L’hypothèse de Riemann

La vidéo du jour parle de l’Hypothèse de Riemann !

J’ai essayé comme toujours de rendre ça accessible, mais je suis conscient que ça n’est pas évident car cela demande au minimum de connaître les nombres complexes.

J’ai pris soin toutefois d’éviter la notation \Sigma pour désigner les séries. Il me semble que sur un épisode court ça n’apporte pas grand chose à part demander au lecteur un effort de décryptage supplémentaire.

La transformée de Möbius

Le seul endroit où je me suis permis de le glisser, c’est dans la définition de la transformée de Möbius que je n’ai donné de toute façon qu’en « note de bas de page ».

Une petite précision concernant ladite transformation. A première vue, on pourrait croire que la somme comporte une infinité de termes, ce qui rendrait non-triviales les questions de convergence. Mais il n’en est rien ! Quand n augmente, x^{1/n} diminue et tend vers 1. Or la fonction Li() est nulle en dessous de 2. Donc quelque soit x, la transformée ne comporte qu’un nombre fini de termes.

Je suis passé rapidement sur la formule d’Euler, avec son produit infini. Euler en a fait une très belle démonstration (un peu « à la main »), avec des opérations de base : si vous ne l’avez jamais vue, je vous recommande de la lire.

L’impasse sur le prolongement analytique

Passons au gros morceau : le prolongement analytique, sur lequel j’ai fait le service minimum. ElJJ et 3Blue1Brown font ça très bien, donc je ne me suis pas risqué à donner des détails. Ce qui d’ailleurs aurait été compliqué sans rentrer frontalement dans l’analyse complexe.

Toute la beauté de la chose réside dans l’unicité du prolongement : a priori on pourrait imaginer prolonger la fonction de n’importe quelle façon ou presque, mais si on impose la contrainte supplémentaire que le prolongement soit « analytique », alors il est unique.

Ah oui, sinon je suis sûr que quelques matheux ont dû s’étrangler en m’entendant dire que l’on prolongeait la fonction sur tous le plan complexe, en fait c’est vrai sauf en z=1. Mais bon, c’est vrai « presque partout ».

Et non, je ne couvrirai pas le débat sur -1/12, j’ai déjà donné !

Où trouver des zéros ?

Sur la répartition des zéros sur la droite critique, je dis que certains sont parfois très proches les uns des autres mais sur les premiers que j’ai tracé, rien de très flagrant. Mais par exemple voici deux zéros consécutifs (enfin leur parties imaginaires) :

7005,0628…

et

7005,1005…

De façon générale, on peut étudier plein de chose sur l’espacement des zéros : de l’espacement moyen au fait que des espacements arbitrairement petits ou grands.

J’ai aussi glissé à la fin de façon imprécise le fait que « l’immense majorité des zéros est très proche de la droite critique », ce qui ne veut rien dire de précis. Concrètement, on sait qu’au moins 40% des zéros sont sur la droite, et que pour tout \epsilon, « presque tous » les  zéros sont dans une bande de largeur \epsilon.

La première conjecture de Hardy-Littlewood

trinity collegeLa semaine dernière, je vous ai parlé de ce qu’on appelle la deuxième conjecture de Hardy-Littlewood, qui affirme qu’il y a toujours plus de nombres premiers entre 0 et N que dans tout autre intervalle de longueur N.

Cette conjecture a de quoi intriguer, car on n’en a jamais trouvé un seul contre-exemple, et pourtant les spécialistes sont convaincus qu’elle est fausse. Mais ils estiment que pour trouver un contre-exemple, il faut aller chercher au-delà de 10^{174} !

Aujourd’hui, nous allons voir ce qui permet de faire cette estimation. Il s’agit d’une autre conjecture proposée au même moment par les mêmes mathématiciens : celle qu’on appelle la première conjecture de Hardy-Littlewood. Lire la suite

La deuxième conjecture de Hardy-Littlewood

hardyC’est l’histoire d’un physicien à qui on demande d’étudier la conjecture

« Tout nombre impair est un nombre premier. »

Il commence donc à regarder les nombres impairs les uns après les autres :

1 : ok.     3 : ok.    5 : ok.     7 : ok.    9 : …hum.     11 : ok.    

13 : ok.     15 : …euh.     17 : ok.     19 : ok.

Et le physicien finit par conclure :

« La conjecture est vraie; …en première approximation. »

Au-delà du fait que cette conjecture est évidemment carrément fausse, cette histoire illustre le fait qu’en mathématiques il n’y a pas de demi-mesure : soit une conjecture est vraie pour ABSOLUMENT TOUS les nombres, soit elle est fausse ! Un seul contre-exemple suffit pour démolir l’édifice.

Et pourtant aujourd’hui nous allons parler d’une conjecture un peu étrange : la deuxième conjecture de Hardy-Littlewood. Personne n’en a jamais trouvé de contre-exemple, et malgré cela les spécialistes sont convaincus qu’elle est fausse ! Mais le premier contre-exemple est attendu fabuleusement loin, au point qu’on estime que la conjecture est vraie jusqu’à au moins 10 puissance 174 ! Lire la suite

Les nombres de Mersenne

math_equations_300pxLes mathématiciens adorent les nombres premiers ! Non seulement ils sont à la base de problèmes simples mais encore non-résolus, comme la conjecture de Goldbach dont je parlais ici (tout nombre pair serait la somme de deux nombres premiers), mais les nombres premiers s’avèrent également très utiles dans la vie réelle, comme avec l’algorithme de cryptage RSA qui sert à protéger un grand nombre de nos secrets informatiques ou bancaires (sujet d’un autre billet).

Pour ces raisons, les mathématiciens adoreraient disposer d’une machine à fabriquer des nombres premiers, ou tout du moins d’une formule qui permette d’en construire à volonté.

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Protégez vos petits secrets grâce aux nombres premiers

matrix_300Imaginons que vous soyez le chef de la diplomatie de votre pays, et que vos ambassadeurs aient besoin de vous envoyer des messages top secrets. Afin d’échapper aux oreilles de l’ennemi et de Wikileaks, vous allez avoir besoin de coder ces messages. Comment faire ?

La cryptographie basique

Pour cela, vous pouvez choisir une méthode simple, comme substituer une lettre par une autre dans l’alphabet. C’est le principe qu’utilisait César pour communiquer avec ses généraux. Les messages étaient codés de la manière suivante : chaque lettre est remplacée par la lettre située 3 cases plus loin dans l’alphabet : A devient D, B devient E, etc. En voici le principe en image pour coder le mot « BONJOUR » :
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La conjecture de Goldbach

Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers

Sous son apparente simplicité, cet énoncé en principe compréhensible par un enfant de 3ème (*) constitue en fait l’une des énigmes les plus importantes des mathématiques modernes. Cette affirmation porte le nom de « Conjecture de Goldbach », en référence au mathématicien prussien qui l’a pour la première fois énoncée en 1742, dans une lettre à Leonard Euler. Ce dernier lui répondit qu’il considérait ce résultat comme « totalement certain, bien que je ne sois pas capable moi-même de le démontrer ». 268 ans plus tard, Euler peut dormir tranquille, personne n’a jamais réussi.

Si vous vous sentez un peu fatigué pour chercher directement une démonstration, on peut s’échauffer en faisant quelques tests numériques. Commençons de tête avec les premiers nombres pairs, en cherchant à les décomposer sous forme d’une somme de deux nombres premiers :

2=1+1, 4=3+1, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=7+5, 14=7+7, 16=5+11,…

Bien sûr il peut exister plusieurs solutions, par exemple :

100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53.

Maintenant pour entrer dans l’histoire des mathématiques, vous avez deux options : essayer de démontrer la conjecture de Goldbach, ou bien essayer d’en trouver un contre-exemple, c’est-à-dire un nombre pair pour lequel il n’existe aucune décomposition comme somme de deux nombres premiers.

Vous vous sentez en forme ? Alors choisissez un nombre pair et rendez vous sur cette page pour voir s’il en existe au moins une décomposition en somme de deux nombres premiers

J’ai essayé avec n= 2345678654321345678765432, et la gloire n’est pas pour aujourd’hui. Il doit exister un sacré paquet de manière de l’écrire comme somme de deux nombres premiers, et voici les 5 premières

2345678654321345678765432 =  181 + 2345678654321345678765251

2345678654321345678765432 =  421 + 2345678654321345678765011

2345678654321345678765432 =  1093 + 2345678654321345678764339

2345678654321345678765432 =  1249 + 2345678654321345678764183

2345678654321345678765432 =  1621 + 2345678654321345678763811

Intuitivement, on sent que plus les nombres sont grands, plus cela devient facile car il existe alors plus de possibilités de trouver des nombres premiers qui conviennent. Il existe dans cette veine un argument statistique qui fait dire aux mathématiciens que la conjecture est très certainement vraie. D’ailleurs en lançant des tas de calculs de ce genre sur des grosses machines, la conjecture de Goldbach a été vérifiée numériquement jusqu’à des nombres supérieurs à 1 000 000 000 000 000 000 (10^18).

La conjecture de Goldbach est vraiment une énigme fascinante : très simple à comprendre, vérifiée numériquement jusqu’à des nombres astronomiques, et pourtant à ce jour sans démonstration.

Alors la conjecture de Goldbach, bientôt démontrée ?

Pour se donner une idée de la difficulté, on peut regarder ce que les mathématiciens ont réussit jusqu’ici à démontrer dans ce domaine. Voici trois résultats démontrés, mais plus « faibles » que la conjecture de Goldbach :

D’une part il a été prouvé que s’il existe des contre-exemples à la conjecture, il y en a « infiniment peu ». Pour être précis si on note E(N) le nombre d’exceptions à la conjecture entre 1 et N, alors E(N)/N tend vers zéro. En terme techniques, on dit que la conjecture de Goldbach est vraie pour « presque tous » les nombres pairs.

En 1973 le mathématicien Chen Jingrun a montré que tout nombre pair peut s’écrire non pas comme somme de deux nombres premiers, mais comme somme d’un nombre premier et d’un nombre « semi-premier », c’est-à-dire produit de deux nombres premiers. Par exemple 42 = 17+5*5.

Enfin dernier progrès en date, en 1995, le français O. Ramaré a montré que tout nombre pair peut toujours s’écrire comme somme d’au plus 6 nombres premiers. Tour de force mathématique, mais Goldbach prétend que 2 nombres premiers suffisent. On voit donc qu’il reste du chemin à faire.

(*) D’après le Bulletin officiel spécial n° 6 du 28 août 2008, la notion de nombre premier est au programme de la classe de 3ème.