L’hypothèse de Riemann

La vidéo du jour parle de l’Hypothèse de Riemann !

J’ai essayé comme toujours de rendre ça accessible, mais je suis conscient que ça n’est pas évident car cela demande au minimum de connaître les nombres complexes.

J’ai pris soin toutefois d’éviter la notation \Sigma pour désigner les séries. Il me semble que sur un épisode court ça n’apporte pas grand chose à part demander au lecteur un effort de décryptage supplémentaire.

La transformée de Möbius

Le seul endroit où je me suis permis de le glisser, c’est dans la définition de la transformée de Möbius que je n’ai donné de toute façon qu’en « note de bas de page ».

Une petite précision concernant ladite transformation. A première vue, on pourrait croire que la somme comporte une infinité de termes, ce qui rendrait non-triviales les questions de convergence. Mais il n’en est rien ! Quand n augmente, x^{1/n} diminue et tend vers 1. Or la fonction Li() est nulle en dessous de 2. Donc quelque soit x, la transformée ne comporte qu’un nombre fini de termes.

Je suis passé rapidement sur la formule d’Euler, avec son produit infini. Euler en a fait une très belle démonstration (un peu « à la main »), avec des opérations de base : si vous ne l’avez jamais vue, je vous recommande de la lire.

L’impasse sur le prolongement analytique

Passons au gros morceau : le prolongement analytique, sur lequel j’ai fait le service minimum. ElJJ et 3Blue1Brown font ça très bien, donc je ne me suis pas risqué à donner des détails. Ce qui d’ailleurs aurait été compliqué sans rentrer frontalement dans l’analyse complexe.

Toute la beauté de la chose réside dans l’unicité du prolongement : a priori on pourrait imaginer prolonger la fonction de n’importe quelle façon ou presque, mais si on impose la contrainte supplémentaire que le prolongement soit « analytique », alors il est unique.

Ah oui, sinon je suis sûr que quelques matheux ont dû s’étrangler en m’entendant dire que l’on prolongeait la fonction sur tous le plan complexe, en fait c’est vrai sauf en z=1. Mais bon, c’est vrai « presque partout ».

Et non, je ne couvrirai pas le débat sur -1/12, j’ai déjà donné !

Où trouver des zéros ?

Sur la répartition des zéros sur la droite critique, je dis que certains sont parfois très proches les uns des autres mais sur les premiers que j’ai tracé, rien de très flagrant. Mais par exemple voici deux zéros consécutifs (enfin leur parties imaginaires) :

7005,0628…

et

7005,1005…

De façon générale, on peut étudier plein de chose sur l’espacement des zéros : de l’espacement moyen au fait que des espacements arbitrairement petits ou grands.

J’ai aussi glissé à la fin de façon imprécise le fait que « l’immense majorité des zéros est très proche de la droite critique », ce qui ne veut rien dire de précis. Concrètement, on sait qu’au moins 40% des zéros sont sur la droite, et que pour tout \epsilon, « presque tous » les  zéros sont dans une bande de largeur \epsilon.

Comment les avions volent-ils ?

La vidéo du jour parle d’un sujet étonnamment controversé : le vol des avions !

Bernoulli et Newton sont dans un octogone

Peut-être aurez vous été surpris d’apprendre qu’il existait de féroces débats sur les phénomènes à l’origine de la portance. J’avoue que moi-même je l’ai été quand je me suis intéressé pour la première fois à ces questions, il y a quelques années. En particulier la controverse Bernoulli vs Newton me paraissait pour le moins étonnante, vu que les deux explications me semblaient parfaitement raisonnable. Lire la suite

Crise énergétique ou crise entropique ?

La vidéo du jour parle de thermodynamique !

Les anciens auront remarqué qu’il s’agit d’une reprise un peu arrangée d’un vieux billet de ce blog que je vous invite à aller lire si vous voulez quelques compléments.

La présentation que j’ai faite des grands principes de la thermo est évidemment un peu « à la hâche », mais ça permettra j’espère de donner quelques idées à ceux qui ne connaissaient pas le sujet. (Oui car comme certains semblent trop souvent l’oublier dans les commentaires, mes vidéos sont par principe destinées à ceux qui ne connaissent pas déjà le sujet !) Lire la suite

Comment lire une étude scientifique ?

Dans cette nouvelle vidéo, je m’attaque à ces fameuses « études américaines » auxquelles ont fait dire tout et son contraire…

Détail amusant : quand j’ai écrit le script, j’ai imaginé au hasard un sujet d' »étude américaine » : le heavy metal et la dépression. Or après j’ai vérifié, il existe bien des publications ayant étudié cette association ! D’ailleurs les résultats ont l’air subtils car en non-randomisé, il semblerait que l’écoute du metal soit plutôt corrélée avec les symptômes dépressifs, mais qu’en traitement randomisé il ait un effet bénéfique. Paradoxal, non ? Mais bon j’avoue que je n’ai pas creusé.

Quelques petits compléments d’usage, pour ceux qui voudraient aller plus loin… Lire la suite

La superposition quantique : un électron peut-il être à 2 endroits à la fois

Aujourd’hui, on s’attaque enfin à la fameuse question de la superposition quantique, et de la manière dont on l’interprète avec nos conceptions intuitives.

Comme d’habitude dans ce billet, je vais ajouter quelques compléments techniques et détailler certains points sur lesquels j’ai simplifié, voire carrément dit des trucs faux ! Mais avant cela, je voudrais revenir sur la motivation initiale.

Mais pourquoi parler de tout ça ?

Il y a en physique quantique comme ailleurs des débats entre les spécialistes sur la bonne manière de vulgariser certains concepts. L’idée de superposition quantique est une de celle qui fait couler beaucoup d’encre chez les physiciens.

Vous l’aurez compris, je fais partie de ceux qui sont totalement à l’aise avec cette idée d’ « être à plusieurs endroits à la fois » ou bien « être à la fois mort et vivant » (dans le cas du chat de Schrödinger). Mais les chercheurs qui vulgarisent cette discipline ne partagent pas tout cette vision. Je me souviens par exemple d’une discussion avec un chercheur en physique qui estimait lui que cette formulation était intolérable, même dans une optique de vulgarisation grand public. Lire la suite

La physique théorique et « La vraie nature profonde de la Réalité »

Il y a quelques jours, l’ami MrPhi a publié une vidéo sur la notion de réalisme scientifique. Il y précise notamment ce qu’est l’«anti-réalisme » en science, et j’y figure en bonne position en tant que porte-étendard de cette vision. Il faut dire que je l’ai bien cherché, puisque comme vous pouvez le voir dans sa vidéo, j’ai plusieurs fois tweeté à ce sujet !

Comme je n’arrivais pas à faire un commentaire de taille raisonnable sous sa vidéo afin de préciser ma pensée, je me suis dit que je pouvais tout aussi bien en faire un billet de blog, car c’était un sujet que je voulais traiter depuis longtemps !

Pour ceux qui le souhaiteraient, voici le lien vers sa vidéo et son billet de blog, même si je vais faire en sorte que ce que je raconte ici soit compréhensible sans l’avoir vue. Lire la suite

La communication quantique et le protocole BB84

Nouvelle vidéo sur la chaîne, une vidéo « un petit peu spéciale » en partenariat avec Echosciences PACA.

Le défi de cette vidéo était de donner quelques notions de communication quantique dans le format imposé de 3-4 minutes ! Pas la place donc pour y détailler un exemple de protocole d’échange de clé quantique comme le protocole BB84 dont j’esquisse juste le principe dans la vidéo. Voici donc quelques détails !

Non, BB84 n’est pas un lointain descendant du robot BB8, mais le nom du tout premier protocole d’échange de clé quantique qui a été imaginé en 1984 par les cryptologues Charles Bennett et Gilles Brassard. L’idée de ce protocole est de permettre l’échange sécurisé d’une clé de chiffrement, clé qui pourra être ensuite utilisée pour chiffrer un message qui sera ensuite transmis sur un canal de communication classique. Notez bien : ça n’est pas tout le message qui est transmis de façon « quantique », juste la clé de chiffrement. Lire la suite