L’hypothèse de Riemann

La vidéo du jour parle de l’Hypothèse de Riemann !

J’ai essayé comme toujours de rendre ça accessible, mais je suis conscient que ça n’est pas évident car cela demande au minimum de connaître les nombres complexes.

J’ai pris soin toutefois d’éviter la notation \Sigma pour désigner les séries. Il me semble que sur un épisode court ça n’apporte pas grand chose à part demander au lecteur un effort de décryptage supplémentaire.

La transformée de Möbius

Le seul endroit où je me suis permis de le glisser, c’est dans la définition de la transformée de Möbius que je n’ai donné de toute façon qu’en « note de bas de page ».

Une petite précision concernant ladite transformation. A première vue, on pourrait croire que la somme comporte une infinité de termes, ce qui rendrait non-triviales les questions de convergence. Mais il n’en est rien ! Quand n augmente, x^{1/n} diminue et tend vers 1. Or la fonction Li() est nulle en dessous de 2. Donc quelque soit x, la transformée ne comporte qu’un nombre fini de termes.

Je suis passé rapidement sur la formule d’Euler, avec son produit infini. Euler en a fait une très belle démonstration (un peu « à la main »), avec des opérations de base : si vous ne l’avez jamais vue, je vous recommande de la lire.

L’impasse sur le prolongement analytique

Passons au gros morceau : le prolongement analytique, sur lequel j’ai fait le service minimum. ElJJ et 3Blue1Brown font ça très bien, donc je ne me suis pas risqué à donner des détails. Ce qui d’ailleurs aurait été compliqué sans rentrer frontalement dans l’analyse complexe.

Toute la beauté de la chose réside dans l’unicité du prolongement : a priori on pourrait imaginer prolonger la fonction de n’importe quelle façon ou presque, mais si on impose la contrainte supplémentaire que le prolongement soit « analytique », alors il est unique.

Ah oui, sinon je suis sûr que quelques matheux ont dû s’étrangler en m’entendant dire que l’on prolongeait la fonction sur tous le plan complexe, en fait c’est vrai sauf en z=1. Mais bon, c’est vrai « presque partout ».

Et non, je ne couvrirai pas le débat sur -1/12, j’ai déjà donné !

Où trouver des zéros ?

Sur la répartition des zéros sur la droite critique, je dis que certains sont parfois très proches les uns des autres mais sur les premiers que j’ai tracé, rien de très flagrant. Mais par exemple voici deux zéros consécutifs (enfin leur parties imaginaires) :

7005,0628…

et

7005,1005…

De façon générale, on peut étudier plein de chose sur l’espacement des zéros : de l’espacement moyen au fait que des espacements arbitrairement petits ou grands.

J’ai aussi glissé à la fin de façon imprécise le fait que « l’immense majorité des zéros est très proche de la droite critique », ce qui ne veut rien dire de précis. Concrètement, on sait qu’au moins 40% des zéros sont sur la droite, et que pour tout \epsilon, « presque tous » les  zéros sont dans une bande de largeur \epsilon.

26 réflexions sur “L’hypothèse de Riemann

  1. Super.

    Quelques coquilles en passant :

    sur tous le plan complexe –> …tout…
    je ne couvrirai pas le débat –> …rouvrirai…
    mais sur les premiers que j’ai tracé –> …tracés
    enfin leur parties imaginaires –> …leurs…
    que des espacements arbitrairement petits ou grands –> …soient…

    • Je rajouterais aussi « où $i$ est LE nombre imaginaire tel que $i^2=-1$ » -> « où $i$ est UN nombre imaginaire tel que $i^2=-1$ ».

  2. Intéressant, merci pour cette vidéo ! Est-ce que l’hypothèse ne serait pas tout simplement impossible à démontrer ? (je pense au théorème de Gödel)

    • Ce serait surprenant que le théorème de Gödel y ait sa place. Si c’était le cas, alors la théorie « classique » des nombres complexes admettrait deux extensions. Dans l’une des deux extensions, L’hypothèse serait vérifiée, alors que dans la seconde on aurait l’existence d’un zéro hors des deux droites connues. Toutefois, soit ce nombre serait non « localisable », soit il le serait, mais on n’aurait pas de preuve qu’il s’agirait d’un zéro. Je n’ai pas défini ce que j’entendais par « localisable », car c’est un peu technique et je risque de commettre des maladresses en le définissant précisément (en gros, les nombres dont le développement décimal est donné par une machine de Turing). Ça me semble assez peu crédible de pouvoir avoir ces deux extensions, et qu’elles soient toutes deux cohérentes.

  3. Merci,
    Bon, avouons-le, je n’ai pas tout compris (je n’ai pas les bases), mais je pars du principe que celui qui ne cherche pas à s’elever ne s’elevera jamais… j’en ai marre de tout comprendre sur ce que je vois à la télé, ce blog fait vraiment du bien à mon égo…
    Interessant, je vais donc (comme sur la plupart des autres articles) approfondir mon champ d’ignorance 🙂

  4. Merci pour cette vidéo intéressante.
    J’ai eu a obtenu une démonstration de cette fameuse hypothèse sauf que moi j’ai obtenu comme conclusion que les zéros non triviaux de la fonction zêta sont de la forme 1/2 + t avec t € [0;1/2[
    J’ai eu a me contacter des revue scientifique pour la publication de ma démonstration mais il ne veule même pas voir mon travail car il parait que pour publier il faut être soit enseignant d’université soit appartenir a un laboratoire de recherche reconnue
    S’il y a dans ce blog quelqu’un qui pourrait m’aider pour la publication de ma démonstration j’en serait très fière
    Cordialement

    • Sur la forme des zéros non triviaux de la fonction zêta que j’ai mentionné plus haut je tiens a corriger que ce son plutôt les partie réelle des zéros non triviaux qui sont de la forme 1/2 + t avec t € [0;1/2[ et non les zéros non triviaux

  5. Sauf erreur de ma part, zéta(1/2 + 70005,0628…..I) et zéta(1/2 + 7005,1005…….I) valent tous 2 environ 0,04, nous sommes très très loin du zéro non trivial.
    Jean Pierre MORVAN

  6. Super intéressant. Il y a un truc qui me surprends encore en mathématiques, je ne comprends pas pourquoi les démonstrations se font encore au « papier et au crayon ». Depuis Gödel, on sait que les démonstrations sont des programmes, ou plutôt des chemins partant des axiomes et arrivant aux théorèmes. Toute proposition de démonstration soumis à la communauté devrait ainsi être fait sous la forme d’une suite logique de règles d »inférences et la vérification devrait être instantanée à l’aide d’un logiciel. Il devrait aussi exister une bibliothèque contenant toute les preuves découvertes par l’humanité, où est-elle? Enfin, je ne serais pas étonné d’apprendre que les prochaines grandes découvertes seront faites par l’IA.

    • Je suppose que la quantité de travail pour faire ces preuves serait énorme. Si tu dois calculer pendant des millions d’année, vu que tu fais en brute-force, c’est peut-être plus malin d’essayer de le faire à la main.
      Je vais me renseigner pour savoir si il existe des logiciels de preuve.

    • Il y a un consensus parmi les mathématiciens sur le fait que le corpus des preuves publiées dans les journaux à comité de lecture peuvent *en principe* se récrire en une suite de déductions élémentaires à partir des axiomes (sachant qu’il y a toujours la possibilité qu’une erreur se soit glissée ici ou là…). Mais en pratique on fait des raccourcis, indispensables pour que la preuve reste lisible par un humain ; le lecteur doit être capable de combler tous les détails manquants si besoin (le niveau des détails donnés dépendant du public visé), sinon il est en droit de demander des explications aux auteurs. Il existe des logiciels tels que Coq qui permettent de vérifier et certifier des preuves mathématiques, mais c’est un énorme travail de formaliser toutes les démonstrations d’un seul article (et surtout la chaîne de tous les résultats dont on a besoin et qui sont bien antérieurs à l’article, par exemple les nombreux résultats de base d’un domaine qu’on peut trouver dans des livres d’introduction sur le sujet, et les résultats des articles cités dans la bibliographie…). Par exemple, la formalisation de la preuve du théorème de Feit-Thompson (article de 250 pages, certes) a mobilisé toute l’équipe de Georges Gonthier pendant six ans… Et là on parle de certifier une preuve, pas d’en trouver. En tout cas il est clair que chercher une preuve informatiquement en faisant des déductions logiques au hasard est désespéré ; en ce qui concerne la possibilité de faire de grandes découvertes via l’IA, ça semble peut probable aujourd’hui mais on ne sait jamais que ce que l’avenir nous réserve. En tout cas on en est très loin (surtout pour une preuve de l’hypothèse de Riemann !). Pour ce qui est de la certification de preuves et le théorème de Feit-Thompson, je recommande l’excellent article de Jérôme Germoni sur l’excellent site « Images des mathématiques » :
      http://images.math.cnrs.fr/Coq-et-caracteres.html
      En dehors des certifications de preuves mathématiques, la certification de programmes (la preuve apportée par un autre programme qu’un programme donné va toujours se comporter selon les spécifications) est cruciale pour les applications critiques (métros automatiques, aéronautique, etc).

  7. Bonjour, déjà excellente vidéo comme d’habitude !
    Je me demandais si nous pouvions voir le code python qui a permis de tracer les courbes (Li(x) ect…) ?

  8. Bonjour,
    Juste une question peut être évidente mais… Pourquoi est-ce si difficile ? Et pourquoi Les mathématiciens savent que c’est si difficile ?
    Je veux dire, comment un mathématicien chevronné comme Hilbert a pu se demander si ça serait résolu dans 1000 ans ?
    Ok ce n’était pas encore résolu, mais combien de problèmes ne l’étaient pas encore à ce moment ? Pourquoi n’a t’on pas dit la même chose sur le théorème de Fermat, sur la conjecture des nombres premiers jumeaux, sur le théorème des trois couleurs ?

    En résumé, pourquoi on prévoyait très vite que ce serait très dur ? Et le corollaire, pourquoi est-ce très dur ? (même si une réponse possible ici serait que c’est parce que personne n’a réussi…).

    Merci d’avance !

    • D’après moi la citation que le mathématicien Hilbert a évoque c’était juste a cause de la liaison de cette hypothèse avec un thème des très fascinant mathématiques qui parait très simple mais qui n’a pas encore été compris dans ces profondeur: les Nombres premier
      En conclusion on n’a pas prédit que ce problèmes serait difficile mais plutôt qu’il serait très important

  9. Très belle vidéo… Une petite recherche sur le net sur la fonction zéta montre des milliers de retours….
    En tout cas pour les cureiux des maths dont je suis (et pas seulement les matheux pros…) le domaine des nombres premiers est sans doute la plus belle mais la plus ardue branche des maths.
    Merci pour cet éclairage David.

  10. Encore un super article ! Ce serait sympa un jour que tu fasses un article et/ou une vidéo (plutôt une vidéo) sur 2 sujets sur lesquels on ne trouve quasiment aucune information sur google/youtube : les techniques pour pressuriser un avion / sous marin. Et le fonctionnement détaillé des horloges atomiques. Voilà 2 petites idées vraiment peu traitées sur internet, même si je me doute que tu dois déjà en avoir plein, des idées !

  11. Il y a plusieurs questions que je me pose à propos de cette vidéo.
    Bon j’ai bien compris que le fait d’ « avoir» la fonction de zêta Riemann et de lui rajouter des corrections grâce aux « zéros » de la fonction permet d’obtenir la fonction de répartition des nombre premiers.
    Bon d’accord, dans la théorie, c’est très bien et très intéressant, mais dans la pratique, est ce que ce n’est pas complètement inutilisable ? Parce qu’à imaginer qu’on possède TOUS les zéros triviaux, TOUS les zéros non triviaux de partie réelle ½ et TOUS les zéros non triviaux de partie réelle différente de ½. Pour pouvoir « avoir » la fonction de répartition des nombres premiers, il faudrait y ajouter une infinité de micro-corrections… et donc cela mettrait une quantité de temps infinie pour avoir réellement « la » fonction de répartition des nombre premiers. Bref j’ai l’impression que chercher tous ces zéros ne sert pas à grand-chose.
    Par ailleurs, même s’il existe des zéros de partie réelle différente de ½, à quoi cela sert de les rechercher ? Même s’il y en a une infinité, il y aura toujours une infinité de fois davantage de zéros qui admettent ½ pour partie réelle, donc du coup leur « contribution » serait absolument négligeable pour le processus de correction de la fonction zêta de Riemann, non ? Du coup si notre objectif est d’avoir une fonction zêta de Riemann partiellement corrigée et lissée pour avoir la répartition des nombres premiers dans un grand domaine donné, il suffit d’inclure un immense nombre de zéros ayant pour partie réelle ½ en se contrefichant de ceux (éventuels) dont la partie réelle serait différente de ½, puisque leurs contributions serait tout à fait insignifiante.

    Enfin, j’ai l’impression qu’on en fait tout un fromage pour ce problème du millénaire. Alors certes, le lien entre l’analyse complexe et les nombres premiers est fascinant – et comprendre ce lien serait très stimulant j’en conviens- mais pourquoi rechercher tous ces zéros non triviaux ? Une simple compréhension du lien complexe/premiers serait déjà un pas significatif en avant.
    Si je compare ce problème du millénaire à celui de P=NP ?, je trouve ce dernier incroyablement plus important pour l’humanité. Je me base sur la vidéo de passe-science qui en parle. (https://www.youtube.com/watch?v=8TrIW-4kfRg). Si on trouve un seul cas de figure où un problème NP complet (c’est-à-dire dont la complexité de résolution est proportionnelle à une constante puissance « la taille du problème ») est égal à un problème P (c’est-à-dire dont la complexité de résolution est proportionnelle à « la taille du problème » puissance un constante), on pourrait transformer TOUS les problèmes NP-complets du monde en problème P, et donc trouver des solutions beaucoup plus rapidement à de très très nombreux problèmes en mathématiques et en physique.
    J’ai quand même l’impression que le problème du millénaire P=NP ? a quand même une portée bien plus grande pour l’humanité que l’hypothèse de Riemann, pas vous ?

    • Je ne me suis jamais intéressé au problème P = NP, mais à l’hypothèse de RIEMANN.
      J’ai démontré la formule qui donne la valeur vers laquelle tend la quantité de nombres premiers contenus dans un grand nombre , elle ressemble beaucoup à la formule de RIEMANN, mais les résultats sont différents.
      Par ailleurs ,les zéros triviaux n’existent pas, et il n’y a aucun zéro non trivial sur la droite s = 1/2 +ib. L’hypothèse de RIEMANN est fausse.
      Vous avez raison, on fait un fromage pour ce problème du millénaire qui n’apportera rien aux mathématiques;
      Le seul truc, c’est qu’il y a 1 million à gagner pour celui qui se prononce sur l’hypothèse de RIEMANN, et là j’aimerai bien que les mathématiciens admettent ma proposition disponible sous vixra.org dans la rubrique mathématiques puis théorie des nombres sous le numéro 1812.0242.
      J’aimerai aussi que les mathématiciens admettent ma proposition sur la conjecture de COLLATZ disponible sous vixra.org dans la rubrique mathématiques puis théorie des nombres sous le numéro 1805.0443;.
      J’aimerai aussi que les mathématiciens admettent ma proposition sur la conjecture de GOLDBACH disponible sous vixra.org dans la rubrique mathématiques puis théorie des nombres sous le numéro 1506.0121 (il y avait aussi u million à gagner en 2000, mais le problème c’est qu’il est très très difficile de trouver des mathématiciens qui admettent les propositions d’amateurs, il y a même un mathématicien « anonyme » qui a eu le culot d’ouvrir un blog « Pourquoi la conjecture de GOLDBACH ne sra jamais démontré par un amateur »).
      Bonne lecture !
      Jean Pierre MORVAN

  12. Bravo pour ton travail. Une idée pour la prochaine : comment fonctionnent les transistors NPN (comment ils ont été découverts, physique quantique)

  13. À propos de Li(x) il y a une grosse subtilité que j’ai eu du mal à piger :

    La formule explicite de Riemann c’est d’abord celle pour Psi(x) = \sum_{p^k\le x} \log p = x-\sum x^\rho/\rho + C

    La version pour J(x)=\sum_{p^k \le x} 1/k c’est la même où on remplace x (dont la transformée de Mellin est 1/(s-1)) par

    li_\rho(x) = 1_{x > 1} pv(\int_0^x t^{\rho-1} dt/\log t)

    Cette fonction bizarre, non-bornée en 1, a un énorme avantage : sa transformée de Mellin c’est -log(s-\rho)/s

    Et -\zeta’/s\zeta(s) = 1/(s-1)-\sum 1/\rho (s-\rho) (la transformée de Mellin de Psi(x))
    \log \zeta(s) / s = -\log (s-1)/s+\sum \log (s-\rho)/s (la transformée de Mellin de J(x))

    On a donc J(x) = li_1(x)-\sum li_\rho(x) d’où on déduit la formule explicite pour \pi(x) = \sum_n J(x^{1/n}) \mu(n)/n

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