L’hypothèse de Riemann

La vidéo du jour parle de l’Hypothèse de Riemann !

J’ai essayé comme toujours de rendre ça accessible, mais je suis conscient que ça n’est pas évident car cela demande au minimum de connaître les nombres complexes.

J’ai pris soin toutefois d’éviter la notation \Sigma pour désigner les séries. Il me semble que sur un épisode court ça n’apporte pas grand chose à part demander au lecteur un effort de décryptage supplémentaire.

La transformée de Möbius

Le seul endroit où je me suis permis de le glisser, c’est dans la définition de la transformée de Möbius que je n’ai donné de toute façon qu’en « note de bas de page ».

Une petite précision concernant ladite transformation. A première vue, on pourrait croire que la somme comporte une infinité de termes, ce qui rendrait non-triviales les questions de convergence. Mais il n’en est rien ! Quand n augmente, x^{1/n} diminue et tend vers 1. Or la fonction Li() est nulle en dessous de 2. Donc quelque soit x, la transformée ne comporte qu’un nombre fini de termes.

Je suis passé rapidement sur la formule d’Euler, avec son produit infini. Euler en a fait une très belle démonstration (un peu « à la main »), avec des opérations de base : si vous ne l’avez jamais vue, je vous recommande de la lire.

L’impasse sur le prolongement analytique

Passons au gros morceau : le prolongement analytique, sur lequel j’ai fait le service minimum. ElJJ et 3Blue1Brown font ça très bien, donc je ne me suis pas risqué à donner des détails. Ce qui d’ailleurs aurait été compliqué sans rentrer frontalement dans l’analyse complexe.

Toute la beauté de la chose réside dans l’unicité du prolongement : a priori on pourrait imaginer prolonger la fonction de n’importe quelle façon ou presque, mais si on impose la contrainte supplémentaire que le prolongement soit « analytique », alors il est unique.

Ah oui, sinon je suis sûr que quelques matheux ont dû s’étrangler en m’entendant dire que l’on prolongeait la fonction sur tous le plan complexe, en fait c’est vrai sauf en z=1. Mais bon, c’est vrai « presque partout ».

Et non, je ne couvrirai pas le débat sur -1/12, j’ai déjà donné !

Où trouver des zéros ?

Sur la répartition des zéros sur la droite critique, je dis que certains sont parfois très proches les uns des autres mais sur les premiers que j’ai tracé, rien de très flagrant. Mais par exemple voici deux zéros consécutifs (enfin leur parties imaginaires) :

7005,0628…

et

7005,1005…

De façon générale, on peut étudier plein de chose sur l’espacement des zéros : de l’espacement moyen au fait que des espacements arbitrairement petits ou grands.

J’ai aussi glissé à la fin de façon imprécise le fait que « l’immense majorité des zéros est très proche de la droite critique », ce qui ne veut rien dire de précis. Concrètement, on sait qu’au moins 40% des zéros sont sur la droite, et que pour tout \epsilon, « presque tous » les  zéros sont dans une bande de largeur \epsilon.

Les mathématiques de la musique

Aujourd’hui un sujet qui me tient à coeur : la musique ! … et ses relations avec les mathématiques et la physique.

La vidéo est déjà bien assez longue, alors peu de compléments aujourd’hui, si ce n’est insister à nouveau sur le fait qu’il existe encore plein d’autres manières d’accorder les instruments, suivant le nombre de notes et la manière dont on choisit les intervalles. Il existe même des façons d’accorder où les octaves ne sont pas parfaites !

Un point pour les guitaristes : on peut sentir assez bien le fait qu’il y a un souci d’accordage sur les guitares en regardant les harmoniques naturelles des cordes. La seconde harmonique (l’octave) se situe pile sur la 12e frette, la troisième harmonique (la quinte) pile sur la 7e frette, la quatrième harmonique (deux octaves) pile sur la 5e frette. Il est d’ailleurs de coutume d’accorder sa guitare en comparant la 4e harmonique d’une corde et la troisième harmonique de la suivante (ce qui produit un accordage en quintes parfaites)

Mais pour la 5e harmonique (la tierce majeure), vous avez peut-être déjà remarqué qu’elle ne se situe pas exactement pile sur la 4e frette, mais un chouilla plus vers la tête du manche. Cette 4e harmonique donne une tierce majeure parfaite, mais si vous jouez normalement une note sur la 4e case, vous obtenez une tierce légèrement fausse, un chouilla plus haute que la tierce majeure parfaite.

Question ouverte : je me demande si c’est ça qui explique que sur une guitare avec un son très saturé (donc très riche en harmoniques), les accords majeurs ou mineurs sonnent dégueu, et qu’on recommande donc d’utiliser uniquement fondamentale et quinte pour faire des power chords.

Si vous voulez creuser, vous pouvez aller voir la notion de comma (que j’ai décidé de ne pas traiter) et notamment le concept intéressant de « dérive du comma » qui fait que si on joue en intonation juste (« des physiciens ») on peut se retrouver à avoir sur certains morceaux un accordage qui dérive !

Les nombres premiers

Ma nouvelle vidéo porte sur le concept le plus simple et le plus déroutant des mathématiques : les nombres premiers !

Qu’est-ce qu’un nombre premier ?

Une petite précision de définition pour commencer : je n’ai pas voulu alourdir l’introduction en donnant une définition totalement précise de ce qu’est un nombre premier. Et je suis passé notamment sur cette convention de ne pas considérer 1 comme un nombre premier. Une manière élégante et compacte c’est de dire qu’un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs distincts (1 et lui-même).

Le résultat de Zhang

Pour être précis, ce qu’à montré Zhang [3], c’est qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers consécutifs séparés d’un gap de moins de 70 millions. Je vous laisse vous convaincre que l’on en déduit que forcément parmi les conjectures des nombres premiers jumeaux, cousins, sexys, etc. jusqu’à 70 millions, il y a en a au moins une de correcte. Lire la suite

Les fractions continues

digits

Aujourd’hui je voudrais vous parler d’une construction mathématique très jolie et injustement méconnue : les fractions continues.

Vous allez voir que les fractions continues sont à la fois simples, amusantes, belles et utiles !

Que demander de plus ?

Pi, ça vaut combien en gros ?

Même si vous n’êtes pas un super-geek, il est vraisemblable que vous connaissiez au moins les quelques premières décimales du nombre \pi. L’écriture décimale d’un nombre comme \pi, c’est un truc pratique mais forcément imparfait. En effet quel que soit le nombre de décimales qu’on choisisse de mettre, il ne s’agira que d’une approximation, qui n’est jamais exactement égale au véritable \pi, par exemple

\pi = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582...

Les fractions continues, c’est une autre manière de représenter et d’approximer des nombres réels, une alternative à l’écriture décimale. Lire la suite

La première conjecture de Hardy-Littlewood

trinity collegeLa semaine dernière, je vous ai parlé de ce qu’on appelle la deuxième conjecture de Hardy-Littlewood, qui affirme qu’il y a toujours plus de nombres premiers entre 0 et N que dans tout autre intervalle de longueur N.

Cette conjecture a de quoi intriguer, car on n’en a jamais trouvé un seul contre-exemple, et pourtant les spécialistes sont convaincus qu’elle est fausse. Mais ils estiment que pour trouver un contre-exemple, il faut aller chercher au-delà de 10^{174} !

Aujourd’hui, nous allons voir ce qui permet de faire cette estimation. Il s’agit d’une autre conjecture proposée au même moment par les mêmes mathématiciens : celle qu’on appelle la première conjecture de Hardy-Littlewood. Lire la suite