L’hypothèse de Riemann

La vidéo du jour parle de l’Hypothèse de Riemann !

J’ai essayé comme toujours de rendre ça accessible, mais je suis conscient que ça n’est pas évident car cela demande au minimum de connaître les nombres complexes.

J’ai pris soin toutefois d’éviter la notation \Sigma pour désigner les séries. Il me semble que sur un épisode court ça n’apporte pas grand chose à part demander au lecteur un effort de décryptage supplémentaire.

La transformée de Möbius

Le seul endroit où je me suis permis de le glisser, c’est dans la définition de la transformée de Möbius que je n’ai donné de toute façon qu’en « note de bas de page ».

Une petite précision concernant ladite transformation. A première vue, on pourrait croire que la somme comporte une infinité de termes, ce qui rendrait non-triviales les questions de convergence. Mais il n’en est rien ! Quand n augmente, x^{1/n} diminue et tend vers 1. Or la fonction Li() est nulle en dessous de 2. Donc quelque soit x, la transformée ne comporte qu’un nombre fini de termes.

Je suis passé rapidement sur la formule d’Euler, avec son produit infini. Euler en a fait une très belle démonstration (un peu « à la main »), avec des opérations de base : si vous ne l’avez jamais vue, je vous recommande de la lire.

L’impasse sur le prolongement analytique

Passons au gros morceau : le prolongement analytique, sur lequel j’ai fait le service minimum. ElJJ et 3Blue1Brown font ça très bien, donc je ne me suis pas risqué à donner des détails. Ce qui d’ailleurs aurait été compliqué sans rentrer frontalement dans l’analyse complexe.

Toute la beauté de la chose réside dans l’unicité du prolongement : a priori on pourrait imaginer prolonger la fonction de n’importe quelle façon ou presque, mais si on impose la contrainte supplémentaire que le prolongement soit « analytique », alors il est unique.

Ah oui, sinon je suis sûr que quelques matheux ont dû s’étrangler en m’entendant dire que l’on prolongeait la fonction sur tous le plan complexe, en fait c’est vrai sauf en z=1. Mais bon, c’est vrai « presque partout ».

Et non, je ne couvrirai pas le débat sur -1/12, j’ai déjà donné !

Où trouver des zéros ?

Sur la répartition des zéros sur la droite critique, je dis que certains sont parfois très proches les uns des autres mais sur les premiers que j’ai tracé, rien de très flagrant. Mais par exemple voici deux zéros consécutifs (enfin leur parties imaginaires) :

7005,0628…

et

7005,1005…

De façon générale, on peut étudier plein de chose sur l’espacement des zéros : de l’espacement moyen au fait que des espacements arbitrairement petits ou grands.

J’ai aussi glissé à la fin de façon imprécise le fait que « l’immense majorité des zéros est très proche de la droite critique », ce qui ne veut rien dire de précis. Concrètement, on sait qu’au moins 40% des zéros sont sur la droite, et que pour tout \epsilon, « presque tous » les  zéros sont dans une bande de largeur \epsilon.

15 réflexions sur “L’hypothèse de Riemann

  1. Super.

    Quelques coquilles en passant :

    sur tous le plan complexe –> …tout…
    je ne couvrirai pas le débat –> …rouvrirai…
    mais sur les premiers que j’ai tracé –> …tracés
    enfin leur parties imaginaires –> …leurs…
    que des espacements arbitrairement petits ou grands –> …soient…

    • Je rajouterais aussi « où $i$ est LE nombre imaginaire tel que $i^2=-1$ » -> « où $i$ est UN nombre imaginaire tel que $i^2=-1$ ».

  2. Intéressant, merci pour cette vidéo ! Est-ce que l’hypothèse ne serait pas tout simplement impossible à démontrer ? (je pense au théorème de Gödel)

    • Ce serait surprenant que le théorème de Gödel y ait sa place. Si c’était le cas, alors la théorie « classique » des nombres complexes admettrait deux extensions. Dans l’une des deux extensions, L’hypothèse serait vérifiée, alors que dans la seconde on aurait l’existence d’un zéro hors des deux droites connues. Toutefois, soit ce nombre serait non « localisable », soit il le serait, mais on n’aurait pas de preuve qu’il s’agirait d’un zéro. Je n’ai pas défini ce que j’entendais par « localisable », car c’est un peu technique et je risque de commettre des maladresses en le définissant précisément (en gros, les nombres dont le développement décimal est donné par une machine de Turing). Ça me semble assez peu crédible de pouvoir avoir ces deux extensions, et qu’elles soient toutes deux cohérentes.

  3. Merci,
    Bon, avouons-le, je n’ai pas tout compris (je n’ai pas les bases), mais je pars du principe que celui qui ne cherche pas à s’elever ne s’elevera jamais… j’en ai marre de tout comprendre sur ce que je vois à la télé, ce blog fait vraiment du bien à mon égo…
    Interessant, je vais donc (comme sur la plupart des autres articles) approfondir mon champ d’ignorance 🙂

  4. Merci pour cette vidéo intéressante.
    J’ai eu a obtenu une démonstration de cette fameuse hypothèse sauf que moi j’ai obtenu comme conclusion que les zéros non triviaux de la fonction zêta sont de la forme 1/2 + t avec t € [0;1/2[
    J’ai eu a me contacter des revue scientifique pour la publication de ma démonstration mais il ne veule même pas voir mon travail car il parait que pour publier il faut être soit enseignant d’université soit appartenir a un laboratoire de recherche reconnue
    S’il y a dans ce blog quelqu’un qui pourrait m’aider pour la publication de ma démonstration j’en serait très fière
    Cordialement

    • Sur la forme des zéros non triviaux de la fonction zêta que j’ai mentionné plus haut je tiens a corriger que ce son plutôt les partie réelle des zéros non triviaux qui sont de la forme 1/2 + t avec t € [0;1/2[ et non les zéros non triviaux

  5. Sauf erreur de ma part, zéta(1/2 + 70005,0628…..I) et zéta(1/2 + 7005,1005…….I) valent tous 2 environ 0,04, nous sommes très très loin du zéro non trivial.
    Jean Pierre MORVAN

  6. Super intéressant. Il y a un truc qui me surprends encore en mathématiques, je ne comprends pas pourquoi les démonstrations se font encore au « papier et au crayon ». Depuis Gödel, on sait que les démonstrations sont des programmes, ou plutôt des chemins partant des axiomes et arrivant aux théorèmes. Toute proposition de démonstration soumis à la communauté devrait ainsi être fait sous la forme d’une suite logique de règles d »inférences et la vérification devrait être instantanée à l’aide d’un logiciel. Il devrait aussi exister une bibliothèque contenant toute les preuves découvertes par l’humanité, où est-elle? Enfin, je ne serais pas étonné d’apprendre que les prochaines grandes découvertes seront faites par l’IA.

  7. Bonjour, déjà excellente vidéo comme d’habitude !
    Je me demandais si nous pouvions voir le code python qui a permis de tracer les courbes (Li(x) ect…) ?

  8. Bonjour,
    Juste une question peut être évidente mais… Pourquoi est-ce si difficile ? Et pourquoi Les mathématiciens savent que c’est si difficile ?
    Je veux dire, comment un mathématicien chevronné comme Hilbert a pu se demander si ça serait résolu dans 1000 ans ?
    Ok ce n’était pas encore résolu, mais combien de problèmes ne l’étaient pas encore à ce moment ? Pourquoi n’a t’on pas dit la même chose sur le théorème de Fermat, sur la conjecture des nombres premiers jumeaux, sur le théorème des trois couleurs ?

    En résumé, pourquoi on prévoyait très vite que ce serait très dur ? Et le corollaire, pourquoi est-ce très dur ? (même si une réponse possible ici serait que c’est parce que personne n’a réussi…).

    Merci d’avance !

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