Les nombres premiers

Ma nouvelle vidéo porte sur le concept le plus simple et le plus déroutant des mathématiques : les nombres premiers !

Qu’est-ce qu’un nombre premier ?

Une petite précision de définition pour commencer : je n’ai pas voulu alourdir l’introduction en donnant une définition totalement précise de ce qu’est un nombre premier. Et je suis passé notamment sur cette convention de ne pas considérer 1 comme un nombre premier. Une manière élégante et compacte c’est de dire qu’un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs distincts (1 et lui-même).

Le résultat de Zhang

Pour être précis, ce qu’à montré Zhang [3], c’est qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers consécutifs séparés d’un gap de moins de 70 millions. Je vous laisse vous convaincre que l’on en déduit que forcément parmi les conjectures des nombres premiers jumeaux, cousins, sexys, etc. jusqu’à 70 millions, il y a en a au moins une de correcte.

Ce qui a été ensuite accompli par le projet Polymath 8 mené par Terry Tao, c’est de faire passer la borne de 70 millions à 246 (voir à 8 si on suppose certaines autres conjectures vraies).

La première conjecture de Hardy-Littlewood

Passons au gros morceau. Je ne suis pas rentré dans les détails, mais ce que je raconte à la fin correspond à ce qu’on appelle les conjectures de Hardy-Littlewood [1]. Il faut savoir qu’on dispose de conjectures encore plus précises concernant la répartition des nombres premiers comme les jumeaux, les cousins, etc. et même des combinaisons plus compliquées du type trois nombres premiers séparés par 2 puis 4 (p,p+2,p+6). On peut ainsi énoncer la conjecture suivante :

Conjecture (0,2,6) : il existe une infinité de p tels que (p,p+2,p+6) soient premiers.

Et on peut généraliser ! Prenons n’importe quelle suite croissante de k nombres nombres 0<a_2<a_3<\cdots<a_k. On appelle cela un k-uplet. On peut poser

Conjecture (0,a_2,a_3,\cdots,a_k) : il existe une infinité de p tels que (p,p+a_2,p+a_3,\cdots,p+a_k) soient tous premiers.

Alors attention, toutes ces conjectures ne sont pas vraies ! Certaines sont fausses de manière « évidente », par exemple la conjecture (0,2,4). Si p est premier, alors soit p+2, soit p+4, est forcément un multiple de 3 !

Heureusement, il est assez facile de caractériser les k-uplets pour lesquels la conjecture est « évidemment » fausse. Tous les autres k-uplets sont dits « admissibles », et on pense que pour tous les k-uplets admissibles, la conjecture est vraie.

(Pour les violents, un k-uplet est admissible si pour tout p, il ne contient pas tous les restes possibles modulo p : \forall p\ \exists r\ \forall i\ a_i\not\equiv r [p])

Continuons notre chemin. Prenons un k-uplet admissible (0,a_2,a_3,\cdots,a_k). Le plus grand nombre a_k est appelé le diamètre du k-uplet. Or ce qui est amusant pour un mathématicien, c’est de regarder des k-uplets de plus petit diamètre possible. En effet la conjecture (0,a_2,a_3,\cdots,a_k) associée à ces k-uplets va correspondre à des séquences de nombres premiers aussi proches les uns des autres que possible. Un k-uplet admissible de diamètre minimal est appelé une constellation.

Nous sommes enfin prêts à énoncer la première conjecture de Hardy-Littlewood ! Elle nous dit deux choses : premièrement pour toute constellation (0,a_2,a_3,\cdots,a_k), il existe une infinité de nombres p tels que (p,p+a_2,\cdots,p+a_k) soient tous premiers ; deuxièmement la répartition des nombres p qui marchent n’est pas quelconque, mais suit asymptotiquement une loi imbitable dont je vous épargne l’écriture mais que vous pouvez trouver ici.

La conjecture de Hardy-Littlewood est donc beaucoup plus puissante que le conjecture des nombres premiers jumeaux, puisque non seulement elle la généralise à tout un tas d’autres configurations, mais en plus elle ne se contente pas de dire qu’il y en a une infinité, mais elle en propose une loi asymptotique pour leur répartition !

La deuxième conjecture de Hardy-Littlewood

La deuxième conjecture de Hardy-Littlewood concerne la « sous-additivité » de la fonction qui compte les nombres premiers

\Pi(M+N) - \Pi(M) \leq \Pi(N)

Comme je l’explique dans la vidéo, cette conjecture semble parfaitement vraie quand on essaye numériquement. Et pourtant on pense qu’en allant suffisamment loin, elle devient fausse !

La raison, c’est qu’un jour un petit malin a démontré que les deux conjectures de Hardy-Littlewood sont contradictoires [2] ! Et on pense que c’est plutôt la première qui doit être vraie, et donc la seconde doit posséder un contre-exemple. Et grâce à la répartition asymptotique proposée par la première conjecture, on peut faire le portrait robot du contre exemple

A la recherche du contre-exemple

Revenons à la définition d’une constellation : il s’agit d’un k-uplet de taille minimale. Si la première conjecture de Hardy-Littlewood est vraie, chaque constellation va donner naissance à une infinité de séquences de nombres premiers. Comme les constellations sont aussi petites que possibles, cela correspond donc à des paquets de nombres premiers aussi proches que possible les uns des autres.

Eh bien figurez-vous qu’il existe des constellations comportant K nombres, dont le diamètre D est tel que la quantité de nombres premiers entre 0 est D est inférieure à K : \Phi(D)<K. Ca veut dire que si – comme l’affirme la première conjecture – ces constellations donnent effectivement naissance à ne serait-ce qu’une seule séquence de nombre premiers (p,p+a_2,\cdots,p+a_k), alors cette séquence va violer la deuxième conjecture : elle contiendra plus de nombres premiers que l’intervalle situé entre 0 et D. Vous voyez donc que si la première conjecture est vraie, elle permet de construire des contres-exemples à la deuxième.

Soyons clairs, des constellations intéressantes susceptibles de fournir ces contre-exemples, il n’y en a pas légion ! Une des plus petites comporte 447 nombres et son diamètre est 3159. Or il n’y a que 446 nombres premiers entre 2 et 3159.  Ce qu’il y a d’intéressant, c’est que la première conjecture de Hardy-Littlewood permet d’estimer la répartition des nombres premiers basés sur une constellation donnée. Et pour celle dont je viens de parler, le premier exemple est attendu quelque part entre 10^{174} et 10^{1197} (voir [4]). On n’est probablement pas près de le trouver !

Enfin petite spéculation pour finir : comme la première conjecture de Hardy-Littlewood ne donne qu’une répartition asymptotique des contre-exemples, je me demande si on peut imaginer que cette estimation soit assez fausse pour les petites valeurs, et donc qu’un contre-exemple soit trouvé beaucoup plus tôt qu’attendu ?


Références

[1] Hardy, Godfrey H., and John E. Littlewood. « Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes. » Acta Mathematica 44.1 (1923): 1-70.

[2] Richards, Ian. « On the incompatibility of two conjectures concerning primes; a discussion of the use of computers in attacking a theoretical problem. » Bull. Amer. Math. Soc 80 (1974).

[3] Zhang, Yitang. « Bounded gaps between primes. » Annals of Mathematics (2013).

[4] Le site de Thomas J Engelsma

35 réflexions sur “Les nombres premiers

  1. Pingback: Les nombres premiers — Science étonnante | Charentonneau

  2. Merci pour votre vidéo, je vais la montrer à mes élèves de troisième cette année.

    Dommage qu’il n’y ai pas une partie sur l’utilité des nombres premiers en cryptographie par exemple.

    Merci pour votre travail.

  3. Pingback: Les nombres premiers — Science étonnante | Le Bien-Etre au bout des Doigts

  4. Salut David et merci pour cette vidéo … ludique et déroutante 😉
    Je suis dans l’incapacité quasi totale (c’est démontré jusqu’à 99,99999999999%) d’apporter quoi que ce soit de mathématique au débat. En revanche , je peux te dire que normalement en chinois « Zhang » se dit « djang » !

    – Et toi, t’as fait quoi hier soir ?
    – Ben, j’ai appris un truc à David Louapre !
    – Wow !

  5. Bonjour David, toujours aussi intéressantes ces vidéos et merci pour ton travail.
    Une question bête concernant la toute première conjecture : « tout nombre pair est la somme de 2 nombres premiers »
    Du fait du statut particulier du chiffre 1, qui a été et n’est plus un chiffre premier, mais comment fait ton pour remplir la condition avec le chiffre 2 si 1 n’en est pas un ?

    Merci pour ton explication.

    • On s’en sort avec une pirouette : « Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. » (d’après la page wikipedia de la conjecture).

  6. Bonjour,

    En réalité la conjecture excepte le nombre 2 (attention, on utilise 2 en sa qualité de nombre et non de chiffre) pour lequel il n’est pas possible de trouver cette somme puisque comme vous le faites bien remarquer, 1 n’est pas premier.

    Je pense qu’à l’origine de la conjecture, beaucoup de mathématicien considérait 1 comme nombre premier. Ce qui ne fut plus le cas par la suite pour bien des raisons pratiques.

  7. Bonjour,

    Ah, la beauté des nombres.
    Entre autres, les nombres premiers et les complexes. La fonction zêta de Riemann me fait fasciner.

  8. Mais est-ce que ça signifie que si on trouve un contre-exemple à la deuxième conjecture de Hardy-Littlewood, à savoir 447 nombres premiers dans un intervalle donné, ça prouve de facto que la première conjecture est valide ? Ou est-ce que ça reste insuffisant comme preuve ?

    • Je dirais que c’est insuffisant: si l’on trouve un contre exemple à un potentiel contre exemple, rien ne nous dit qu’il n’en existe pas un autre dont on a pas conscience non ?

  9. Pingback: Les nombres premiers | C@fé des Sciences...

  10. Si (1) n’est pas considéré comme un nombre premier , ce doit être à cause de la difficulté qu’il pose en ce qu’il est l’élément neutre de la multiplication. Zéro (0) est aussi l’élément neutre de l’addition mais n’est pas vraiment un nombre. Peut être aussi , par extrapolation, ira t on jusqu’à considérer (1) tout comme zéro (0), c’est à dire que (1) ne serait pas comme un vrai nombre associcé à l’infini en quelque sorte, sous certaines conditions.
    Mohwali Awamar

    • Il faut dire que c’est sacrément pratique de ne pas considérer 1 comme un nombre premier pour la plupart des théorèmes. Par exemple, le théorème de décomposition en nombre premier (tout nombre entier peut être écrit de manière unique comme un produit de nombres premiers) ne contiendrait pas le mot « unique » dans son énoncé si 1 était considéré comme un nombre premier. Et il y a encore bon nombres d’exemples.

  11. Bonjour David,

    Une question bête concernant la conjecture de Goldbach : quel est le réel problème qui fait qu’elle n’ai pas pu être prouvée au jour d’aujourd’hui ?

    C’est peu être un raisonnement simpliste, et surement pas assez développé, que je vais faire, mais :
    – hormis le nombre 2, tous les nombres premiers ne sont-il pas des nombres impairs (car indivisible par un autre nombre que 1 ou lui-même, donc s’ils étaient pairs ils serait forcément divisible au moins par 2) ?
    – Si c’est bien le cas, la somme de 2 nombres impairs ne donne-t-elle pas toujours un nombre pair ?
    – Du coup, vu que l’on cherche toutes les sommes dont le résultat est pair à partir du nombre 4, on aura forcément toujours une somme de 2 nombres premiers possible, vu que le premier nombre premier est plus petit que le premier nombre pair recherché, non ???

    Je ne suis pas très bon en maths, mais cela m’étonne qu’il n’existe pas de formule permettant de développer ce simple raisonnement, que ce soit par des statistiques ou par d’autres outils.
    A moins que mon raisonnement soit complètement faux, dans ce cas je comprendrais mieux pourquoi ^^

    En tout cas merci pour toutes tes vidéos, et continue comme ca !
    Ca fait du bien de faire tourner son cerveau sur des choses pour lesquelles on ne prend pas le temps de réfléchir habituellement 🙂

  12. Bonjour David, pour faire au plus court:

    Un certain Moustapha Chouar parle de la répartition des nombres premiers,
    tu peux te rendre directement à 2:36

    qu’en penses-tu?
    il y a aussi son site sous la vidéo
    j’espère ne pas lui faire de la pub pour rien…
    Fabien

  13. L’ordinateur quantique poursuivra en toute probabilité avec le système binaire en ce que zéro (0) est l’élément neutre de l’addition et un (1) est l’élement neutre de la multiplication. Le premier renvoie à la progression arithmétique et le second à la progression géométrique. En cela , l’unité (1) représente l’infini .
    Mohwali Awamar

  14. Cette fois je fais de la pub pour moi
    Tu peux supprimer ce commentaire il n’y a pas de soucis
    J’aimerai avant que tu y jette un œil merci
    Fabien

  15. Bonjour, tu n’as pas parlé du modèle statistique (la variable aléatoire X_n = 1_{n est premier} serait i.i.d. et P[X_n=1] = 1/ln n). Voir par exemple la proportion de twin primes http://www.hugin.com.au/prime/images/twin_primes_graph.jpg qui suit vraiment bien la distribution statistique attendue. Pareil pour Goldbach ou l’hypothèse de Riemann (généralisée) ou à peu près n’importe quelle conjecture sur les nombres premiers (sauf peut-être la distribution observée des nombres premiers de Mersenne qui diffère d’une constante).
    Et ce modèle statistique est essentiellement une conséquence directe du https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_nombres_premiers et des propriétés de la fonction zeta de Riemann.

  16. Pingback: 17 est premier ?   | Information strat&eac...

  17. J’avais vu dans un documentaire que la répartition des nombres premiers ressemblait étrangement à la répartition de l’énergie d’une particule , peut être le lien entre arithmétique et physique, j’aimerais en savoir plus éventuellement.

  18. Salut, dis

    135 primes between 1000 and 2000
    127 primes between 2000 and 3000
    120 primes between 3000 and 4000
    119 primes between 4000 and 5000
    114 primes between 5000 and 6000
    117 primes between 6000 and 7000 <—- ????
    107 primes between 7000 and 8000

  19. « Si p est premier, alors soit p+2, soit p+4, est forcément un multiple de 3 ! » Sauf si p=3

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