ça constante cosmologique) cet Univers qui a toujours existé sans début, sans histoire. Enfin c’est mon humble vision des choses.

  9. Je souhaite faire une petite comparaison assez parlante pour mieux expliquer les propos contenus dans mon premier commentaire, su ce billet, paru en réponse au post-scriptum n° 1 de David (qui n’était pas sans me communiquer un certain sentiment de polémique…).
    Oui, mathématiquement est bien possible de prévoir, par exemple, l’existence des nombres négatifs et de les traiter par calcul. Appliquons maintenant cette affirmation à la température, donc à une réalité cette fois bien physique et non mathématique (ou abstraite) : y a-t-il de températures négatives dans l’absolu ? Non ! Toute température absolue va du zéro absolu au dessus. On ne peut pas aller au-dessous du zéro absolu ni même pas l’atteindre, chose bien connue. Cependant le monde de nombres négatifs est bien là et si l’on se bornait à une échelle relative de température, comme celle Celsius (ou l’autre Fahrenheit), on pourrait bien croire que les mathématiques des nombres négatives, existant bien avant l’invention du thermomètre de Celsius, aient pu prédire l’existence physique des températures négatives. Eh bien non ! Pas de températures réellement négatives mais juste une convention pour celles dites négatives (la glace pure fondante au niveau de la mer prise comme référence d’un zéro virtuel et pas réel). Pareillement, je crois fortement qu’avec la notion de chronotope, c’est-à-dire : espace-temps, relatif selon Einstein, bien de savants soient en train de se leurrer comme si l’on prenait l’échelle Celsius telle que véritable échelle de température absolue alors qu’elle ne l’est pas. Car le vrai espace-temps est absolu et rejette les mathématiques de courbement sans plongement (ou riemanniennes), tout comme la température absolue rejette les mathématiques des nombres négatifs. Seule issue : une improbable quatrième dimension qui pourrait sauver les mathématiques riemanniennes de leur abstraction en leur trouvant finalement une contrepartie réelle dans le monde physique quadridimensionnel au sens spatial (issue concernant donc l’espace mais pas forcément aussi le temps). Voilà pourquoi j’insiste à dire : ou l’on espère dans une quatrième dimension au demeurant très ardue à concevoir (conflit avec les trois déjà conçues), ou bien l’espace-temps en tant que tel, absolu, ne peut pas se courber à la manière montrée par Einstein en suivant les mathématiques de courbure sans plongement.
    Est-ce désormais clair à la fois pour David et pour tous les autres commentateurs/trices de ce blog ? Y compris certains dérangeurs exprès de la pire espèce qui apparaissent « mystérieusement » lorsque je sors un commentaire sur ce blog… ? Merci.

    Marco

      • La source ? La logique fondamentale appliquée de façon rigoureuse.
        Si vous prenez un espace « E » et vous l’attitrez de « absolu », il ne peut pas se courber ou déformer dans aucune façon. Si en revanche il se courbe, c’est qu’il doit pouvoir déployer cette performance à lui dans ou sur un autre espace « H » de rajout (un hyperespace et/ou une hyper-dimension) par rapport auquel il se courbe. Il en découle que votre espace « E » n’est plus absolu mais relatif, l’espace absolu étant alors celui issu de la somme de « E » plus « H ». Cet espace « E+H » ne peut pas se courber, bien évidemment.
        Cela reste valide a fortiori pour des portions d’espace : la trajectoire courbe de la lumière est une portion d’espace et n’est courbe que par rapport à d’autres portions d’espaces ou par rapport à tout l’espace restant (somme de toutes les portions d’espaces restantes). Ce qui confirme que cette trajectoire courbe de lumière n’est pas un espace absolu puisque espace-portion relatif aux autres espaces-portions. Qui plus est, un espace se courbant localement (donc pas dans sa totalité cosmologique) se comporterait comme une substance ayant ses propres géodésiques (comme l’air a ses isobares, par exemple) et devrait alors recevoir des physiciens/ennes son propre nom de substance et ne pas s’appeler « espace » ; mais celle-ci est une question surtout linguistique (importante), pas vraiment de logique. La logique à elle seule, comme montré plus haut, exclut de façon nette qu’un espace absolu puisse tant si peu se courber… car autrement est un espace relatif à un autre.
        Ce raisonnement est inoxydable.

        Application du raisonnement : nous n’ayant pas pour l’instant d’indice nous alertant que notre espace physique (espace astronomique) soit relatif, dans sa totalité ou dans sa localité, à d’autres espaces ou dimensions, je ne vois pas pourquoi nous ne devrions pas le voir comme absolu et, par conséquence, indéformable. Ce qui, soit dit en passant, mine d’un gros doute la validité physique (non mathématique !) des cogitations contenues dans ce billet.

        Je précise que ce raisonnement se réfère à l’espace et pas (ou pas forcément) au temps aussi. Cela n’enlève rien à sa validité. Le temps pourrait faire l’objet d’un raisonnement similaire, mais je ne m’en suis pas bien occupé. Il suffit de démolir l’espace courbe pour démolir l’espace-temps courbe. Le temps, en outre, peut ne pas être considéré une autre dimension car foncièrement différent, par certaines de ses caractéristiques, vis-à-vis des dimensions classiques qui sont exclusivement spatiales. Mais cette dernière est plutôt une question lexicale (là aussi).

        Marco

      • On peut avoir un espace courbé sans plongement. Pas besoin de dimension supplémentaire. Si on prend un écran de jeu vidéo d’où tous les objets qui sortent par un côté entrent par l’autre, on a un tore sans plongement. Aucune raison que ce soit différent si on « courbe » l’espace-temps de l’écran de façon à ce que les géodésiques ne soient pas des lignes droites. Ce n’est pas parce que ce n’est pas intuitif que votre « simple logique » est vraie. Par ailleurs, l’espace dont on parle ici est l’Espace-Temps. Donc avec une quatrième dimension dont les propriétés ne sont pas identiques aux trois autres.

      • L’écran de l’ordinateur n’est ni un espace absolu mais partiel, car il termine à son périmètre par rapport à son électronique située à l’extérieur qui en détermine aussi les caractéristiques ; ni autosuffisant : pour qu’un objet sortant d’un côté rentre de l’autre côté il doit y avoir une électronique qui ramène artificiellement le bout d’objet sortant d’un côté dans l’autre côté, l’électronique faisant office de boucle (courbement !) grâce à ses connexions avec l’écran ; ni un espace naturel, car ses caractéristiques sont déterminé par un logiciel conçu de l’extérieur de cet espace (par l’espace cérébral de plusieurs hommes/femmes programmateurs). Pour ces trois raisons, et surtout pour les deux premières, ton exemple n’attaque absolument en rien le théorème logique selon lequel un espace absolu ne peut pas se courber ni se déformer ; il n’est pas pertinent.

        Même en voulant considérer le temps comme une dimension, ce qui ne me voit pas d’accord, du moment où l’espace absolu ne peut pas se courber, l’espace-temps absolu, dans son ensemble, ne pourra non plus se courber mais, éventuellement, c’est seulement le temps qui se courbera (ce qui d’ailleurs me semble contraire aux équations d’Einstein). Toutefois personnellement, je préfère les termes « ralentir » ou « accélérer » pour le temps, plutôt que « se courber ».

      • (ce qui implique que l’espace-temps peut être courbe, sans que l’espace le soit)

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  11. Salut les HUMAINS si vous connaissez toutes ces imbrications trouvez des solutions au Mal et de l’Injustice qui pourries ce bas Monde et moi le premier je crierai BRAVO ILE ONT REUSSI !!!

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  14. Bonjour David.

    J’accepte ta proposition et je lance un caillou:

    « Et c’est ainsi qu’on en arrive à l’idée du Big Bang, cette période dense et chaude où l’Univers était extraordinairement courbé. »

    À la condition que Georges LeMaître avait raison et qu’à l’époque du Big bang, l’univers n’était qu’un gros atome matériel de la dimension de la Terre. Sans oublier la nécessité de donner raison également à Newton en acceptant que « les masses s’attirent »; (ce que l’on sait évidemment être faux; mais bon…)

    Par contre, ce n’est pas du tout ce que le satellite PLANCK nous a confirmé. Il a spécifiquement confirmé que le Big bang fut suivit d’une période strictement « radiative »; ce qui n’implique, exclusivement, que de l’énergie « radiante »; autrement dit : un « mouvement radiatif » indiquant la simple manifestation « d’énergie cinétique ». Énergie cinétique qui pourra se transformer en toutes les énergies dont vous aurez éventuellement besoin pour décrire l’évolution de l’univers.

    Et comme il n’est pas question de masse ou « d’énergie de masse » dans ce mouvement « radiatif », l’univers de l’époque n’est donc pas déformé du tout, et est tout à fait « plat « à cette époque, tout comme le même satellite a confirmé qu’il l’est toujours, aujourd’hui.

    Finalement, le satellite PLANCK a foutu une bonne raclée à plusieurs de nos « convictions » scientifiques actuelles, je pense; incluant la notion de courbure « autre que nulle » pour l’univers.

    Il est évident que nous observons des courbures « locales » (gravitation) dans l’univers mais il est confirmé que l’univers lui-même n’a pas de courbure et donc, (ouch!) n’est pas assujetti à une gravitation « universelle ». Ce qui change toute nos interprétations cosmologiques actuelles.

    Par contre, l’univers est évidemment une « sphère » puisqu’il s’expand dans tous les sens et toutes les directions. Mais c’est une sphère a topologie « plate ». l’univers n’est pas situé SUR la sphère; il est « à l’intérieur » de la sphère.

    Bon d’accord, je ne lance plus de cailloux. J’apprécie énormément ton sens déductif basé sur les prémisses que tu adoptes, mon cher David. Ton raisonnement est absolument impeccable. À mon sens, ce sont les prémisses qui sont fautives et non pas ton raisonnement.

    Amicalement.

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