La science des châteaux de sable

Une petite vidéo estivale, en forme de retour de vacances

Malheureusement, les vacances ne m’ont pas laissé le temps d’écrire un billet de blog aussi complet que je l’aurai voulu sur ce beau sujet. Je vais quand même donner quelques compléments…en m’appuyant sur de vieux billets !

Angle de repos

Parmi les sujets que je n’ai pas développé dans la vidéo, il y a tout d’abord les facteurs qui entrent en compte dans l’angle de repos d’un milieu granulaire. Sur le papier, le principal élément est le coefficient de friction. Intuitivement plus les frottements entre grains sont importants, plus l’angle de repos sera élevé.

Le graphique ci-dessus est obtenu par simulation numérique et est extrait de la publication suivante :

Zhou, Y. C., et al. « Numerical investigation of the angle of repose of monosized spheres. » Physical Review E 64.2 (2001): 021301.
Le truc, c’est qu’en pratique les coefficients de friction varient peu, et c’est surtout la forme des grains qui va jouer un rôle. On obtiendra donc des angles de repos différents suivant qu’on a de belles sphères, ou bien des grains plus anguleux.

Vitesse d’écoulement et théorie des arches

Je l’ai dit dans la vidéo, l’eau dans une clepsydre s’écoule selon une loi simple connue comme « loi de Torricelli », et qui relie la vitesse de l’eau à la hauteur de la colonne. La vitesse ne dépend pas du rayon du trou, mais le débit, lui, en dépend évidemment via la surface de l’ouverture, donc

D = \sqrt{2gh}\ \ \pi R^2

Le sable lui s’écoule selon la loi dite de Beverloo

D = C \sqrt{gR}\ \ \pi R^{2} \propto R^{5/2}

Pour comprendre d’où vient la loi de Beverloo, on peut utiliser une observation que l’on retrouve souvent dans les écoulements granulaires : les arches. On sait que du sable dans un cylindre ne se comporte pas comme de l’eau. Si on ajoute du sable supplémentaire en haut de la colonne, son poids ne sera pas supporté par le bas de la colonne (comme avec de l’eau) mais pas les grains intermédiaires qui frottent contre les parois.arches granulaire

Cette friction permet notamment la formation d’arches, c’est-à-dire de structures ressemblant à des clés de voûte, et qui vont soutenir le sable situé plus haut dans la colonne. C’est ce que montre le dessin ci-contre, issu d’une simulation numérique [1]. La couleur représente la pression que supporte chaque bille, et montre clairement que des arches se dessinent d’une paroi à l’autre.

En présence d’un écoulement, les arches provoquent ce qu’on appelle l’écrantage de Janssen : quand le sable s’écoule, de telles arches se font et se défont en permanence. et elles protègent en quelque sorte le bas de la colonne des pressions élevées : c’est ce qui peut expliquer que la vitesse d’écoulement ne soit pas liée à la hauteur de la colonne de sable.

La physique de ces arches a beau être affreusement compliquée, c’est grâce à elles que la vitesse d’écoulement du sablier est constante, le rendant si pratique à utiliser !

Simuler des écoulements granulaires

Petit échauffement avant d’aller plus loin : la loi de Torricelli peut se démontrer simplement à partir du théorème de Bernoulli. Ce dernier s’écrit

\frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h + P = constante

On peut voir ce théorème comme une équation de conservation de l’énergie (volumique), avec trois termes : énergie cinétique, énergie potentielle de pesanteur et pression (je vous laisse vous convaincre que la pression est bien une énergie volumique). Si on applique ce théorème en haut de la colonne, et qu’on dit que la vitesse y est nulle et la pression est celle de l’atmosphère, on trouve que la constante vaut \rho g h + P_0. Si on applique ce théorème au bas d’une colonne dans laquelle le trou est bouché, qu’on écrit que la vitesse y est aussi nulle, on retrouve la fameuse pression hydrostatique P=P_0+\rho g h. Maintenant si on perce un trou, on doit écrire qu’au niveau du trou la pression est celle de l’atmosphère, et on tire donc \frac{1}{2} \rho v^2 +P_0 = \rho g h + P_0, et donc v=\sqrt{2gh}.

Un autre aspect intéressant de ces écoulements granulaires concerne la façon dont on peut simuler un écoulement granulaire « presque » comme un fluide normal. Une astuce imaginée par des équipes françaises [2,3] consiste à décrire l’écoulement granulaire comme un fluide dont la viscosité n’est pas constante, et est reliée à l’existence d’un coefficient de friction local dans le fluide. Cette méthode s’appelle la rhéologie du \mu(I), du nom du coefficient de frottement que l’on utilise. Ces idées ont eu un très fort retentissement dans le domaine des écoulements granulaires.

Pour ceux que ça intéresse, on définit le nombre inertiel I de la manière suivante

I = \frac{\dot{\gamma}d}{\sqrt{P\rho}}

où d est le diamètre des particules, \rho la masse volumique et \dot{\gamma} le taux de cisaillement.

Le coefficient de friction (définit par \mu\equiv\frac{\tau}{P}) est ensuite pris comme une fonction de I

\mu(I)=\mu_S+\frac{\Delta\mu}{I_0/I+1}

avec \mu_S le coefficient de friction statique, et \Delta\mu et I_0 des constantes. On a alors pour la viscosité :

\eta \equiv \frac{\tau}{\dot{\gamma}} = \frac{\mu(I) P}{\dot{\gamma}}.

champ pression sablier mu ICe qu’il y a de fort, c’est qu’avec ces définitions, on peut simuler un écoulement granulaire comme un fluide presque normal (enfin non-newtonien quand même), mais sans simuler le détail de chaque grain. Les résultats sont spectaculaires, car on retrouve par exemple l’effet d’écrantage de la pression, comme sur l’image ci-contre tirée d’une chouette publication d’une autre équipe française [4].

Dans cette image, les couleurs représentent la pression, et on observe très bien que la pression juste au dessus du trou est très réduite comparée à ce que ce cela devrait être pour un fluide comme l’eau.

Avec ces simulations, on peut montrer que l’hypothèse des arches n’est pas nécessaire, ou du moins incomplète ! En effet on se sait expérimentalement que les arches ne peuvent pas se former quand on considère une colonne très large par rapport à sa hauteur, et pourtant l’effet d’écrantage existe quand même. Grâce à la rhéologie du \mu(I), les chercheurs français ont montré que même sans arches (qui ne sont pas simulées dans leur calcul), le fait d’avoir un seuil d’écoulement frictionnel est suffisant pour expliquer la réduction du champ de pression et la loi de Beverloo.

Question ouverte pour ceux qui ont eu le courage de lire jusqu’ici : je n’ai pas réussi à comprendre comment on pouvait à partir de la description du \mu(I) retrouver une description d’un fluide newtonien. J’imagine que ça doit être le cas si on fait tendre les bonnes choses vers les bonnes valeurs (genre diamètre des particules vers 0, friction statique vers 0, etc.). Mais je n’ai pas trouvé…

[1] Carlevaro, C. Manuel, and Luis A. Pugnaloni. « Arches and contact forces in a granular pile. » The European Physical Journal E 35.6 (2012): 1-7.

[2] MiDia, G. D. R. « On dense granular flows. » Eur. Phys. J. E 14 (2004): 341-365.

[3] Jop, Pierre, Yoël Forterre, and Olivier Pouliquen. « A constitutive law for dense granular flows. » Nature 441.7094 (2006): 727-730.

[4] Staron, Lydie, P-Y. Lagrée, and Stéphane Popinet. « The granular silo as a continuum plastic flow: The hour-glass vs the clepsydra. » Physics of Fluids 24 (2012): 103301.

Manipuler la convection granulaire

L’effet « Noix du Brésil » a de nombreuses conséquences naturelles (comme le fait bien connu des paysans que les gros cailloux remontent à la surface d’un champ) mais aussi plusieurs applications industrielles : le mélange des noix bien sûr, mais aussi celui des céréales, du béton, etc. Des chercheurs et des industriels se sont donc demandés s’il était possible de le limiter ou de le supprimer.

Eh bien grâce à leur compréhension du phénomène par la convection granulaire, les chercheurs de Chicago ont pu construire des cas permettant de limiter voire carrément d’inverser la convection granulaire.

Par exemple en diminuant les frottements contre les parois, on peut supprimer le phénomène de descente des grains. Le schéma ci-contre montre une expérience qu’ils ont réalisé [1] où la paroi de droite frotte beaucoup plus que la paroi de gauche : les grains descendent uniquement le long de la paroi de droite. Encore plus fort, en modifiant la géométrie du bocal, on peut inverser la convection granulaire : dans un cône renversé les grosses noix coulent au milieu et les petites remontent par les parois !

Encore beaucoup de travail…

Malgré ces découvertes dans des expériences bien contrôlées, il existe encore de très nombreuses zones d’ombre sur les phénomènes réellement en jeu dans l’effet « Noix du Brésil ». En voici une illustration étonnante.

A priori, on peut penser que dans ce phénomène, l’air ne joue aucun rôle. Il est notamment beaucoup moins dense que les grains. Et pourtant, S. Nagel et sa bande (toujours eux) ont montré que sous vide, le phénomène est sensiblement modifié [2].

A pression atmosphérique, ils ont constaté que la vitesse d’ascension des grosses particules dépend de leur densité, avec un maximum quand la densité des grosses est égale à la moitié de celle des petites. Mais sous vide, cette dépendance disparaît ! Donc l’air joue bien un rôle subtil dans la convection granulaire, via les frottements qu’il peut imposer aux grains. L’effet « Noix du Brésil » est encore loin d’avoir livré tous ses mystères !

[1] S. Nagel et al., « Vibration-indiced size separation in granular media : the convection connexion », Physical Review Letters, Vol. 70, N. 24 (1993) p3728.

[2] Matthias E. Möbius et al., “The Effect of Air on Granular Size Separation in a Vibrated Granular Bed”, Phys. Rev. E 72, 011304, (2005) / cond-mat/0502622.

Pour aller plus loin : quelques considérations thermodynamiques

Le phénomène de ségrégation par la taille dans les milieux granulaires est assez intriguant. Dans un fluide normal, le fait de secouer provoque un mélange et une homogénéisation, donc une augmentation de l’entropie. Dans les milieux granulaires, c’est l’inverse. Puisqu’en secouant on sépare les grains par taille, on fait diminuer l’entropie !

Pour résoudre ce paradoxe, il faut réaliser que dans un système comme celui-ci, on est très très loin des conditions de l’équilibre thermodynamique. Pour s’en convaincre, on peut comparer les ordres de grandeur des énergies mises en jeu.

Dans un gaz classique, le produit kT de la constante de Boltzmann par la température donne l’ordre de grandeur de l’énergie d’une particule du gaz. Dans le milieu granulaire, c’est très différent. Si on regarde la variation de l’énergie potentielle de gravité d’un grain qui tombe sur une hauteur égale à sa taille, on obtient mgd, où m est sa masse, g l’accélération de la gravité et d son diamètre.

Pour un grain de semoule, on trouve environ 10^-8 joules. Mais à température ambiante, kT = 4.10^-21 joules ! Donc l’énergie du grain est beaucoup beaucoup plus élevée que l’énergie thermique, ce qui nous permet de comprendre qu’on puisse se situer si loin de l’équilibre thermodynamique.

12 réflexions sur “La science des châteaux de sable

  1. Wahou ! fort intéressant ce travail de recherche. Merci beaucoup pour ce partage de vos connaissances qui m’en dit long. Belle initiative David, j’ai appris beaucoup grâce à vous !

  2. oui intéressant, mais j’ai parfois l’impression de n’être qu’une chiure de mouche volant au dessus des océans…. je vous lis, malgré tout, intégralement chaque fois sans rien comprendre du tout. les scientifiques de haute volée ne vivent pas sur la même planète que nous, les ultra basiques. enfin j’ai acheté votre bouquin c’est essentiel !

    • C’est parce que dans la partie « écrite », je mets des compléments pour ceux qui veulent aller plus loin, mais l’idée n’est pas que ce soit lisible et intéressant pour tous 🙂

  3. Serait-il possible que le si bien nommé effet « Noix du Brésil » est lieu dans un liquide très visqueux ? Sinon très bonne vidéo, et un billet qui nous ouvre tout un monde d’écoulement et de questions granuleuses !

  4. Pour l’expérience des noix du Brésil, comme autre exemple d’application est le milieu pharmacieutique où les mélange de poudre/grain peut parfois etre une vrai problématique car à des niveaux industriels parfois impossible de réalisé des mélange homogène car les particules ayant les plus gros diamètre vont avoir tendance à remonter et va donc poser problème aussi lors des transport car  » déhomoginisant » ou même dans les réservoirs à poudre pour la production des comprimé par exemple qui peut avoir pour conséquence d’ avoir des comprimer surdosé ou sousdosé.

  5. J’ai eu l’occasion de visiter le Château de Folin a Licheres sur Yonnes. Le gérant, organise une visite sur le thème « la mesure du temps » a travers les différents ages, c’était vraiment intéressant. Il nous a affirmé que pour que la vitesse d’écoulement d’un sablier soit constante, sa forme devait être un paraboloïde et que cette forme est le résultat d’une équation différentielle du second degré. As-t-il raison ? Je me souviens de cette anecdote, car personne dans la salle n’a compris ce qu’il racontait.
    Je fais refaire cette visite a des amis dans trois semaines. Je précise, le gérant est un ingénieur UTC, spécialiste de la mesure et qu’il s’est occupé entre autre, de la restauration de l’horloge astronomique de Bourges en 1994 (https://fr.wikipedia.org/…/Horloge_astronomique_de_Bourges). J’aimerais savoir s’il m’a raconté des bêtises.

    Excellente vidéo comme toujours.
    PS : j’ai posté la même question sur FB

    • Jean-Bernard, je pense qu’il y a confusion dans ce que vous a dit votre guide.
      Tout d’abord il faut bien distinguer la différence entre la vitesse des grains (ou du fluide) à travers l’ouverture du sablier (ou de la clepsydre) et la vitesse de la surface passant devant les graduations (comme dans la vidéo) et qui nous permet de mesurer le temps passé. J’appelle la première vitesse « vs » et la deuxième « v0 ». Pour pouvoir lire le temps passé avec des graduations régulièrement espacée on veut que v0 soit constante, v0 correspond à la variation dans le temps de hauteur de sable (ou de fluide) dans le sablier (ou la clepsydre). Dans le cas des grains, peut importe la forme du sablier, v0 reste constante, dans le cas des fluides, la forme de la clepsydre influence v0 et on peut trouver celle qui la rend constante. Néanmoins ce n’est pas un paraboloïde et pas besoin d’équation différentielle, encore moins du second degré, pour le démontrer.

      Je détaille les calculs pour les intéressés:
      « vs » est donné par les formules citées dans ce billet, tandis que « v0 » dépend du débit passant par l’ouverture que j’appelle « qs ». Or si on appelle « rs » le diamètre de l’ouverture on sait que qs=vs*pi*(rs^2).
      On suppose que le sablier a un rayon R(z) qui varie le long de son axe. On appelle « h » la hauteur de sable non écoulé dans le sablier. »h » diminue avec le temps et par définition v0=dh/dt.
      Le débit sortant est aussi égal à la variation dans le temps du volume de sable dans le sablier. La géométrie du sablier nous donne que cette variation vaut qs = pi*(R(h(t))^2)*dh/dt = pi*(R(h(t))^2)*v0.

      Dans le cas du sable « vs » ne dépend pas de la géométrie du sablier selon la formule de Beverloo, donc « qs » non plus. « qs » ne dépend donc ni de « R » ni de « h ». Et si ont veut v0 constante alors: R(h(t))^2 = qs/pi*v0 = constante. Ceci est vrai à tout instant « t » et pour toute hauteur de sable « h » donc le rayon doit être constant. Autrement dit le sablier doit être un cylindre.

      Dans le cas d’un fluide vs(t)=(2gh(t))^(1/2) donc qs(t) = (2gh(t))^(1/2)*pi*(rs^2) = pi*(R(h(t))^2)*v0
      En simplifiant: R(h(t))^2 = (2g)^(1/2)*(rs^2)/v0*h(t))^(1/2) = k*h(t))^(1/2) avec k une constante si V0 est constante.
      Donc R(h(t)) = k^(1/2)*h(t))^(1/4), ceci est vrai pour tout « h » et tout instant « t » donc on peut écrire que le rayon est de la forme R(z) = k0 * z^(1/4) où k0 est une constante. Un paraboloïde aurait donné R(z) = k0*z^(1/2), la forme obtenue est un peu plus écrasée qu’un paraboloïde.

      J’espère avoir été clair !

      • Erratum « Dans le cas des grains le sablier doit être cylindrique », j’ai écrit trop vite le premier paragraphe !

  6. Je suis ingénieur géotechnicien spécialisé dans la conception des tunnels, j’ai beaucoup travaillé sur le thème de la stabilité des fronts de taille en sol meuble, et ainsi j’ai développé plusieurs démarches basées sur le Silo de Janssenn (1898 de mémoire), et les travaux de Terzaghi (1943). Tout les deux abordent de manière classique l’effet de voûte se créant au-dessus d’une « trappe » ouverte subitement dans un massif confiné.
    Tout ça pour dire que je n’avais jamais entendu parler de cette manière originale d’aborder la modélisation du sable sous la forme d’un fluide non newtonnien, et je peux dire que je vais creuser le sujet de ce pas pour voir ce qu’on pourrait en extraire !
    D’ailleurs, on utilise ce type de fluide « à seuil » que l’on injecte dans le terrain sous forte pression pour l’aider à se stabiliser (mélange d’eau, de bentonite & polymère) et en même temps étancher le front vis-à-vis de la nappe.
    Je crois qu’il y a un futur proche pour cette nouvelle vision des choses !

  7. J’ai vraiment apprécié cette approche des propriétés du sable, je suis actuellement en prepa je pense choisir une de ces propriétés comme sujet de TIPE merci 🙂

  8. un beau blog. un plaisir de venir flâner sur vos pages. une belle découverte et un enchantement.N’hésitez pas à visiter mon blog (lien sur pseudo)
    au plaisir

  9. Votre présentation est complète et magnifique. Mon manque de compétences pédagogiques faisait que mes explications sur ces phénomènes n’étaient comprises par personne quand je parlais d’angle de talus ou pourquoi on retrouvait sans cesse des pierres dans le potager bien que toujours retirées.
    Dans le même ordre d’idées j’aurais aimé un support pour expliquer les limites naturelles dans l’effondrement des tours WTC en 2001.
    Avec tous mes remerciements

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