Les fractions continues

21 août 2015

digits

Aujourd’hui je voudrais vous parler d’une construction mathématique très jolie et injustement méconnue : les fractions continues.

Vous allez voir que les fractions continues sont à la fois simples, amusantes, belles et utiles !

Que demander de plus ?

Pi, ça vaut combien en gros ?

Même si vous n’êtes pas un super-geek, il est vraisemblable que vous connaissiez au moins les quelques premières décimales du nombre \pi. L’écriture décimale d’un nombre comme \pi, c’est un truc pratique mais forcément imparfait. En effet quel que soit le nombre de décimales qu’on choisisse de mettre, il ne s’agira que d’une approximation, qui n’est jamais exactement égale au véritable \pi, par exemple

\pi = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582...

Les fractions continues, c’est une autre manière de représenter et d’approximer des nombres réels, une alternative à l’écriture décimale. Lire la suite »


[Vidéo] Les codes secrets (et un peu de MCMC)

18 mai 2015

Ma vidéo du week-end traite des codes secrets et de la cryptographie RSA. Si j’en crois les chiffres, ça passionne plus les foules que la biologie cellulaire d’il y a deux semaines !

Un sujet connexe que j’ai hésité à aborder dans la vidéo concerne les techniques de décryptage par Markov Chain Monte Carlo (MCMC pour les intimes) que j’ai un peu découvertes en lisant un excellent papier intitulé The Markov Chain Monte Carlo revolution (P. Diaconis, Bulletin of the American Mathematical Society 46.2 (2009): 179-205.). Les MCMC sont des algorithmes assez génériques aujourd’hui utilisés un peu partout de la physique statistique jusqu’aux problèmes de génétique des populations ou de linguistique (par exemple mon billet sur l’origine des langues indo-européennes) Lire la suite »


Le paradoxe de Simpson [vidéo]

6 avril 2015

Ma nouvelle vidéo sur la chaîne parle d’un sujet que j’ai déjà traité sur le blog : le paradoxe de Simpson. Les habitués des lieux n’apprendront donc probablement pas grand chose de nouveau, mais une petite piqûre de rappel ne fait jamais de mal !

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Le théorème des 4 couleurs

23 février 2015

Une nouvelle vidéo, consacrée au théorème des 4 couleurs, qui dit qu’on peut toujours colorier n’importe quelle carte géographique avec seulement 4 couleurs !

Pour ceux qui aiment les coloriages et les maths, mais qui veulent du plus lourd, allez donc voir mon billet sur les courbes remplissantes, qui explique pourquoi on peut toujours colorier un carré avec un crayon infiniment fin.


Une stratégie infaillible au poker

19 janvier 2015

Poker_cards_and_chipsDepuis la défaite du champion du monde Gary Kasparov contre l’ordinateur Deep Blue en 1997, nous nous sommes habitués à ce que les machines soient définitivement plus fortes que les humains aux échecs. Bon après tout, les échecs, c’est rien que du pur raisonnement mathématique.

Mais le poker ? Ce jeu qui relève autant du calcul que de la psychologie, où il faut savoir entourlouper et bluffer, prendre des risques parfois, être prudent de temps en temps…un ordinateur battrait un champion du monde de poker ?

Eh bien les amis, sachez que la situation est encore bien pire que ça. Ce qui vient d’être annoncé il y a quelques jours, ça n’est pas qu’un ordinateur peut battre un humain, mais que cet ordinateur est capable de jouer une stratégie parfaite, et mathématiquement imbattable. Lire la suite »


La première conjecture de Hardy-Littlewood

20 octobre 2014

trinity collegeLa semaine dernière, je vous ai parlé de ce qu’on appelle la deuxième conjecture de Hardy-Littlewood, qui affirme qu’il y a toujours plus de nombres premiers entre 0 et N que dans tout autre intervalle de longueur N.

Cette conjecture a de quoi intriguer, car on n’en a jamais trouvé un seul contre-exemple, et pourtant les spécialistes sont convaincus qu’elle est fausse. Mais ils estiment que pour trouver un contre-exemple, il faut aller chercher au-delà de 10^{174} !

Aujourd’hui, nous allons voir ce qui permet de faire cette estimation. Il s’agit d’une autre conjecture proposée au même moment par les mêmes mathématiciens : celle qu’on appelle la première conjecture de Hardy-Littlewood. Lire la suite »


La deuxième conjecture de Hardy-Littlewood

13 octobre 2014

hardyC’est l’histoire d’un physicien à qui on demande d’étudier la conjecture

« Tout nombre impair est un nombre premier. »

Il commence donc à regarder les nombres impairs les uns après les autres :

1 : ok.     3 : ok.    5 : ok.     7 : ok.    9 : …hum.     11 : ok.    

13 : ok.     15 : …euh.     17 : ok.     19 : ok.

Et le physicien finit par conclure :

« La conjecture est vraie; …en première approximation. »

Au-delà du fait que cette conjecture est évidemment carrément fausse, cette histoire illustre le fait qu’en mathématiques il n’y a pas de demi-mesure : soit une conjecture est vraie pour ABSOLUMENT TOUS les nombres, soit elle est fausse ! Un seul contre-exemple suffit pour démolir l’édifice.

Et pourtant aujourd’hui nous allons parler d’une conjecture un peu étrange : la deuxième conjecture de Hardy-Littlewood. Personne n’en a jamais trouvé de contre-exemple, et malgré cela les spécialistes sont convaincus qu’elle est fausse ! Mais le premier contre-exemple est attendu fabuleusement loin, au point qu’on estime que la conjecture est vraie jusqu’à au moins 10 puissance 174 ! Lire la suite »


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