La conjecture de Syracuse

La conjecture de Syracuse est un merveilleux problème d’arithmétique : un enfant de 8 ans peut le comprendre, les ordinateurs l’ont vérifiée jusqu’à des nombres astronomiques, et pourtant les mathématiciens n’ont toujours pas réussi à la démontrer ou à l’infirmer.

Il y a quelques jours, une prépublication a annoncé sa démonstration…avant de se rétracter après la découverte d’une faille dans un point du raisonnement.

Syracuse, un bastion proche de tomber ? Voyons cela de plus près !

L’énoncé de la conjecture

Prenez un nombre entier positif, et appliquez lui le traitement suivant :

  • s’il est pair, vous le divisez par 2;
  • s’il est impair, vous le multipliez par 3 et vous ajoutez 1.

Vous obtenez alors un nouveau nombre, sur lequel vous répétez la procédure. Et ainsi de suite, pour fabriquer une séquence de nombres.

Mettons que je parte du nombre 7, voici la séquence que j’obtiens :

7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,…

Vous remarquez qu’à la fin, une fois qu’on est tombé sur 1, la suite finit par répéter indéfiniment le cycle 4,2,1. Si vous essayez vous-même avec d’autres nombres, vous allez voir que l’on finit toujours à 1. Vous voulez faire le test ? Si vous partez de nombres pas trop élevés, ça se fait presque de tête. Si vous êtes fainéant, vous pouvez aller sur ce site.

La conjecture de Syracuse s’énonce ainsi : quel que soit le nombre que l’on choisisse au départ, on finira par tomber sur 1.

Contrairement à ce que peut laisser supposer le parfum archimédien de son nom, cette conjecture est relativement récente puisqu’elle a été popularisée par le mathématicien allemand Lothar Collatz (ci-dessous) aux environ de 1937. C’est à la suite d’un exposé à l’Université de Syracuse à New York qu’elle a acquis son surnom le plus connu.

Peut-on finir ailleurs qu’à 1 ?

Si la conjecture de Syracuse est vraie, quel que soit le nombre initial on doit tomber sur le cycle 4,2,1, appelé cycle trivial. Pour qu’elle soit fausse, il suffit de trouver un contre-exemple. On peut facilement se convaincre que s’il existe un contre-exemple, il correspond nécessairement à l’une de ces deux situations :

  • une séquence qui diverge à l’infini;
  • une séquence se termine sur un cycle autre que le cycle trivial.

Si vous êtes courageux, vous pouvez essayer de prendre des nombres au hasard, et construire la suite de Syracuse pour voir si vous tombez sur une de ces deux situations. Petit indice : la conjecture a déjà été vérifiée numériquement jusqu’à 10^20 (par Tomas Oliveira e Silva), alors essayez de choisir un nombre de départ plus grand que ça !

Si l’idée de chercher un contre-exemple vous fatigue, vous pouvez chercher une démonstration. Il suffit de prouver 1) qu’on ne diverge jamais à l’infini, et 2)qu’il n’existe aucun autre cycle que le cycle trivial. Voyons ces éventualités.

Un argument probabiliste

Pour se convaincre qu’une divergence à l’infini est peu probable, on peut avoir recours à un argument probabiliste. Pour cela, il suffit d’observer que quand on a un nombre impair, et qu’on le multiplie par 3 en ajoutant 1, on tombe nécessairement sur un nombre pair. On peut donc directement le diviser par 2. Ceci donne naissance à la forme comprimée de la procédure :

  • si N pair ==> N/2
  • si N impair ==> (3*N+1)/2
Quel est l’intérêt de cette forme comprimée ? Que le nombre N soit pair ou impair, le nombre sur lequel on tombe sera à 50% de probabilité pair, et à 50% de probabilité impair. Après K opérations, le nombre initial a en moyenne été multiplié K/2 fois par (1/2) et K/2 fois par en gros (3/2). Donc après K opérations, le nombre initial a en moyenne été multiplié par
\left(\frac{3}{4}\right)^{K/2}
Puisque 3/4<1, on voit quand itérant les opérations à l’infini, on doit en moyenne toujours décroitre. Bien sûr cet argument probabiliste n’est pas une démonstration, puisqu’il suppose qu’on tombe bien à chaque fois à 50% de chance sur un nombre pair ou sur un nombre impair. C’est vrai en moyenne, mais pas pour chaque suite prise individuellement. Donc ce raisonnement montre qu’un contre-exemple allant à l’infini est assez improbable, mais il peut très bien exister !

A la recherche du cycle non-trivial ?

Autre étape nécessaire pour démontrer la conjecture de Syracuse : prouver qu’il n’existe pas d’autre cycle que le cycle trivial 4,2,1. Là aussi vous pouvez vous amuser à en chercher un à la main, mais soyez ambitieux. En effet puisque la conjecture est vérifiée numériquement jusqu’à 10^20, un tel cycle ne peut contenir que des nombres supérieurs à cette valeur. Cette limite implique  même que s’il existe un tel cycle, il est constitué de plus de 17 milliards d’éléments. Bon courage !

Bien sûr il y a aussi le cycle qui ne contient que 0. Mais comme les matheux sont curieux, ils sont allés faire un tour du côté des nombres négatifs. Si vous vous autorisez les nombres négatifs comme point de départ, il existe en effet quelques cycles. En fait il y en a 3, qui partent respectivement de -2, -5 et -17. On suppose qu’il n’en existe pas d’autres, mais on ne sait pas non plus le démontrer !

Alors va-t-on y arriver un jour ?

Comme je vous le disais au début de ce billet, un mathématicien de l’Université de Hambourg, Gerhard Opfer, a récemment posté une prépublication(*) annonçant la démonstration de la conjecture de Syracuse. Le gars a l’air sérieux, il est d’ailleurs un ancien étudiant de L. Collatz lui-même (cf le Math Genealogy Project).

En survolant le papier, on remarque deux choses surprenantes. D’une part la démonstration est assez courte, quelques pages, c’est plutôt inattendu. D’autre part elle semble ne faire appel qu’à des notions de mathématiques plutôt simples (algèbre linéaire, fonctions complexes), sans avoir besoin d’invoquer la tour de Teichmüller ou les formes modulaires semi-stables sur le groupe de Galois absolu d’une clôture séparable. On a presque envie de penser que si on lisait le papier, on pourrait comprendre.

Malheureusement, Mesdames et Messieurs, comme souvent dans ce genre d’annonces, il y semble qu’il y ait une faille dans sa démonstration. Opfer vient d’ajouter la page suivante à son papier :

Les curieux peuvent aller lire le papier, puis aller  pour une discussion de la faille. On peut tout de même rêver que la faille soit curable, ou tout au moins que la tentative de G. Opfer soit à l’origine de nouveaux essais, dont un finira bien par fonctionner ! Sauf si, comme le pense le célèbre mathématicien Paul Erdös à propos de la conjecture de Syracuse

« Les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes ».

(*) G. Opfer, An analytic approach to the Collatz 3n + 1 Problem Merci à Hervé qui m’a mis au courant de cette annonce !

69 réflexions sur “La conjecture de Syracuse

  1. Et je n’ai rien à ajouter — si, tu devrais remplacer « statistique » par « probabiliste » !

    Et puis une anecdote : quand cette énigme s’est répandue, en pleine guerre froide, le bruit-boutade a couru également que c’était un problème inventé par les soviétiques pour paralyser la recherche mathématique occidentale. Je ne sais plus où j’ai lu ça.

      • Ce qui est curieux, c’est que considérer les « (3n+1)-trees » et variantes est une approche classique et naturelle du problème. On a l’impression en lisant en diagonale que l’argument de G. O., s’il avait été exact, aurait pu s’appliquer directement à cette approche, sans passer par l’équation fonctionnelle dans H² ou je ne sais quoi… et donc l’impression très nette qu’il y a un os — d’où le sentiment d’étrangeté, comment la faille ne lui est-elle pas apparue, ce n’est pourtant pas un crank !

  2. Très bon article. Mais on peut remarquer une petite erreur : l’énoncé de la conjecture précise un entier supérieur à 1, donc un entier strictement positif.
    Petite précision : le fameux exposé a été fait par Helmut Hasse dans les années 50 à l’université de Syracuse comme indiqué.
    En fait, je trouve que le terme statistique est pas si mal choisi : c’est une démonstration heuristique, non ? A moins que vous parliez de la démonstration probabiliste des québécois Alain Slakmon et Luc Macot, publiée en 2006 s’inspirant des méthodes heuristiques ci-dessus.
    En fait, le problème serait résolu si on démontrait que le temps de vol en altitude (nombre de termes nécessaires pour qu’un terme de la suite soit inférieur au premier terme) serait fini.

  3. Pingback: links for 07/12/2011 « Alan Vonlanthen's blog

  4. La conjecture de syracuse s´exprime peut-etre encore plus facilement en ecrivant les nombres en binaire. Quelques exemples:
    -> 101000 : on efface tous les zeros à gauche pour obtenir 101.
    -> 11011 : on rajoute le meme nombre décalé vers la gauche plus 1. 11011 + 1101 + 1 = 101001

    Amicalement.

  5. Merci pour cette article mais la suite que vous donnez en exemple à partir du nombre 7 comprend une erreur: après 15 on devrait trouver 46 et non pas 16.
    Cordialement

    • Bonjour Ahmed,
      j’ai lu votre démonstration, il y a des problèmes notamment sur la dernière hypothèse de récurrence.

      Cdt,

      Momo

  6. Pingback: Du théorème du nid d’abeille à la conjecture de Kelvin « Science étonnante

  7. Je suis un amateur, et je prétends avoir démontré le problème de Syracuse.
    J’adresserai ma proposition de démonstration aux mathématiciens,dès qu’ils auront accepté ma démonstration de la conjecture de Goldbach.
    Ne comptez pas sur moi pour divulguer ma proposition de démonstration du problème de Syracuse à ceux qui refusent d’admettre ma démonstration de la conjecture de Goldbach.
    Qu’attendent ces mathématiciens ?
    Pourquoi a-t-on créé un site « Pourquoi la conjecture de Goldbach ne sera jamais démontrée par un amateur »
    JP MORVAN

  8. Pingback: Le théorème d’incomplétude de Gödel « Science étonnante

  9. Pingback: Du théorème du nid d’abeille à la conjecture de Kelvin | coupsdecoeurs

  10. J’ai résolu la conjecture, tout document sur demande. Ce n’est pas une fanfaronnade. En fait c’est très simple…

    • C’est marrant , j’ai aussi une démonstration élémentaire voire simplissime qui est en cours d’analyse par un collége de mathématiciens Européens et Américains , mais je ne prétends pas avoir « résolu » (c’est une démonstration et non une résolution qui fait défaut) la conjecture .Par contre , si votre travail est sérieux , il existe de nombreux organismes et associations qui se feront un plaisir de décortiquer les étapes de votre raisonnement pour vous aider à en dégager les failles …
      Si ça n’est pas une fanfaronnade(dixit) ,n’hésitez pas : pour ma part , je ne serai sûr de rien tant que de nombreux experts bien plus compétents que moi n’auront pas confirmé mon raisonnement …

      • @Karlatt

        Vous serait-il possible de mentionner quelques uns de ces organismes et associations ? Merci d’avance !

  11. Voici un contre-exemple « rigolo » de la conjecture de Syracuse.
    Il s’agit d’un nombre qui nécessite un nombre infini de chiffres pour s’écrire.
    Bien entendu, je ne pense pas qu’un tel nombre soit un entier naturel,
    mais ce n’est pas si facile que ça de le démontrer (en tout cas pour moi).

    Voici le nombre de départ :
    A = …010010010010010010010010010011
    Pour le définir, on peut noter dA(i) la valeur du i-ème chiffre et poser que le chiffre des unités a 0 comme index.
    Alors, A est tel que dA(0) = 1, dA(1) = 1 et pour tout i > 1, si i = 1 [mod 3] alors dA(i) = 1 , sinon dA(i) = 0.

    Pour simplifier la lecture, je vais mettre le bloc de chiffres qui se répètent à l’infini entre accolades :
    A = {100}11

    La suite est :
    B = 3 * A + 1 = {110}111010
    C = B / 2 = {110}11101
    D = C * 3 + 1 = {100}11000
    E = D / 2 = {100}1100
    F = E / 2 = {100}110
    G = F / 2 = {100}11 = A

    On obtient un cycle non trivial plutôt court. Si A est un entier naturel, la conjecture est fausse.

    Quelqu’un saurait-il me donner une démonstration rigoureuse du fait que le nombre A ne peut pas être considéré comme un entier naturel ?

    Les axiomes de Peano permettent de définir l’addition et la multiplications dans N qui est un monoïde pour les deux opérations. On a donc la stabilité. Si on multiplie deux entiers, on obtient un entier.
    De plus le cinquième axiome (tout ensemble contenant 0 et les successeurs de tous ses éléments est l’ensemble des entiers naturels) autorise la construction des nombres par récurrence.

    Avec ça, pourquoi ne pourrait-on pas obtenir des nombres avec une infinité de chiffres (quelque soit la base)
    en ne faisant que multiplier un nombre par un nombre supérieur à 10 en système décimal, 2 en binaire, … ?

    Merci de votre aide.

    • Aucune idée ! J’ai essayé de réfléchir une minute à la question, ce qui est bizarre, c’est que pour poser la question il faut déjà avoir construit N, non ?

      • En effet, il y a quelque chose qui se mort la queue là-dedans. C’est déroutant.
        J’ai aussi remarqué que lorsqu’on parle de nombres univers, on dit d’eux qu’ils contiennent n’importe quelle succession de chiffres de longueur finie. Si les entiers naturels ont toujours un nombre fini de chiffres, alors on pourrait dire que les nombres univers contiennent tous les entiers naturels, non ?

    • On peut montrer par récurrence que tous les nombres entiers on un nombre fini de chiffres (quelle que soit la base):

      – 0 a un nombre fini de chiffre
      – si n a un nombre fini de chiffres, alors son successeur n+1 a un nombre fini de chiffres

  12. réponse à Tolokoban:
    Il vient simplement de (re)découvrir les nombres entiers diadiques…
    Ceux qu’il proposent sont en fait, compte-tenu de la périodicité à droite à partir d’un certain rang des sommes de rationnels et d’entiers.
    A ce propos, les entiers strctement négatifs sont les diadiques dont l’écriture binaire commenc par une infinité de1 .On retrouve aisément les cyles pour les nombres négatif par l’algorithme d’Aesculapius, ainsi que de nombreux autres …

  13. Dans l’exemple proposé n’obtient-on pas :
    B=3A+1, C=(3A+1)/2 , D=(9A+5)/2,E=(9A+5)/4,F=(9A+5)/8,G=(9A+5)/16
    et donc G=A donnerai A=1 ?

  14. Pingback: La deuxième conjecture de Hardy-Littlewood | Science étonnante

  15. Voir mon commentaire du 18 décembre 2012, çà n’évolue pas vite en mathématiques !
    Je suis un amateur, et je prétends avoir démontré le problème de Syracuse.
    J’adresserai ma proposition de démonstration aux mathématiciens,dès qu’ils auront accepté ma démonstration de la conjecture de Goldbach.
    Ne comptez pas sur moi pour divulguer ma proposition de démonstration du problème de Syracuse à ceux qui refusent d’admettre ma démonstration de la conjecture de Goldbach.
    Qu’attendent ces mathématiciens ?
    Pourquoi a-t-on créé un site « Pourquoi la conjecture de Goldbach ne sera jamais démontrée par un amateur »
    JP MORVAN

  16. Comme toujours, article très intéressant et bien écrit.
    Cependant, est ce que l’on connait un domaine d’application à cette conjecture? Lu comme ça la première fois, on a un peu l’impression que cela sert à rien, ça fait un peu « tour de magie bas de gamme ».
    Merci d’avance de m’éclairer sur l’intérêt d’une telle recherche 🙂

    • Votre article est intéressant et plutôt clair.
      J’ai cependant une question concernant la page 9.
      Vous dites que 607 n’a pas de prédécesseur. Or, en utilisant l’équation (1), j’ai trouvé ceci :
      809 -> 607 -> 911 -> 1367 -> 2051 -> 3077 -> 577 -> 433 -> 325 -> 61 -> 23 -> 35 -> 53 -> 5 -> 1

      809 n’est-il pas un prédécesseur ?

      • @tolokoban

        La suite de Syracuse de 809, en utilisant l’équation (1), est

        809,1214,911,1367,2051,3077,4616,866,650,488,92,35,53,80,8,2

        Aucune suite de Syracuse ne peut se terminer par 1, puisque 2, la racine de l’arbre, est son propre successeur (voir page 15, lorsque je dis qu’il n’existe pas de cycle trivial).

        1214, le successeur de 809, appartient au groupe 𝜙607, 607 étant une feuille (donc pas de prédécesseur). 1214 = 607 * 2^1.

        Enfin, 809 est l’avant-dernier terme de la séquence 159, 239, 359, 539, 809, 1214, dans laquelle le premier terme, 159, comme dans toute séquence, est une feuille. Il est préférable de débuter une séquence par une feuille, ce qui donne

        159,239,359,539,809,1214,911,1367,2051,3077,4616,866,650,488,92,35,53,80,8,2

  17. Petit rectificatif à ma réponse à tolokoban ci-dessus : remplacer « Il est préférable de débuter une séquence par une feuille » par « Il est préférable de débuter une suite de Syracuse par une feuille ». En effet, tout entier impair qui n’est pas une feuille se retrouvera nécessairement au sein d’une séquence, comme 809 dans l’exemple précédent. En se limitant aux suites de Syracuse débutant par une feuille on élimine la nécessité de tester un grand nombre d’entiers impairs (si toutefois on envisage de se livrer à ce petit jeu).

    Les feuilles 𝜙 sont de la forme 6m – 5 ou 6m – 3 (voir page 9), soit les entiers

    1,3,7,9,13,15,19,21,25,27,31,33,37,39,43,45,49,51,55,57,61,63,67,69,73,75,79,81,85,87,91,93,97,99,103,105,109,111,115,117,121,123,127,129,133,135,139,141,145,147,151,153,157,159,163,165,169,171,175,177,181,183,187,189,193,195,199,201,205,207,211,213,217,219,223,225,229,231,235,237,241,243,247,249,253,255,259,261,265,267,271,273,277,279,283,285,289,291,295,297, etc.

    En fait il suffit de ne pas choisir d’entier de la forme 6m – 1 comme premier terme de la suite (809 = 6 * 135 – 1).

  18. Pardon pour le monologue. Je suis conscient des problèmes que posent les calculs liés à la solution que je propose, et notamment l’extraction de l’exposant d’un facteur premier. Pour faciliter les choses aux utilisateurs de Mathematica je propose ci-dessous en téléchargement le bloc-notes zippé que j’ai créé dans ce logiciel (Syracuse.nb) et qui contient toutes les fonctions nécessaires (calcul d’une suite, tracé de l’arbre, génération aléatoire de feuilles, etc.) :

    Bloc-notes Syracuse pour Mathematica : http://vodixi.com/syracuse/blocnotes/

    NB : ce bloc-notes a été créé dans Mathematica 9, mais je présume qu’il fonctionnera dans les versions antérieures. Après l’avoir ouvert vous devez cliquer sur Evaluation > Evaluate Notebook. Vous pouvez également lui attribuer le statut d’évaluable à l’ouverture en cliquant sur Cell > Cell properties > Evaluatable.

    Enfin, pour revenir à la question des feuilles, ce dont je parle ci-dessus ne concerne que les entiers impairs. De manière générale, et comme je l’écris page 6, tout entier possédant au moins un prédécesseur est de la forme 3m-1, m > 0. Donc tout entier qui n’est pas de cette forme est une feuille.

  19. Salut a tous, j’aimerais avoir avis sur mon approche du problème.
    Bon tout d’abord je prends les nombres entiers impaires je multiplis par 3 et j’ajoute 1 ce qui me donne :
    1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
    4 10 16 22 28 34 40 46 52 58
    On remarque la 2 eme ligne est une suite arithmétique de pas 6 et U0=4.
    L’idée c’est que je créés deux autre suite de pas 6 mais de U0=2 pour la première et U0=6 pour la deuxième ce qui me donne :
    1 3 5 7 9
    2 8 14 20 26
    4 10 16 22 28
    6 12 18 24 30
    Cette forme rend le mouvement de la suite plus visible.
    Jai remarqué que pour que la suite arrive a 1 elle doit imperativement croisé la ligne de nombre du groupe 2^n (2 4 8 16 32 64 128 …).
    Je suis bloqué en ce point, merci de me donner votre avis.

  20. J’ai actualisé le lien ci-dessus (…/valfinale1/). Il contient la démonstration de la conjecture de Collatz (ou Syracuse). Les commentaires sont les bienvenus.

  21. Dans Un Argument Probabiliste, dernier paragraphe tu as écris « quand itérant », j’imagine que ç’aurait dû être « qu’en étirant » à la place.

  22. La conjecture de Syracuse c’est le naufrage de mathématiciens professionnels dans un océan de probabilités. Pour Amateur_curieux c’est la promenade dans un univers de certitudes.

    • @Amateur_curieux

      Je dirais plutôt « dans un océan de conjectures ». Pourrais-tu parler de tes certitudes ?

  23. Amateur curieux dit mes propositions sont le fruit d une étude objective des concepts de base mes certitudes sont multiples elles se résument au fait que je suis certain de ce que je propose

  24. Au début, la suite s’envole. Il y a des nombres qui provoquent sa hausse ; j’appelle ça trampolines.

    Et puis elle va baisser, et bizarrement, elle va éviter les trampolines.

    Ces trampolines sont des nombres pairs ou impair…

    La seule façon d’éviter ces chiffres, c’est que la suite touche une puissance de 2 dans sa montée. Du coup, il n’y a que des divisions par deux, pour arriver inévitablement à 1.

    Et en fait, intuitivement c’est inévitable puisque la suite monte ! L’opération 3N+1 est plus « augmentante » que (N/2).

    La suite monte, et elle n’a aucun raison d’éviter des puissances de 2, donc à un moment elle chute.

    Problème solved.

    • Bonjour,
      en réalité, plus on « monte » et plus les puissances de 2 sont rares car de plus en plus espacées.
      Donc la probabilité de tomber dessus devient de plus en plus faible.
      Ainsi, les chances d’éviter les redescentes est de plus en plus grande.
      C’est pourquoi votre argument n’est pas suffisant pour résoudre le problème.

      • amateur curieux dit 80 années de bidouille stérile abandonnez définitivement le processuceprobabiliste la solution est dans les mathématiques classiques

      • D’autant que (pour avoir testé via un petit programme) la première puissance de 2 rencontrée par l’écrasante majorité des séquences est… 16 ! En moyenne plus de 92% des séquences rencontrent 16 (via 5 donc) comme première puissance de 2. Sur le même principe, vient ensuite 1024 (7% des séquences), puis 256 (1%), puis… c’est tout ! La fréquence pour toutes les autres puissances de 2 est insignifiante.

        Pour rester compatible avec la modeste puissance de calcul de ma machine, j’ai testé des tranches d’un million d’entiers, prises au hasard entre 0 et 10^17. Une dizaine de ces tranches donne les moyennes ci dessus.

        Bon j’ai trouvé ce résultat très surprenant mais je n’ai aucune idée de son utilité. Cette conjecture aura en tout cas fait perdre un temps fou à beaucoup de monde…

  25. (( R-F-Pi )) DIT le cycle 4-2-1 est un cas particulier il existe un autre cycle universel qui aboutit toujours a 1 quelque soit la valeur de départ 3,1416 ——–aboutit a 1

  26. JE PENSE QUE J’AI TROUVE UNE DEMONSTRATION DE LA CONJECTURE DE COLLATZ:
    -Puisque la série des nombres grêlons se poursuit indéfiniment, quelque soit l’entier positif de depart, la probabilité pour que la procédure tombe à 2 à la puissance « x »(et par conséquent à 1, au moins une seule fois) tend vers la certitude parfaite.
    -Comme les frêlons eux mêmes qui tourbillonnent et s’écrasent surle sol comme des météorites lors d’une averse, les nombres grêlons finissent par heurter, en quelque sorte le sol(l’entier « 1 »), au moins une seule fois.
    -Conséquence:toute série de nombres grêlons se poursuit indéfiniment sous la forme 4,2,1,4,2,1…
    On constate que ce resiltat semble priuver la conjecture de Collatz, qui établit que la procédure retombe toujours à 1.

  27. Bonjour à tous,

    Vu mes modestes études, j’aborderais les choses avec mon language et le plus simplement possible, un peu comme un enfant qui découvre.

    En premier lieu, je me demande si de « primo » conjectures vérifiés ne permettraient pas déjà de circonscrire une grande partie du problème, non ?

    En effet, par exemple tout nombre positif de puissance 2 (2,4,8,16,32,164,128,256,512, …, jusqu’à l’infini est directement fonction de sa puissance et le nombre de coup pour arriver à 1 se résume à sa puissance de 2.
    ex : 8 en 3 coups car 8=2^3, 16 en 4 coups car 16=2^4, etc

    Quand aux nombres impairs et l’opération x*3+1 nous ramène toujours à un nombre pair que x/2 réduira systématiquement. ET, nous ramène sur un nombre puissance de 2 de manière sytèmique grace à l’effet conjugué des 2 opérations imposées par la conjecture de syracuse qui à un effet conditionnant et appriori abaisseur priorisé par la « pairisation » de x*3+1 et la division par 2).

    la monté et le maximum ont une proportion relative à la puissance de 2 et l’effet conjugué de l’opération x*3+1, et, suivant (et c’est une hypothèse) que l’on soit avant, sur ou après un nombre premier ou encore en « point milieu » entre 2 nombres premiers, mais il me reste à le vérifier.
    Mes connnaissances sont limités, mais je ne serais pas étonné que la théorie des développements limités puisse aidé et surtout l’utilisation du modulo et de la congruence pour identifier et établir de nouveaux points significatifs ou de nouveaux principes permettant d’affiner voir de circonscrire un plus ou entièrement la conjecture une bonne fois pour toute.

    Quelques constats :
    Constat 1 : c’est que pour tout nombre premier et/ ou impair mis au départ, est systématiquement mis pair par l’opération x*3+1 tous comme les autres nombres impairs.
    Constat 2 : un nombre pair divisé par 2 peut déboucher sur un nombre impair mais est systématiquement ramené à pair par l’autre opération de la conjecture.
    Constat 3 : le nombre impair du constat 2 repasse toujours dans le « filtre réducteur » de la division par 2.

    Ce qui laisse à penser inévitablement l’on retombe sur une puissance de 2 à minima tôt ou tard.

    C’est cet effet tot ou tard qui jette le doute.
    L’effet « bénefique » conjuqué de l’opération x*3+1 (qui fait que le nombre est systématique pair en sorti) associé la réduction automatique opératoire de la division par 2, fait que l’on tend vers 1 systématiquement, car l’on retombe aussi toujours sur un nombre puissance de 2 avant d’arriver à 1.

    3 peut être vu comme un effet « vérou », en effet ce dernier même si l’on applique le chiffre 1 et donc 1*3+1 nous donne 4 qui faisant parti de la suite trivial. Pour la valeur 2 on obtient 1 (le départ de la suite trivial)

    En somme la division /2 à la supériorité sur l’opération x*3+1. Mais x*3+1 est supérieur sur x/2 car elle rend tout nombre impair pair.
    On peut dire que la division par 2 à un effet systémique permettant à un nombre positif entier quelqu’il soit de toujours retomber sur la suite 4 2 1 régis par la division par 2 (en lien avec les nombres de puissances 2) qui est prioritaire et systèmique.

    Le point de doute qui pourrait subsister dans tout cela, c’est de tomber sur un cercle vicieux de type nombre qui une fois traité retombe sur un nombre déjà traité en ayant fait une remonté, bref de tomber dans une boucle infini.

    Hors, ce point doit pouvoir être vérifié, bien que mes connaissances soit limitées, je vais laissé libre cours à mon imagination :

    Les nombres sont définis par leur poids et leur puissance. Hors les 2 opérations de la conjecture ne permette pas de « colision » engendrant une une boucle infini car nous le voyons bien en progressant de 2,3,4,5,6,7,8,9,…, et un nombre tendant vers l’infini nous retombons toujours sur un chiffre permettant l’acces à la suite trivial par un chemin déjà emprunté par l’un des nombre précédant et jamais un chemin différent. Ce qui nous permet par la conjecture de syracuse d’avoir un lien de cheminement entre les nombres conditionné par la conjecture elle même.

    Partant du principe que si nous progressons sur un système itératif de suite n+1 sur de stricte entier positif tel que le cadre nous l’impose à savoir 2,3,4,5,6,7,8,…, infini, et que le système opératoire nous fait basculer d’une opération de type x/2 à x*3+1 suivant que le nombre est pair ou impair et que les nombres premiers apparaissent dans un ordre précis et immuables vers l’infini, aussi, tout en rappelant la propriétés des opérations précitées, il n’est pas possible qu’un nombre puisse échapper au filtre opératoire dans le cadre de définition imposée par la conjecture de syracuse qui du coup s’auto-vérifie.

    N’ayant pas fait d’études dans le domaine et ne connaissant pas le language des mathématiques avec rigueur, je m’avance humblement avec mes capacités et ce que je crois encore savoir à 44 ans, alors merci pour votre indulgence.

    A bientôt.

  28. Pingback: 1ère ES | Pearltrees

  29. ( R,F,pi ) D I T A TOUS CEUX QUI SONT INTERRESES PAR LE PROBLEME TROIS X +1

    salut amical oubliez totalement les probabilités

    la solution du problème trois x +1 c’ est l’aboutissement d’une suite mathématique logique

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s